f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0,证明g(x)在负无穷到正无穷的导函数连续

当x不等于零时g(x)=f(x)/x，显然f(x)具有二阶连续导数，1/x也是可导的，

故g′(x)=[xf′(x)-f(x)]/x^2,

当x不等于0时，由于f(x)具有二阶连续导数，故f′(x)也是连续的，显然1/x^2也是连续的，由连续的可加性及可乘性知，当x不等于0时，g的导函数是连续的；

当x=0时g(x)=f′（0），则有

lim(x→0)g(x)

=lim(x→0)f(x)/x (洛必达法则)

=lim(x→0)f′(x)

=f′(0)

故g(x)在x=0处连续，下面证明其导数在x=0处存在且连续：

g′(0)=lim(△x→0)[g(△x)-g(0)]/△x

=lim(△x→0)[f(△x)/△x-f′(0)]/△x

=lim(△x→0)[f(△x)-△xf′(0)]/△x^2 (洛必达法则)

=lim(△x→0)[f′(△x)-f′(0)]/[2△x]

=1/2f′′(0)

lim(x→0)g′(x)

=lim(x→0)[xf′(x)-f(x)]/x^2

=lim(x→0)[f′(x)/x-f(x)/x^2] (洛必达法则)

=lim(x→0)[f′(x)/x-f′(x)/2x]

=lim(x→0)1/2f′′(x)

=1/2f′′(0)

因此g′(0)=lim(x→0)g′(x)

故g(x)在负无穷到正无穷的导函数连续

求 y'' 就是对 y' 求导,这是一个复合函数求导：

先对 tan (a) 求导,由公式知其为 sec^2 (a)； 再对 a 求导,a 为x 的函数,且是抽象函数,把它写成 da/dx 即可,所以有：

y''(x) = sec^2(a) da/dx

设参数方程 x(t), y(t)，则二阶导数：

一阶导数是自变量的变化率，二阶导数就是一阶导数的变化率，也就是一阶导数变化率的变化率。

连续函数的一阶导数就是相应的切线斜率。一阶导数大于0，则递增；一阶倒数小于0，则递减；一阶导数等于0，则不增不减。

而二阶导数可以反映图象的凹凸。二阶导数大于0，图象为凹；二阶导数小于0，图象为凸；二阶导数等于0，不凹不凸。

结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于零，而二阶导数大于零时，为极小值点；当一阶导数等于零，而二阶导数小于零时，为极大值点；当一阶导数、二阶导数都等于零时，为驻点。

扩展资料：

如果加速度并不是恒定的，某点的加速度表达式就为：a=limΔt→0 Δv/Δt=dv/dt(即速度对时间的一阶导数)

又因为v=dx/dt 所以就有：a=dv/dt=d²x/dt² 即元位移对时间的二阶导数。

将这种思想应用到函数中 即是数学所谓的二阶导数f'(x)=dy/dx (f(x)的一阶导数）；f''(x)=d²y/dx²=d(dy/dx)/dx (f(x)的二阶导数)。

如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)（即二阶导数）>0恒成立，那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。

用参数方程描述运动规律时，常常比用普通方程更为直接简便。对于解决求最大射程、最大高度、飞行时间或轨迹等一系列问题都比较理想。有些重要但较复杂的曲线（例如圆的渐开线），建立它们的普通方程比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解。

根据方程画出曲线十分费时；而利用参数方程把两个变量x，y间接地联系起来，常常比较容易，方程简单明确，且画图也不太困难。

--二阶导数