gamma函数

gamma函数是阶乘函数对非整数值的扩展的概括，由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在 18 世纪提出。

对于一个正整数N, 阶乘定义为  n ! = 1 × 2 × 3 ×⋯× ( n  − 1) ×  n 举例来说， 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120 但是这个公式对于不是整数的n毫无意义。

为了把阶乘扩展到任意大于零的实数，gamma函数被定义为

使用积分技术, 可以证明Γ(1) = 1 使用分部积分，可以得出gamma函数有以下的递归的特性：if  x  > 0, then Γ( x  + 1) =  x Γ( x )，由此可知， Γ(2) = 1 Γ(1) = 1; Γ(3) = 2 Γ(2) = 2 × 1 = 2!; Γ(4) = 3 Γ(3) = 3 × 2 × 1 = 3!; 等等。通常，如果 x 是自然数 (1, 2, 3,)，则 Γ(x) = (x − 1)！只要实部大于或等于 1，该函数就可以扩展到负的非整数实数和复数。 虽然 gamma 函数的行为类似于自然数（离散集）的阶乘，但其扩展到正实数（连续集）可用于对涉及连续变化的情况进行建模，对微积分、微分方程、复数分析和统计有重要应用。

（1/2)=int(e^x/sqrt(x),x=0+无穷）

换元积分,令sqrt(x)=t，则

e^x/sqrt(x)=e^(t^2)/t

x=t^2，dx=2tdt

由x的范围可知t的范围也是0到正无穷

所以=int(2e^(t^2)，t=0+无穷）

而e^(t^2)从0到正无穷的积分是sqrt(Pi)/2

所以Γ(1/2)=sqrt(Pi)

伽玛函数

也叫欧拉第二积分，是阶乘函数在实数与复数上扩展的一类函数。该函数在分析学、概率论、偏微分方程和组合数学中有重要的应用。与之有密切联系的函数是贝塔函数，也叫第一类欧拉积分。

伽玛函数（Gamma Function）作为阶乘的延拓，是定义在复数范围内的亚纯函数，通常写成 。

在实数域上伽玛函数定义为： 在复数域上伽玛函数定义为： 其中，此定义可以用解析开拓原理拓展到整个复数域上，非正整数除外。

利用伽马函数γ(n)=(n-1)γ(n-1)=(n-1)!，及γ(1/2)=√π，有γ(1/2+n)=γ[(n-1+1/2)+1]=[(2n-1)/2]γ(n-1/2)=…=[(2n-1)/2]][(2n-3)/2]…(1/2)γ(1/2)=[(2n-1)(2n-3)^(1)/2^n]γ(1/2)=[√π/2^n](2n-1)!!。其中，“(2n-1)!!”表示自然数中连续奇数的连乘积。

(a-1)]/[1 X}dx如何Γ(x 1)=xΓ(x),Γ(0)=1

^Γ（1/2)=int(e^x/sqrt(x),x=0+无穷）

(就是x^(1/2-1)e^x从0到正无du穷的积分)

换元积分，令zhisqrt(x)=t，则

e^x/sqrt(x)=e^(t^2)/t

x=t^2，dx=2tdt

由x的范围可知t的范围也是0到正无穷

所以

Γ(1/2)=int(e^(t^2)2t/t,t=0+无穷)

=int(2e^(t^2),t=0+无穷）

而e^(t^2)从0到正无穷的积分是sqrt(Pi)/2,（根据正态分布的密度函数）

（或者利用极坐标的二重积分计算该积分的平方）

所以Γ(1/2)=sqrt(Pi)

伽玛函数，也叫欧拉第二积分，是阶乘函数在实数与复数上扩展的一类函数。该函数在分析学、概率论、偏微分方程和组合数学中有重要的应用。与之有密切联系的函数是贝塔函数，也叫第一类欧拉积分。可以用来快速计算同伽马函数形式相类似的积分。

扩展资料：

对1/(1-x)进行离散与连续展开，有

1/(1-x)=

∑x^k

=∫e^-(1-x)tdt

=∫e^-t∑(xt)^k/k!dt

=∑(∫e^(-t)t^kdt)x^k/k!

对比系数有k!=∫e^(-t)t^kdt

x在收敛域(-1，1)内，求和积分均在0到+∞

最后的积分中我们可以让k取任意实数，这样我们就把阶乘延拓到实数集中了

-伽玛函数