概率论中二维正太分布的一道题目

系数行列式不为0，所以存在可逆矩阵T，使得（U，V）=T （X，Y）

（U，V）服从二维正态分布，所以（X，Y）的概率密度函数可由（U，V）的概率密度函数经非退化变换得到，也是二维正态分布的密度函数。

X,Y服从正态分布的话，那么只要变化系数行列式不为0，那么新的线性变化依然服从二维正态分布。因为，如果变化系数不为零，那么所以存在可逆矩阵T，使得（U，V）=T （X，Y）

（U，V）服从二维正态分布，所以（X，Y）的概率密度函数可由（U，V）的概率密度函数经非退化变换得到，也是二维正态分布的密度函数。

证明该函数是一个概率密度函数，其应该满足概率密度函数的基本性质：一是大于零，二是全空间上的积分等于1。

扩展资料：

若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。

服从标准正态分布,通过查标准正态分布表就可以直接计算出原正态分布的概率值。故该变换被称为标准化变换。（标准正态分布表：标准正态分布表中列出了标准正态曲线下从-∞到X（当前值）范围内的面积比例。）

多元正态分布有很好的性质，例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布，特别它的线性组合为一元正态分布。

--二维正态分布

P（X/Y<0）=05

本题使用正态分布与独立性分析：

（x，y）~N（0，0，1，1，0）

说明X~N(0,1),Y~N(0,1)

且X与Y独立

X/Y<0，即X与Y反号

所以 P（X/Y<0）=P(X>0,Y<0)+P(X<0,Y>0)

=P(X>0)P(Y<0)+P(X<0)P(Y>0)

=05×05+05×05

=05

二维随机变量( X,Y)的性质不仅与X 、Y 有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系。因此，逐个地来研究X或Y的性质是不够的，还需将（X，Y）作为一个整体来研究。

扩展资料：

在一定区间内变量取值为有限个或可数个。例如某地区某年人口的出生数、死亡数，某药治疗某病病人的有效数、无效数等。离散型随机变量通常依据概率质量函数分类，主要分为：伯努利随机变量、二项随机变量、几何随机变量和泊松随机变量。

随机事件数量化的好处是可以用数学分析的方法来研究随机现象。例如某一时间内公共汽车站等车乘客人数，电话交换台在一定时间内收到的呼叫次数，灯泡的寿命等等，都是随机变量的实例。

在实际问题中通常用它来表征多个独立 *** 作的随机试验结果或多种有独立来源的随机因素的概率特性，因此它对于概率统计的应用是十分重要的。

——二维随机变量

二元正态分布的特征函数求法：联合密度函数对x积分就可以，这个积分指数配方后直接就有结果了。

设（X，Y）服从二维正态分布，且X与Y独立，fX（x），fY（y）分别是X，Y的概率密度，则在Y=y条件下，分布函数为f（x，y）的积分，积分范围（-∞，-∞）到（x，y）。对于相关系数为零的情况，分布函数又可以写成F（x，y）=FX（x）FY（y），等于两个正态分布函数的乘积。

函数性质

特征函数具有以下基本性质：如果两个随机变量具有相同的特征函数，那么它们具有相同的概率分布； 反之， 如果两个随机变量具有相同的概率分布， 它们的特征函数也相同(显然)。独立随机变量和的特征函数等于每个随机变量特征函数的乘积。

二维正态分布与正态分布差别1 二维正态分布的值就是原来的假设是错误的概率。

2、 正态分布中的值主要用来检验一组数据是否服从正态分布的标准。

3、 正态分布的密度函数的特点是：关于对称性，在处达到最大值，在正(负)无穷处取值为0，在 处有拐点。

4、 正态分布又称高斯分布，是数学、物理和工程领域中一种非常重要的概率分布，在统计学的许多方面都有很大的影响。

5、 如果随机变量服从位置参数和尺度参数的概率分布，则记为：其概率密度函数为正态分布的数学期望值或期望值等于位置参数，决定分布的位置；方差的平方根或标准差等于比例参数，它决定了分布的大小

1 方法

　　性质1： 设X是一个随机变量，其分布函数为F(x)，则Y=F(X)服从在〔0，1〕的均匀分布。

　　性质2： 设X1,K,Xn是某个分布的一个简单样本，其分布函数为F(x)，由性质1可知，在概率意义下，F(X1),F(X2),K,F(Xn)在（0,1）上呈均匀分布，按从小到大依次排序，记为F(X1),F(X2),K,F(Xn)，其相应理论值应为ri=i-0,5[]n，i=1，2，…，n，对应分布函数的反函数值F-1(r1),F-1(r2),K,F-1(rn)（在卡方分布中即为卡方分数）应非常接近X1,X2K,Xn，故在概率意义下，这些散点(X1,F-1(r1)),(X2,F-1(r2)),L,(Xn,F-1(rn))应在一条直线上。

　　根据性质2，如果X服从正态分布，则散点理论上应落在一直线上，可以用Pearson系数刻画这种分布。但由于随机变异的存在，Pearson系数并不等于1，所以通过随机模拟的方法，制定出Pearson系数的95%界值下限。

　　性质3： 由条件概率公式P(X,Y)=P(Y|X)P(X)可知：（X，Y）服从二元正态分布的充分必要条件是固定X，Y服从正态分布(条件概率分布)并且X的边际分布为正态分布。由线性回归的性质ε=Y-(α+βX)可知，固定X，Y的条件概率分布为正态分布的充分必要条件是线性回归的残差ε服从正态分布，由此可得：（X，Y）服从二元正态分布的充分必要条件是X的边际分布为正态分布以及线性回归模型Y=α+βX+ε中的残差服从正态分布。

设X来自于正态总体，从正态总体中随机模拟抽样5000次，每次抽样样本含量分别为7至50，对F(x)求秩，求出排序后的F(x)和排序后的X的Pearson相关系数。表1 随机模拟5000次得到的检验正态分布的Pearson相关系数的界值（略）

　　类似地，我们也可以用同样的方法得到检验卡方分布的Pearson相关系数的界值表（简化表）表2 相关系数界值表（略）

　　2 随机模拟验证

　　21 Pearson相关系数界值表的随机模拟验证

　　设X来自于正态总体，从正态总体中随机模拟抽样5000次，每次抽样样本含量分别为10，20，30，40，50，并计算相应的Pearson卡方系数，以及落在界值外面的比例，即拒绝比例，再在同一批数据的前提下用McNemar检验比较本方法和Swilk法的差别。表3 （一元正态分布）模拟次数（略）表4（一元偏态分布，χ2)模拟次数（略）

　　以上方法拒绝比例在样本量为7的可信区间为［7837%，9412%］，在其余样本量时都接近100%，可以证实是正确的。

　　22 卡方分布界值表的随机模拟验证　

　　表5 卡方分布：模拟5000次（略）

　　23 马氏距离的随机模拟验证

　　根据马氏距离的定义，从正态分布总体中随机抽取样本量分别为10，20，30，40，50的样本模拟5000次，根据上面提到的方法以卡方分数对X1,X2K,Xn求Pearson系数，并根据以上的相关系数界值表，计算相应的统计量，即拒绝比例。表6 马氏距离落在Pearson系数界值表外的比例（略）

　　24 二元正态分布资料的随机模拟验证

　　设定一个二维矩阵A，分别求出特征值P和特征向量Z，设X的元素均来自于正态总体分布，则Y=Z′×X必服从二元正态分布，随机模拟5000次，根据性质三介绍的方法验证的拒绝比例如下。表7 （二元正态分布）模拟次数（略）表8 （二元偏态分布，χ2）模拟次数（略）

　　25 三元正态分布资料的随机模拟验证

　　类似地，随机模拟5000次，用同样方法进行验证，得到对于三元正态分布数据的拒绝比例。表9 （三元正态分布）模拟次数：5000次