复变函数求导 第七题 求详细步骤解释

f(z)=x^2+iy^2,则u（x,y）=x^2，v（x,y）=y^2，求偏微分后知不满足柯西-黎曼方程，故不能用复变函数常用解法，需要根据定义求解。

解：

f'(z)

=df/dz

=(df/dx+df/dy)/(dz/dx+dz/dy)

=(2x+2iy)/(1+i)

=2z/(1+i)

代入得f'(1+i)=2

设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u和v都是实函数，那么

因此

从而

其中C(y)是与x无关的函数。

根据柯西-黎曼方程，有

其中D(x)是与y无关的函数。

同时根据柯西-黎曼方程，有

那么

注：右边的-3y²改为+3y²

因此

注：下边的-3y²改为+3y²

这里出现了矛盾，你自己验证一下。把两个常数求出来 以后，下面的就好解决了。

判断零点。如果第一次求导就得常数0那么就是一阶的，第二次求导得到常数0那么就是二阶的。后面的类似。第n次求导得到常数0那么就是n阶。判断极点。就是看使分母为零的数，比如，sinz/z这道题0就是他的极点。再比如，sinz/z的4次幂，0是分母的4阶极点，但是同时也是分子的1阶。

所以，0是分式的3阶极点。

扩展资料：

如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。

复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面。

利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面。

参考资料：

这是一个分式函数，只有在分母为0的点无意义、不解析，在其他地方都解析，所以解析的区域是C\{-1,1}，在解析区域的导数为

当然也可以利用函数商的导数公式求导，这里为了简便采用复合函数的求导公式求解。