如何求隐函数的二阶偏导数?

求隐函数的二阶偏导分两部

（1）在方程两边先对X求一阶偏导得出Z关于X的一阶偏导,然后再解出Z关于X的一阶偏导

（2）在在原来求过一阶偏导的方程两边对X再求一次偏导此方程当中一定既含有X的一阶偏导,也含有二阶偏导最后把（1）中解得的一阶偏导代入其中,就能得出只含有二阶偏导的方程解出即可

解：

你的求法是错误的！

原因：

对于函数求偏微分，要符合链式法则，于是：

形如：z=f(x,y)对x求偏导：

∂z/∂x

= (∂f/∂x)·(dx/dx)+(∂f/∂y)·(dy/dx)

=(∂f/∂x) + 0

=∂f/∂x

需要注意的一点是，z=f(x,y)中，公式表达了含有两项自变量为x和y，而题设中：

z=f(x+y+z)自变量为x+y+z，只有复合的一项，因此：

∂z/∂x

= (∂f/∂x)·[d(x+y+z)/dx]

= (∂f/∂x)·[(dx/dx)+(dy/dx)+(∂z/∂x)]

= (∂f/∂x)·[1+(∂z/∂x)]

=f'·[1+(∂z/∂x)]

你的错误时：f(x+y+z)认为自变量有3项！

你对多元函数理解还比较肤浅，需要加深这方面的理解！

求隐函数的二阶偏导数可以分为两步：

在方程两边先对X求一阶偏导得出Z关于X的一阶偏导，然后再解出Z关于X的一阶偏导。

在原来求过一阶偏导的方程两边对X再求一次偏导。此方程当中一定既含有X的一阶偏导，也含有二阶偏导。

最后把第一步骤中解得的一阶偏导代入其中，就能得出只含有二阶偏导的方程，即可解出。

如：设方程e的z次方-xyz=0确定函数z=(fx,y) 求z对x的二阶偏导数

e^z - xyz = 0

e^z(∂z/∂x) = yz + xy(∂z/∂x）

令z' = ∂z/∂x = yz/(e^z - xy) = yz/(xyz - xy) = z/(xz-x) = [z/(z-1)](1/x)

∂²z/∂x²

= dz'/dx 

= (1/x)[z'(z-1)-zz']/(z-1)² - (1/x²)[z/(z-1)]

= -z'/[x(z-1)²] - z/[(z-1)x²]

将z'代入就有

∂²z/∂x² = -z/[x²(z-1)³] - z/[(z-1)x²] = -(z/x²)[1/(z-1)³ + 1/(z-1)]

：

隐函数定义：如果方程f(x,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数。

隐函数不一定能写为y=f(x)的形式，如x^2+y^2=1。因此按照函数“设x和y是两个变量，D是实数集的某个子集，若对于D中的每个值x，变量x按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，称变量y为变量x的函数，记作 y=f(x)”的定义，隐函数不一定是“函数”，而是“方程”。

总的说来，函数都是方程，但方程却不一定是函数。

隐函数的导数是怎样求的？

求隐函数的导数，需要用到微积分中的偏导数法。即先将隐函数表示为一般形式的多元函数y=f(x1,x2,…,xn)，然后根据定义求解偏导数∂f/∂xi (i=1,2,,n)，最后再将这些偏导量代入原来的变量而得到所要求的隐函数的导数。

方法就是将隐函数方程的两边同时对x求导，在求导的过程中，将y看成x的函数，然后利用复合函数的求导法则，得到dy/dx的方程，解这个方程，就得到了 dy/dx的表达式。

隐函数是由隐式方程所隐含定义的函数。设F（x,y）是某个定义域上的函数。如果存在定义域上的子集D，使得对每个x属于D，存在相应的y满足F(x,y)=0，则称方程确定了一个隐函数。记为y=y(x)。 [2]  显函数是用y=f(x)来表示的函数，显函数是相对于隐函数来说的。

求导法则

对于一个已经确定存在且可导的情况下，我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。在方程左右两边都对x进行求导，由于y其实是x的一个函数，所以可以直接得到带有 y' 的一个方程，然后化简得到 y' 的表达式。

隐函数导数的求解一般可以采用以下方法：

方法①：先把隐函数转化成显函数，再利用显函数求导的方法求导。

方法②：隐函数左右两边对x求导（但要注意把y看作x的函数）。

方法③：利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导，再通过移项求得的值。

方法④：把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。

举个例子，若欲求z = f(x,y)的导数，那么可以将原隐函数通过移项化为f(x,y,z) = 0的形式，然后通过（式中F'y,F'x分别表示y和x对z的偏导数）来求解。

如何求隐函数的偏导数 隐函数的偏导数是考研中很常见的题型，它是复合函数求导法则的一个应用。 无论是一元函数还是二元函数，求隐函数的偏导数都有三种方法，其方法类似，方法如下： ⑴两边求导法： 对于一元函数，方程两边同时对求导，整理得 对于二元函数，方程两边同时分别对求导，得到两个方程，分别整理得 ⑵公式法： 对于一元函数，设函数由方程万学钻石卡确定，则 对于二元函数，设函数由方程确定，则， ⑶全微分法： 两边同时取全微分（根据：全微分的形势不变性，即无论是自变量还是中间变量，函数的全微分） 例1设，可微，求 解析求隐函数的一阶偏导数，可用公式法或者用两边求导法，这里我们用两边求导法 两边同时对求导，得：，整理得： 例2有连续偏导数，函数由方程所确定，证明 解析用公式法 方程为 ，， 故 例3设，而是由方程所确定万学钻石卡的，的函数，其中，，求 解析用全微分法 取全微分法，得 ，， 消去，得

例如:

z=xyz+5xy+y+2

这本身是一个函数关系，每个x都对应了唯一y，但是又不像平常咱们用的函数那么直接，就是隐函数。这时对x求偏导，就要把z看做是x的函数，相当于f（x）

例如：

右边xyz这一项对x求偏导……y相当于常数，x是变量，z相当于f（x）----整体就相当于axf（x）对x求导----就成了yz+yx（偏z/偏x）……

5xy对x求偏导就成了5y

y对x求偏导就是0

所以这样求偏导之后就成了

偏z/偏x=yz+yx（偏z/偏x）+5y

整理一下就能得到

偏z/偏x

的函数式

偏z/偏x=（yz+5y）/（1-xy）

我举的这个例子是我临时想到的，不够经典（本身能化简），不过足够表达隐函数求偏导的思维方式了，先这么看吧，看不懂再问我……

童鞋，这么长时间了，现在理解了么？