数据结构-第4节-二叉树

1.树概念及结构 1.1.树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。 · 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点 · 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i<= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继 · 因此，树是递归定义的（树是由根和子树构成，子树又是由根和子树构成，以此类推，直到叶为止） 注：树形结构中，子树之间不能有交集（不能有回路或不能带环），否则就不是树形结构

1.2.树的相关概念

节点的度 ：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6 叶节点 或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点 非终端节点或 分支节点 ：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点 双亲节点或 父节点 ：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点 孩子节点或 子节点 ：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点 兄弟节点 ：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点 树的度 ：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6 节点的层次 ：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推； 树的高度或深度 ：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4 堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为堂兄弟节点 节点的祖先 ：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先 子孙 ：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙 森林 ：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林

1.3.树的表示

//假设指定树的度
#define N 5
typedef int DataType;
struct TreeNode
{
	DataType data;
	struct TreeNode* subs[N];  // 指针数组
};


//不知道树的度(很复杂)
typedef int DataType;
struct TreeNode
{
	DataType data;
	// 顺序表存孩子的指针
	SeqList _sl;	// SLDateType -> struct TreeNode*
};


//孩子兄弟表示法(最优秀的方法)
typedef int DataType;
struct Node
{
	struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
	struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
	DataType _data; // 结点中的数据域
};

孩子兄弟表示法是最常用也是最优秀的表示方法，具体解释如下：

 1.4.树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构）

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2.二叉树概念及结构 2.1.概念

二叉树特点： 1. 二叉树不存在度大于2的结点 2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

 

2.2.特殊的二叉树

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是，则它就是满二叉树。 2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，个结点都与深当且仅当其每一度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。完全二叉树简述就是：如果一个二叉树的层数为K，那么前k-1层都是满的，最后一层不满，但是最后一层从左往右是连续的。 注：完全二叉树 / 满二叉树 可以使用数组重组 物理结构：

 

逻辑结构：

已知父亲下标求左右儿子下标：	已知左(右)儿子下标求父亲下标：
leftchild=parent*2+1 rightchild=parent*2+2	parent=(child-1)/2

2.3.二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有个结点. 2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是 3. 对任何一棵非空二叉树, 如果度为0（叶结点）结点个数为, 度为2的分支结点个数为 ,则有（度为0的结点比度为2的结点永远多一个） 4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度， 5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：      1. 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点      2. 若2i+1=n否则无左孩子      3. 若2i+2=n否则无右孩子

选择题： ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ） A 不存在这样的二叉树 B 200 C 198 D 199 答案：A ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2.下列数据结构中，不适合采用顺序存储结构的是（ ） A 非完全二叉树 B 堆 C 队列 D 栈 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ） A n B n+1 C n-1 D n/2 答案：A 解析： 假设度为0有N0个，度为1有N1个，度为2有N2个 N0+N1+N2=2N       ->        N0+N1+N0-1=2N        ->        2*N0+N1-1=2N 因为完全二叉树中度为1的结点要么为0要么为1，所以N1为0或1，又因为如果N1为0的话N0是一个小数，所以N1只能为1 N0=N ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4.一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（ ） A 11 B 10 C 8 D 12 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（ ） A 383 B 384 C 385 D 386