含变积分限的未定式的极限怎么求

1、请楼主参看下面的说明，

第一张是本人对变限积分的求导方法的总结，

这是简单的情况，被积函数中没有参数；

第二张是对被积函数含有参数的求导方法。

2、若楼主有任何疑问，欢迎追问，有问必答；

若点击放大，更加清晰。

1 一直函数f（x） 含在变上限积分中如何求f（x）

2 已知一个含有∫[a,b]f（t,x）dt 型积分的等式如何求f（x）

3待求函数f（x）满足一个含变上限积分的放生 或者待求函数f（x）出现在积分限处如何求f（x）

4带求函数f（x）满足一个含定积分的方程，或待求函数f（x）是被积函数的一部分，且被积函数含有参数时如何求f（x）

你懂“比”的意思吗？不懂就别问

除非是以圆心在原上的圆，可以用2代替，

正常情况下r是与上下限有关的参数，

积分过程是一个有关r的积分函数

一般不可以用2替换：

∵积分时，被积函数里含有的积分上限里的变量被看成了常数。

而求导时，是对积分上限里的变量求导。

∴被积函数里不能含有积分上限里的变量。

设函数y=f(x) 在区间[a，b]上可积，对任意x∈[a，b]，y=f(x)在[a，x] 上可积，且它的值与x构成一种对应关系（如概述中的所示），称Φ(x)为变上限的定积分函数，简称积分上限函数。

扩展资料：

从几何上看，这个积分上限函数Φ(x)表示区间[a，x]上曲边梯形的面积。积分变限函数与以前所接触到的所有函数形式都很不一样。首先，它是由定积分来定义的；其次，这个函数的自变量出现在积分上限或积分下限。

变限积分的最重要的性质，掌握此定理需要注意两点：第一，下限为常数，上限为参变量x（不是含x的其他表达式）；第二，被积函数f(x)中只含积分变量t，不含参变量x。

若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分变上限函数就是f(x)在[a,b]上的一个原函数。

——积分上限函数

练习390：计算不定积分

注：本文公式如果在手机上显示不全，请在公式上左右滑动查看完整公式内容！

昨天咱号推送了“”的推文（非常感谢学友们留言探讨过程与结果），给出了所求不定积分在一些参考书中，也是有些学友日常练习中给出的求解思路与结果。

很多学友在计算出相应的不定积分以后，除了简单地通过求导

在形式上验证不定积分的导数为被积函数之外，并没有进一步分析改写变形被积函数求不定积分的过程对表达式改写的恒等要求，同时也没有进一步分析所得的原函数，是不是真的就是被积函数在其连续区间上的原函数，即没有探讨其在被积奇函数的连续区间上的连续性和可导性，从而导致错误的结果！

对于文中的改写过程，在咱们给出的推文中还给出了改写被积函数的 条件，而在有些参数资料中甚至没有给出这个限制就直接改写得到认为正确的结果。

其实给出的改写变形求不定积分的计算过程本身没有错误，要注意的是，由 的条件，所得的被积函数已经不是原来的函数了，而是一个包含了第一类间断点的分段函数，所以必须分区间来计算得到结果，虽然积分结果形式上一致，但是所带的任意常数是不同的！即结果应该是

0 \hfill \cr {1 \over {\sqrt 2 }}\arctan {{{x^2} - 1} \over {\sqrt 2 x}} + {C_2},x < 0 \hfill \cr} \right" data-formula-type="block-equation">

要使得函数 在 处连续，必须满足

则得 如果记 ，则有

0 \hfill \cr {1 \over {\sqrt 2 }}\arctan {{{x^2} - 1} \over {\sqrt 2 x}} + C,x < 0 \hfill \cr} \right" data-formula-type="block-equation">

不仅如此，还需要补充函数 在 处的定义，

即不定积分结果应该为

0 \hfill \cr C + {\pi \over {2\sqrt 2 }},x = 0 \hfill \cr {1 \over {\sqrt 2 }}\arctan {{{x^2} - 1} \over {\sqrt 2 x}} + C,x < 0 \hfill \cr} \right " data-formula-type="block-equation">

容易验算可知

所以这样得到的 即为原来函数 真正意义上的不定积分。

除了以上求解步骤，其实更通用的方法应该是有理函数不定积分的方法！ 为有理函数，部分分式分解可得

令 ，故不定积分计算转换为计算

将 分别代入，可得

于是可得

以上问题的探讨包含了不定积分平时练习中要注意的一些问题，比如被积函数的恒等变换，分段函数不定积分的计算，不定积分结果的验证等。分享的思路也仅供参考，欢迎学友们投稿分享更多的思路、方法！

END

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假设y的范围为[-10,10]，则获取F与y关系的代码及图像如下所示：

>> fun = @(t,y,z)-20sin(t)^2/((20sin(t))^2+(y-20sin(t)^2)^2+(07-z)^2)^15; % 包含参数的被积函数

>> y = -10:02:10; % 假设参数y的范围[-10,10]

>> F = arrayfun(@(y) integral2(@(t,z)fun(t,y,z),0,2pi,-4,0),y); % 计算每一个y对应的F值

>> plot(y,F)

1、首先，如果要对quad函数传递附加参数（Extra Parameters），应该先搞清楚quad函数的调用格式：

q = quad(fun,a,b,tol,trace)

其中，第4、5个参数分别是tol和trace，不能想当然。你如果要传递附加参数，应该从第6个参数开始——尽管文档中并没有提及，但quad函数的确可以接受附加参数。类似地函数还有很多，例如fsolve、fmincon等函数的函数。

 

在传递附加参数时，需要把前面的参数补齐，即使你不知道也不关心那些参数到底是干什么用的。幸运的是，这类函数绝大多数（如果不是所有的话）都支持用空数组作为占位符，例如：

q = quad(fun,a,b,[],[],r)

这样，你也就可以不用管tol、trace到底该怎样取值了。

 

2、其次，quad函数并不支持一次性对多个附加参数求解。解决的办法一是用循环，另一是用arrayfun函数（其实后者本质上也是循环，只不过写法上简单些）。

 

参考代码

f=#(t,r) 142884+121rr-8316rcos(2t))^(1/2);

r=0:01:75;

q=arrayfun(@(R)quad(f,0,90,[],[],R),r);

plot(r,q)

顺便提醒一句，求积分的计算量不小，r的间距没必要取那么小（取5得到的结果就挺平滑）。

 

PS: 上面代码中的#应为电子邮件的@，不知怎么回事贴不出来，严重鄙视开发人员这群猪。。。