期望值方差标准差求救

1 随机变量

11 随机现象

在一定条件下，并不总出现相同结果的现象称为随机现象，比如抛一枚硬币和掷一颗骰子。随机现象有两个特点：（1）结果不止一个；（2）哪一个结果出现事先不知道

12 样本空间和样本点

随机现象的一切可能基本结果组成的集合称为样本空间，记为 Ω={w} ，其中 w 表示基本结果，又称为样本点，样本点是抽样的最基本的单元

13 随机变量和随机事件

和微积分中的变量不同，概率论中的变量具有“分布”的概念，“分布”是指我们不仅要知道一个变量可以取哪些值，还要知道它取这些值的概率，同时概率论中的变量还强调随机取值，因此往往又叫“随机变量”。那么为啥要加上分布的概念，为啥要知道变量取具体值的概率呢？原因通过分布可以了解随机变量的统计规律性，举一个例子，假设随机变量 X 代表某种电器产品的使用寿命，如果已知 X 的分布，当我们购买了该电器，就大概知道可以使用多长时间了，这对消费者来说无疑是非常重要的信息。

用等号或不等号把随机变量与某些实数连接起来表示随机事件，例如 {X≤a} , {X>a}

2 分布函数和概率密度函数

分布函数

为了掌握随机变量的统计规律性，我们肯定要知道随机变量取各种值（各类事件）的概率，而分布函数本质上就是事件 {X≤x} 的概率，定义为 F(x)=P(X≤x) ，使用事件 {X≤x} 的原因是 {a<X≤b} 和 {X>c} 都可以用事件 {X≤x} 表示

{a<X≤b}={X≤b}−{X≤a}

{X>c}=Ω−{X≤c}

分布函数的三个重要性质

（1）单调性：分布函数是定义在整个实数轴 (−∞,∞) 上的单调非减函数；

（2）有界性：分布函数取值范围在 [0,1] ，且limx→−∞F(x)=0 ，limx→+∞F(x)=1

（3）右连续性：即当 x 从右边逼近 x0 时， limx→x0+0F(x)=F(x0+0)=F(x0)

单调性和有界性比较好理解，右连续应该怎么理解呢？右连续本质上是根据分布函数的定义推导而来的，可以通过海涅定理去证明，但是化繁为简（投机取巧）我们可以通过离散随机变量的分布函数去理解右连续性，如下图，当 x 从右边逼近 x1 时，很显然 limx→x1+0F(x)=F(x1)

概率密度函数

对于离散随机变量而言，常用分布列来表示其分布，对于连续随机变量，有无穷多个取值无法再使用分布列，而需要使用概率密度函数来表示其概率分布

如何理解概率密度函数？其本质上还是在刻画“概率”,“可能性”这些东西，当 p(x) 的值大，说明随机变量 X 取值为 x 的可能性大。更规范的表达，概率密度函数 p(x) 的值并不是概率（emm，那到底是个啥，就把这个值理解为概率的密度吧，密度越高，概率越大），但是 p(x) 乘微分元 dx 就可得小区间 (x,x+dx) 上概率的近似值，即 p(x)dx≈P(x<X<x+dx) ，在 (a,b) 上很多相邻的微分元累积起来就是 p(x) 在 (a,b) 上的积分，而这个积分值就是概率，即

∫abp(x)dx=P(a<X<b)

显然在 (−∞,x] 上的积分就是分布函数

∫−∞xp(x)dx=P(X≤x)=F(x)

显然 F′(x)=p(x) ， F(x) 是概率函数，其导函数 F′(x) 自然就是概率密度函数

3 数据期望

数学期望用取值的概率作为一种“权数”作加权平均，是比平均值更加合理的计算方式，它不仅考虑一个随机变量的可能取值，还考虑取这些值的概率

数学期望源于历史上一个著名的分赌本问题

甲、乙两个赌徒赌技不相上下，各出赌注50法郎，每局无平局，谁先赢三局则得到全部赌本100法郎，当甲赢了二局，乙赢了一局时，中止赌博，问100法郎如何分才公平？

一种常规的思路是：甲得2/3，乙得1/3

1654年帕斯卡尔提出了如下分法，假想继续赌下去，设甲最终所得 X 为一个随机变量，其可能取值为0或100，再赌两局一定结束，有四种情况：甲赢甲赢、甲赢乙赢、乙赢甲赢、乙赢乙赢。这四种情况有三种都是甲获胜，即甲获得100法郎的概率为3/4，乙获得100法郎的概率为1/4，综上，甲的“期望”所得为： 0×025+100×075=75

这种分法明显更加合理，不仅考虑了已经结束的赌局，还考虑了如果继续赌下去的情况

对离散随机变量来说，期望定义如下

E(X)=∑i=1∞xip(xi)

这里要求级数 ∑i=1∞|xi|p(xi) 绝对收敛，以保证数学期望唯一（由无穷级数理论可知，如果无穷级数绝对收敛，则可保证其和不受次序变动的影响，由于有限项的和不受次序变动的影响，所以取有限个可能值得随机变量的数学期望总是存在的。emm，无穷级数理论不是很懂，先记下来再说吧）

对连续随机变量而言，期望的定义如下

E(X)=∫−∞∞xp(x)dx

其中 ∫−∞∞|x|p(x)dx<∞

不管是连续还是离散，期望的定义都是使用取值的概率作为“权数”作加权平均。要想求得期望，就必须要先求出随机变量的分布

特别注意，如果已知随机变量 X 的概率密度函数 p(x) ，则 X 的某一函数 g(x) 的数学其期望为

E(g(X))=∫−∞∞g(x)p(x)dx

4 方差和标准差

数学期望是分布的一种位置特征数，无法反映随机变量取值的“波动大小”，比如两个随机变量期望相同，但是可能某个随机变量的上下波动很大（就像某支股票一下子涨停，一下子跌停，这种谁受得了？？），而方差和标准差可以刻画随机变量的波动程度

若随机变量 X2 的数学期望存在，定义偏差平方 (X−E(X))2 的数学期望 E(X−E(X))2 为随机变量 X 的方差，记 Var(X)=E(X−E(X))2

即 Var(X)={Σi(xi−E(X))2p(xi)∫−∞∞(x−E(X))2p(x)dx

（上面是离散情况，下面是连续情况）

方差的平方根定义为标准差， σ(x)=Var(X)

方差的重要性质

（1） Var(X)=E(X)2−[E(X)]2

因为 Var(X)=E(X−E(X))2 =E(X2−2X⋅E(X)+(E(X))2)2 =E(X2)−2E(X)⋅E(X)+(E(X))2 =E(X)2−[E(X)]2

因此计算方差时，只要求两个期望即可

（2） Var(c)=0 ， c 是常数

（3） Var(aX+b)=a2Var(X)

个人觉得“连续随机变量函数的分布”这个表述有点绕，远不如英语的“Distribution of Functions of Random Variables”，所以加了个英文的标题

几个定理的证明的练习和笔记

先总结下思路脉络：

下面进入正题

设 是连续随机变量，其密度函数为 ， 是另一个随机变量。

若 严格单调，其反函数 有连续导函数，则 的 密度函数 为

其中

设 是严格单调增函数，这时它的反函数 也严格单调增函数。

且 。记 ，这意味着 仅在区间 取值，于是y的CDF 有

设随机变量 服从正态分布 ，则当 时，有

当 时， 是严格增函数，仍在 上取值，其反函数 为 ， 由 定理261 可得y的PDF

这就是正态分布 的PDF。

当 时， 是严格减函数，仍在 上取值，其反函数 为 ，由 定理261 可得y的PDF

这是正态分布 的PDF。

设随机变量 ，则 的概率密度函数为

是严格增函数，它仅在 上取值，其反函数 为 ，由 定理261 可得

这个分布被称为 “对数正态分布” ，记为 ，其中 称为对数均值， 称为对数方差。对数正态分布 是一个偏态分布，也是一个常用分布，实际中有不少随机变量服从对数正态分布，譬如

设随机变量 ，则当 时，有

时， 的 :

因为 ，所以 是严格增函数，它仍在 上取值，其反函数为 ，由 定理261 可得

将任一伽马分布转化为 分布，如

当 ，则

若随机变量的分布函数 为严格单调递增的连续函数，其反函数 存在，则 服从 上的均匀分布

下求 的分布函数。由于分布函数 仅在[0,1]区间上取值，故

综上所述， 的分布函数为

这正是 上均匀分布的CDF，所以

任一个随机变量 都可以通过其分布函数 与均匀分布随机变量 发生关系。譬如

可直接由 的分布函数 出发，按函数 的特点做个案处理

由于X和Y是独立同分布的，所以它们的联合分布函数可以表示为：

f(x,y) = f_X(x) f_Y(y)

其中，f_X(x)表示X的概率密度函数，f_Y(y)表示Y的概率密度函数。因为X服从参数为2的指数分布，所以它的概率密度函数为：

f_X(x) = λ e^(-λx) = 2e^(-2x)

其中，λ是指数分布的参数，等于2。同理，由于Y也服从参数为2的指数分布，所以它的概率密度函数也为：

f_Y(y) = 2e^(-2y)

因此，联合分布函数可以表示为：

f(x,y) = f_X(x) f_Y(y) = (2e^(-2x)) (2e^(-2y)) = 4e^(-2(x+y))

所以，(X,Y)的联合分布函数为：

f(x,y) = 4e^(-2(x+y))

解答：设这16只元件的寿命为Xᵢ，i=1,2，，16，则X=∑i=1~16Xᵢ，

因为μ=E（Xᵢ）=θ=100，σ²=D（Xᵢ）=θ²=10000

于是随机变量Z=（∑i=1~16Xᵢ-n×μ）/√σ²√n=（X-1600）/400 近似的服从N（0,1）

P{X＞1920}=P{（X-1600）/400 ＞（1920-1600）/400}=P{（X-1600）/400＞08}

=1-P{（X-1600）/400＜08}=1-Φ（08）=1-07881=02119

扩展资料：

许多电子产品的寿命分布一般服从指数分布。有的系统的寿命分布也可用指数分布来近似。它在可靠性研究中是最常用的一种分布形式。指数分布是伽玛分布和威布尔分布的特殊情况，产品的失效是偶然失效时，其寿命服从指数分布。

指数分布可以看作当威布尔分布中的形状系数等于1的特殊分布，指数分布的失效率是与时间t无关的常数，所以分布函数简单。

-指数分布

概率分布（probabilitydistribution）或简称分布（distribution），是概率论的一个概念。

具有相同分布函数的随机变量一定是同分布的，因此可以用分布函数来描述一个分布，但更常用的描述手段是概率密度函数（probability density function,pdf）。

随机变量（random variable）表示随机试验各种结果的实值单值函数。随机事件不论与数量是否直接有关，都可以数量化，即都能用数量化的方式表达。

随机事件数量化的好处是可以用数学分析的方法来研究随机现象。例如某一时间内公共汽车站等车乘客人数，电话交换台在一定时间内收到的呼叫次数，灯泡的寿命等等，都是随机变量的实例。

随机变量是随机试验样本空间上的单值实数函数，分为离散型随机变量 与 连续型随机变量。

离散型随机变量：取值可以一一列举，有限个或者可列举的无限多个。

连续型随机变量：取值不能一一列举，可能取值连续的充满了某一区间。

表示一个事件发生的可能性的大小的数。

如果试验中可能出现的基本事件数有n个，而事件A包含的基本事件数为m个，A的概率。

条件概率是指事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。条件概率表示为：P（A|B），读作“在B的条件下A的概率”。

若只有两个事件A，B，则条件概率公式

离散型（discrete）随机变量即在一定区间内变量取值为有限个或可数个。例如某地区某年人口的出生数、死亡数，某药治疗某病病人的有效数、无效数等。离散型随机变量通常依据概率质量函数分类，主要分为：伯努利随机变量、二项随机变量、几何随机变量和泊松随机变量。

连续型（continuous）随机变量即在一定区间内变量取值有无限个，或数值无法一一列举出来。例如某地区男性健康成人的身长值、体重值，一批传染性肝炎患者的血清转氨酶测定值等。有几个重要的连续随机变量常常出现在概率论中，如：均匀随机变量、指数随机变量、伽马随机变量和正态随机变量。

在概率论和统计学中，期望值（或数学期望、或均值，亦简称期望，物理学中称为期待值）是指在一个离散性随机变量试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。

换句话说，期望值是随机试验在同样的机会下重复多次的结果计算出的等同“期望”的平均值。

离散变量的分布函数的值域是离散的，比如只取整数值的随机变量就是属于离散分布的。

又称 0-1分布 ,如果随机变量X只取0和1两个值，并且相应的概率为：

则称随机变量X服从参数为p的伯努利分布，若令q=1一p，则X的概率函数可写

为：

例子

假设某个试验是伯努利试验，其成功概率用p表示，那么失败的概率为q=1-p。进行n次这样的试验，成功了x次，则失败次数为n-x，发生这种情况的概率可用下面公式来计算：

我们称上面的公式为 二项分布 (Binomial distribution)的概率质量函数。其中

二项分布的应用

例子

在掷3次骰子中，不出现6点的概率是：f(3,0,1/6)=(1/6)^0 (5/6)^3=0579。

泊松近似是二项分布的一种极限形式。其强调如下的试验前提：一次抽样的概率值p相对很小，而抽取次数n值又相对很大。因此泊松分布又被称之为罕有事件分布。泊松分布指出，如果随机一次试验出现的概率为p，那么在n次试验中出现k次的概率按照泊松分布应该为：

其中数学常数e = 271828…(自然对数的底数)

在实践中如果遇到n值很大导致二项分布难于计算时，可以考虑使用泊松分布，但前提是np必须趋于一个有限极限。采用泊松分布的一个不太严格的规则是：

应用

一本书一页中的印刷错误数；

某地区在一天内邮递遗失的信件数；

某一医院在一天内的急诊病人数；

某一地区一个时间间隔内发生交通事故的次数。

例子

某工厂在生产零件时，每200个成品中会有1个次品，那么在100个零件中最多出现2个次品的概率按照泊松分布应该是：

f(100,0,1/200) + f(100,1,1/200) + f(100,2,1/200) = 0986

定义

正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution）。

公式

若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ2的正态分布，记为N(μ，σ2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是 标准正态分布 。

曲线

正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。

正态分布曲线

正态分布中一些值得注意的量：

定义

在概率论和统计学中，均匀分布也叫矩形分布，它是对称概率分布，在相同长度间隔的分布概率是等可能的。 均匀分布由两个参数a和b定义，它们是数轴上的最小值和最大值，通常缩写为U（a，b）。

均匀分布的特征是数据在一个区间中均匀地分布，最小值为 a，最大值为 b。概率密度函数是：

分布函数：

定义

在概率理论和统计学中，指数分布（也称为负指数分布）是描述泊松过程中的事件之间的时间的概率分布，即事件以恒定平均速率连续且独立地发生的过程。 这是伽马分布的一个特殊情况。 它是几何分布的连续模拟，它具有无记忆（Memoryless Property，又称遗失记忆性）的关键性质。 除了用于分析泊松过程外，还可以在其他各种环境中找到。

公式

其中λ > 0是分布的一个参数，常被称为率参数（rate parameter）。即每单位时间内发生某事件的次数。指数分布的区间是[0,∞)。 如果一个随机变量X呈指数分布，则可以写作：X~ E（λ）。

曲线

定义

贝塔分布（Beta Distribution) 是一个作为伯努利分布和二项式分布的共轭先验分布的密度函数，在机器学习和数理统计学中有重要应用。在概率论中，贝塔分布，也称Β分布，是指一组定义在(0,1) 区间的连续概率分布。

公式

在概率论中，贝塔分布，也称B分布，是指一组定义在 区间的连续概率分布，有两个参数 。

使用要点

定义

若n个相互独立的随机变量ξ₁、ξ₂、……、ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和

卡方分布是指样本方差和总体方差之间的比值关系。

如果样本量为n的样本集取自方差为σ 的正态分布总体，对每一个样本都计算他的卡方值(χ2)，那么卡方值将构成样本方差和总体方差的卡方分布。

卡方分布是右偏的，但是当样本量，即自由度增加时，会逐渐趋向于正态分布。

定义

12005教学大纲修订的数学描述与评论

（1）根据工程，经济学，管理学学科为每个类别研究生院应该有不同的要求和数学知识的能力，数学一数学试卷仍有分歧，二数学，数学，数学三，四。

（2）数学一，二篇数学，第4节增加了“为理念的基本功能”的要求“函数，极限，连续”的考试要求。

原本“掌握的基本功能和图形的基本属性。”以“掌握基本初等函数及其图形的性质，了解初等函数的概念。”

评论：进一步强调对基础知识点。一纸部分的两篇论文

（3）

数学数学部分，由6条要求“多功能差”考试，第3节数学数学，“多功能微积分”的考试要求文章，原“将要求志隐函数治“到”理解隐函数定理，它会寻求偏导数不同的隐函数。“

评论：进一步强调基础知识和概念的理解的重要性。

（4）数学，4篇论文的数学部分，“函数，极限，连续，”由第3条所要求的检查，“理解隐函数的概念，反函数”到“理解反函数的隐函数“，

原名”理解复杂的功能，反函数的概念，隐函数和分段功能。概念“到”理解复杂的功能和分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念“。

评论：进一步强调对基础知识点。

通过第一条要求“微分学”考试，加上“会发现切平面曲线的方程和公式正常”的要求。

前身“理解的概念之间的关系，可以引导和衍生物之间的连续性，衍生物理解的意义和几何的经济意义（包括边缘和柔韧性的概念）”。

以“明白的概念之间的关系，可以引导和衍生物之间的连续性，衍生物理解几何意义和经济意义（包括余量和灵活的概念），会发现切面曲线方程和正规方程。”

评论：进一步注重基础知识，进一步增强对候选人的要求的能力。

（5）

数学，四个文件，“线性方程组，”第4条的考核要求，以“结构的理解与非齐次线性方程组的通解的概念线性代数部分。 5把握由线性方程组的方法初等行变换求解。“

原”主人了解线性方程组的不均匀系统的基本方法，寻找解决方案，非齐次线性方程组的通解将由代表基本的解决方案是其特定的解决方案和相应的出口集团。“两个以上的匝。

评论：进一步加强对考生要求的能力。

（6）数学一，三篇概率论和对一些可能性，考试内容和考试要求体现在文字概念的部分四篇论文数理统计和数学部分进行了，使它更加规范和统一。

（7）数学一，二篇论文进行了修订样本量。

（8）

数学一，二，三，四试卷在考试内容和考试要求，表达了进一步明确，规范统一，有的只列出了考试内容范围的内容，而相关的内容要求和应用层的内容可以解决的要求，部分列出了这些问题的考试。

22005考研数学研究生数学试卷特点

2005年将进一步增加考生的准确性，掌握数学和全面的调查工作的基本知识，以及不同的使用的综合交叉基本技能的强大的知识。难易程度，水平将保持在2004年

2004年数学最基本的问题是比较容易近五年以来的一系列问题。

2005年大纲的要求，保持基本不变，2004年只有进一步加强标准化要求的重要性的基础知识。如：1元差异：添加了“利用初等函数的概念准确的概念”，“将寻求切平面曲线的方程和法方程”的差分强调“理解隐函数定理，将寻求多样化的隐藏偏导数功能，“线性代数强调”非齐次方程理解为一般的解决方案的结构和概念的解决方案，“和”用于求解线性方程组的主初等行变换的方法中，“等。概念和出色的基本计算能力的准确和全面的了解，考生将在2005年全面培训胜利的关键，加强知识，洞察力的交叉基本制度，努力提高知识，以不变应万变，以排除误解，是我们的建议。

关于的特点和问题，2005年结构考研，有以下几种：

（1）试卷分数

自2003年以来，对数学考试成绩教育部考试中心部设置150点，这体现在素质和能力的数学人才，但数学试卷没有增加容量的主题，但分配给每个科目的分数国家的重视明显增加，如选择和填空（共13小题），从增加3点至4点就更不用说了。对于在从上到下的数学方面的努力每位考生，其价值增加。 2005年数学考试成绩保持不变。

（2）试卷结构问题

2005年数学试卷一，二，三，四个相同的结构，有23个问题。选择并填写约占40％（共计14小时56分的问题）的空白，剩下的就是回答问题。

纸1：积分约60％，约20％的代数，概率和大约20％的统计数据;

纸2：约80％的微积分（需要多元微积分，二重积分远），

代数约20％（要求特征值和特征向量为准）;

纸3：约50％（不包括曲线和曲面积分和三重积分，和场论）微积分，代数

约25％（要求到二次为止，有说明书一），约25的统计概率％;

纸4：约50％的积分（不含曲线和曲面积分和三重分，和场论），

代数约25％（规定的特征值？和特征向量到目前为止），约25％的概率理论（不包括统计）;

（3）2004年标记的基本情况

初步估算，平均70分钟左右，在北京，微积分，线性代数和概率统计的主题是90分以上相对更基本的，最低降档限制。概率统计的话题这种情况下，最好的答案，微积分和线性代数的受访者得分已经改善了往年。考生

（4）全民基本情况

普及基本情况是：本科教学的数学和英语与全国高考远远现行国家标准的实际要求。究其原因，这种情况是不是考生自己。

面对考研，数学考试的学生的特点进行全面的研究了解准点的基础知识，我们的建议是：加强准确性，全面性，完整性和系统性的基础知识的理解，提高了基本知识点交叉能力的综合运用。为了确保这样的教学，大学辅导考研数学辅导班基础的有效性，平时要保持120-160小时，正是这种基本的课堂教学，只是为了确保广大学生对数学知识的大大提高洞察力维护现状，取得好成绩荣登考场。

3关于基础知识的准确理解，完整性和系统性

基本知识，了解，首先要作到准确，精度不单独做的一切。精度，为了进一步具有全面性。基本知识和足够的精确不准确或不准确的理解，这将极大地影响考试成绩。问题的准确性和全面性，这是最不充分的考生需要仔细卸妆。

完整的基本内容一般占超过60分（满分150），和综合题的基础上也占有重要组成部分。所谓的基本知识，基本属性包括初等函数，导数定义的结构限制模式和存在的命题和命题属性（满了吗？有必要吗？还是要收费？），限算法的形式变形极限，反函数的概念，隐函数的性质，线性微分方程，一阶线性微分方程的公式，与非齐次线性齐次方程线性结构的概念，与排名初等变换矩阵的概念，向量组无关的向量，矩阵和解决的非齐次线性方程组的线之间的关系的初等变换，事件 *** 作的概率，这五个古典概率分布率的基本公式的分布的性质的结构之间秩和线性方程之间关系的密度和分布函数及其相互关系的，数字化的功能和基本的算术式，一个简单的随机样本和数字的功能，等等的定义。失误

基础知识往往会导致一个综合性的学科入口点错误，最后的结果是一个全球性的错误。还应该注意的背景和各个知识点的基本概念之间的关系，而不是让更多的问题。方法和基本覆盖的技术话题做总结和分析，力争做到举一反三，以一当十，这样的培训将可以很容易地找到一个切入点和想法，当你遇到一个人的问题。

Scipy库提供了一组用于计算离散型随机变量PMF和连续型随机变量PDF的方法。

简记为：多次进行的抛硬币实验。

特点：只有两种结果，每次试验独立，每次成功的概率相同。

成功次数为x的概率 ：

可视化：

简记为：你搞了个抽奖活动，想知道一天内多少人中奖

特点：①事件在任意两个长度相等的区间内，发生一次的机会均相等。②事件在一个区间内发生与否与另一个区间没有关系，即相互独立。

在一段固定时间内，事件发生i次的概率 ：

比较泊松分布不同参数λ对应的概率质量函数，可以验证随着参数增大，泊松分布开始逐渐变得对称，分布也越来越均匀，趋近于正态分布

几何分布：0-1分布首次成功

负二项分布：0-1分布第k次成功

超几何分布：从n种里抽指定种类的k个（不放回）

简记为：天女散花，每个面积上落下花的概率相等

记为：X~U(a，b）x在[a,b]区间内概率密度函数相等，等于1/(b-a)。

正态分布X~N(u,d) u:均值，d:标准差，通过下式进行标准化，转化为均值为0，标准差为1 的标准正态分布X~Z(0，1)。

不同均值和标准差下的正态分布对比：

一个特定事件发生所需要的时间，例如：快递点服务的时间间隔。

理解：（1）泊松分布表示的是事件发生的次数，“次数”这个是离散变量，所以泊松分布是离散随机变量的分布。（2）指数分布是两件事情发生的平均间隔时间，“时间”是连续变量，所以指数分布是一种连续随机变量的分布 关系推导如下

不同参数下，指数分布的对比：

Gamma分布：常用来描述某个事件总共要发生n次的等待时间的分布。

在Numpy库中，提供了一组random类可以生成特定分布的随机数

除了Numpy，Scipy也提供了一组生成特定分布随机数的方法

对于未知的总体分布，首先，提出假设，其次，根据统计量的显著性判定假设是否正确，最后得到答案。一般来说：原假设都为不存在差异，不存在关联。备择假设一般是存在差异，存在关联。

简单来说就是：显著接受备择假设，不显著接受原假设。

常用的统计检验包括：回归检验、比较检验、关联检验

简单先行回归、多重线性回归、Logistic回归

均值对比的假设检验方法主要有Z检验和T检验，它们的区别在于Z检验面向总体数据和大样本数据，而T检验适用于小规模抽样样本。

1T-test

T检验的三种形式：

单样本：一般来说将变量与均值相比较，看有没有差异。

配对样本：实验前与实验后变量有没有差异

独立样本：一个变量的两组类别有没有差异

判断age 的均值是否为30

（3）独立样本t检验

判断来自两个不同抽样组的age 的均值是否相等

2方差分析（ANOVA）

用于一个变量>=2组的分类情况下均值是否相等。

常用的是卡方检验，判断两组类别变量是相关还是独立

1一类错误：拒真（通过alpha设置，显著性水平95%时，alpha=005，说明有005的概率拒真）

2二类错位：信伪（无法通过错误率直接控制，一般有小样本和高样本方差导致）

3两者你大我小不可调和。