指数函数的导数公式怎么推导

解：

设：指数函数为：y=a^x

y'=lim△x→0[a^(x+△x)-a^x]/△x

y'=lim△x→0{(a^x)[(a^(△x)]-a^x}/△x

y'=lim△x→0(a^x){[(a^(△x)]-1}/△x

y'=(a^x)lim△x→0{[(a^(△x)]-1}/△x…………(1)

设：[(a^(△x)]-1=M

则：△x=loga(M+1)

因此，有：‘

{[(a^(△x)]-1}/△x

=M/loga(M+1)

=1/loga[(M+1)^(1/M)]

当△x→0时，有M→0

故：

lim△x→0{[(a^(△x)]-1}/△x

=limM→01/loga[(M+1)^(1/M)]

=1/logae

=lna

代入(1)，有：

y'=(a^x)lim△x→0{[(a^(△x)]-1}/△x

y'=(a^x)lna

证毕。

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楼主的问题是：

讲基本初等函数的导数公式，及导数的运算法则时，需要推导吗？

答：

需要！非常需要！

1、如果你是任课老师，或是辅导老师，假如连你自己都不会推导基本的导数公式，

怎么能使得学生听懂？完全让他们死记硬背？几天之后你的学生还会信任你吗？

2、解题时，布置作业时，经常有用导数定义解答的问题，你何以为续？何颜任教？

3、你对后面的积分之类的问题，级数的问题，多元函数的问题，能持续得下去吗？

4、假如你是学生，新砌茅坑三天香，死记硬背、囫囵吞枣背上一些公式，微积分不

是三两节课就能糊弄过去的，尤其以后在后继课程中的运用，非常重要。勉强背

会几个似懂非懂的公式，不知道原理，不会运用，三天过后的茅坑还会不臭还

能学得下去？

若需要基础的推导过程，请追问，我在这里给精美的课件。