自控原理学习笔记--反馈控制系统的动态模型_python

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第一章——反馈控制系统的动态模型
第二章——系统稳定性分析
第三章——连续时间系统性能分析
第四章——自动控制系统校正与综合

反馈控制系统动态模型

文章目录

反馈控制系统动态模型
- 1.控制系统的线性化
- 2. 常用信号
- 3.卷积
- 4.传递函数/系统增益
- 5.典型环节
- 6.极点、零点、增益
- 6. 结构图：
- - 6.1串联结构:
  - 6.2 并联结构：
  - 6.3 反馈结构：
  - 6.4 Matlab实现三种结构
  - - 6.4.1 传递函数的实现：
    - 6.4.2 结构的实现：
  - 6.5 结构图求解方法
  - - 6.5.1常用结构图化简等价关系
    - 6.5.2 求解思路：
    - 6.5.3 案例
- 7. 信号流图：
- - 7.1 相关术语：
  - 7.2 画法规定:
  - 7.3 与结构图对应关系
  - 7.4 画法举例
- 8. Mason公式求解
- - 8.1 Mason公式表达式为：
  - 8.2 Mason求解案例
- 9.闭环系统
- - 9.1 反馈控制系统的抽象模型
  - 9.2闭环系统的传递函数
  - 9.3 灵敏度函数
- 10.反馈系统的开环特征模型
- - 10.1 开环特征：
  - 10.2 开环传递函数两个标准式：
- 11.频率特性函数
- - 11.1 图形表示方法：
  - 11.2 零极点位置和暂态增益图
  - - 11.2.1 复轨迹曲线
    - 11.2.2例子
  - 11.3 计算系统响应
- 12.开环频率特性幅相曲线
- - 12.1 典型环节幅相曲线-Nyquist图
  - 12.2一般特性频率曲线
  - - 12.2.1 开环传递函数：
    - 12.2.2 幅相曲线的绘制：
    - 12.2.3 特征点
    - 12.2.4 例子
- 13.开环对数频率特性
- - 13.1Bode图概念
  - 13.2 典型环节Bode图
  - 13.3 Bode图渐近线画法：
  - 13.4最小相位系统：
  - 13.5举例
- 14.典型非线性环节
- 15.非线性系统的特殊性
- 16.描述函数模型
- - 16.1描述函数概念
  - 16.2 描述函数计算方法
- 17.非线性特性的合并
- - 17.1串联
  - 17.2并联

1.控制系统的线性化

原理：泰勒展开
可线性化条件：
- 正常工作状态至少有一个稳定工作点
- 运行过程中偏量满足小偏差
- 只含有非本质非线性函数，且线性化是局部的

2. 常用信号

冲激、阶跃、正弦信号，频谱丰富

3.卷积

y ( t ) = g ( t ) ∗ r ( t ) = ∫ − ∞ ∞ g ( τ ) r ( t − τ ) d τ {y(t)=g(t)*r(t)=\int_{-\infty}^{\infty}g(\mathrm{\tau})r(t-\mathrm{\tau})\mathrm{d\tau } \mathrm{} } y(t)=g(t)∗r(t)=∫−∞∞g(τ)r(t−τ)dτ

只针对线性时不变系统
表征了作用强度随时间衰减后的效果
时域卷积等价于频域/复频域的乘积

4.传递函数/系统增益

定义：零初始条件下（I/O及各阶导数在t<=0时均为0），输出Laplace变换与输入的Laplace变换之比。
G ( s ) = Y ( s ) R ( s ) G(s)=\frac{Y(s)}{R(s)} G(s)=R(s)Y(s)

只适用于线性时不变系统
只取决于系统结构和参数，与I和初始条件无关

5.典型环节

典型环节	输入与输出的函数关系	传递函数	阶数
比例环节	y = k u y=ku y=ku	k	0
微分环节	y = T d d u d t y=T_d\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} t} y=Tddtdu	T d s T_ds Tds	1
积分环节	y = 1 T i ∫ 0 t u ( τ ) d τ y=\frac{1}{T_i}\int_{0}^{t}u(\tau) \mathrm{d}{\tau} y=Ti1∫0tu(τ)dτ	1 T i s \frac{1}{T_is} Tis1	1
惯性环节	T d y d t + y = u T \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+y=u Tdtdy+y=u	1 T s + 1 \frac{1}{Ts+1} Ts+11	1
振荡环节	d 2 y d t 2 + 2 ζ w n d y d t + w n 2 y = w n 2 u , 0 ≤ ζ ≤ 1 \frac{\mathrm{d^2} y}{\mathrm{d} t^2}+2\zeta w_n\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d}t}+w_n^2y=w_n^2u,0\le\zeta\le1 dt2d2y+2ζwndtdy+wn2y=wn2u,0≤ζ≤1	w n 2 s 2 + 2 ζ w n s + w n 2 \frac{w_n^2}{s^2+2\zeta w_ns+w_n^2} s2+2ζwns+wn2wn2	2
延迟环节	y = u ( t − τ ) y=u(t- \mathrm{\tau}) y=u(t−τ)	e − τ s e^{-\mathrm{\tau}s} e−τs	∞ ( 泰勒 ) \infty(泰勒) ∞(泰勒)

6.极点、零点、增益

G ( s ) = B ( s ) A ( s ) G(s)=\frac{B(s)}{A(s)} G(s)=A(s)B(s)

极点：A(s)多项式的根
零点：B(s)多项式的根
零频增益：
K 0 = G ( 0 ) = G ( s ) ∣ s = 0 = B ( s ) A ( s ) ∣ s = 0 = b 0 a 0 K_0=G(0)=G(s)|_{s=0}=\frac{B(s)}{A(s)}|_{s=0}=\frac{b_0}{a_0} K0=G(0)=G(s)∣s=0=A(s)B(s)∣s=0=a0b0
- 代表输出的稳态值与阶跃的输入的比值
- 闭环系统对直流信号或阶跃信号的静态传输关系和功率放大作用
暂态增益：
K t = b m a n , b m 、 a m 为分子分母最高阶次 K_t=\frac{b_m}{a_n},b_m、a_m为分子分母最高阶次 Kt=anbm,bm、am为分子分母最高阶次
- 反映系统暂态性能

6. 结构图： 6.1串联结构:

定义：一个环节的输出等于另一个环节的输入
传递函数：

G ( s ) = Y ( s ) U ( s ) = Y ( s ) U 1 ( s ) ∗ U 1 ( s ) U ( s ) = G 1 ( s ) ∗ G 2 ( s ) G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{Y(s)}{U_1(s)}*\frac{U_1(s)}{U(s)}=G_1(s)*G_2(s) G(s)=U(s)Y(s)=U1(s)Y(s)∗U(s)U1(s)=G1(s)∗G2(s)

6.2 并联结构：

定义：两个环节的输入相同，而输出相加或相减为总的输出
传递函数：
G ( s ) = Y ( s ) U ( s ) = Y 1 ( s ) U ( s ) ± Y 2 ( s ) U ( s ) = G 1 ( s ) ± G 2 ( s ) G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{Y_1(s)}{U(s)}\pm\frac{Y_2(s)}{U(s)}=G_1(s)\pm G_2(s) G(s)=U(s)Y(s)=U(s)Y1(s)±U(s)Y2(s)=G1(s)±G2(s)

6.3 反馈结构：

定义：每个环节的输出作为另一个环节的输入，从整体上看，系统的输出信号对系统的控制作用产生直接影响，形成闭合环路
传递函数
G y u ( s ) = G ( s ) 1 ± G ( s ) H ( s ) G_{yu}(s)=\frac{G(s)}{1 \pm G(s)H(s)} Gyu(s)=1±G(s)H(s)G(s)
求解过程：

E ( s ) = U ( s ) ± Z ( s ) = U ( s ) ± H ( s ) Y ( s ) Y ( s ) = G ( s ) [ U ( s ) ± H ( s ) Y ( s ) ] = G ( S ) 1 ∓ G ( s ) H ( s ) U ( s ) G y u ( s ) = Y ( s ) U ( s ) = G ( s ) 1 ∓ G ( s ) H ( s ) E(s)=U(s)\pm Z(s)=U(s)\pm H(s)Y(s)\ Y(s)=G(s)[U(s) \pm H(s)Y(s)]=\frac {G(S)}{1 \mp G(s)H(s)}U(s)\ G_{yu}(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{G(s)}{1 \mp G(s)H(s)} E(s)=U(s)±Z(s)=U(s)±H(s)Y(s)Y(s)=G(s)[U(s)±H(s)Y(s)]=1∓G(s)H(s)G(S)U(s)Gyu(s)=U(s)Y(s)=1∓G(s)H(s)G(s)

6.4 Matlab实现三种结构 6.4.1 传递函数的实现：

num=[1 1 1];%%x^2+x+1
den=conv([2 1],[1 3]);%%(2x+1)*(x+3)
G=tf(num,den);%%tf()为传递函数

6.4.2 结构的实现：

假设两个环节传递函数为G和H：

结构	函数
串联结构	`series(G,H)`或者`G*H`
并联结构	`G+H`或者`G-H`或者`parallel(G,H)`
反馈结构	`feedback(G,H,+1/-1)`

6.5 结构图求解方法 6.5.1常用结构图化简等价关系

6.5.2 求解思路：

1.复杂的反馈系统：

找到串联、并联支路进行合并。
将比较点进行平移，化简成最简反馈结构，利用公式求解传递函数

2.简单的系统：

通过列写方程求出输入和输出的函数关系

6.5.3 案例

7. 信号流图： 7.1 相关术语：

节点：表示系统中的变量或信号的点。节点在图中用一圆圈表示。
支路：连接两个具有因果关系节点之间的有向线段。
源点：只有输出支路而无输入支路的节点称为源点或输入节点。
汇点：只有输入支路而无输出支路的节点称为汇点或输出节点。
混合节点：既有输入支路、又有输出支路的节点称为混合节点，
通路：沿支路箭头所指方向、通过各相连支路的路径（不允许有相反方向支路存在）。
开通路：通路与任一节点相交不多于一次。
环路：如果通路的终点就是通路的起点，并且与其他任何节点相交不多于一次的闭合路径。
前向通路：从源点到输出节点方向的通路上，通过其它任何节点不多于一次的全部通路。
支路增益：两个节点之间的因果关系，叫作支路增益，标在相应支路的旁边，实际上它就是两个变量之间的传递函数。
环路增益：环路中各支路增益的乘积，也称为回路增益，。
前向通路增益：前向通路中各支路增益的乘积。
不接触环路：没有任何共同节点的回路，称为不接触环路。

7.2 画法规定:

位于综合点前有引出的变量必须通过单位增益表示出来
输入端后是混合节点，输出端钱是混合节点，都需要增加单位增益进行表示

7.3 与结构图对应关系

结构图	信号流图
输入信号	源节点
输出信号	汇点
比较点、引出点	混合节点
环节	支路
环节传递函数	支路增益

7.4 画法举例

8. Mason公式求解 8.1 Mason公式表达式为：

G = 1 Δ ∑ k = 1 l F k Δ k Δ = 1 − ∑ L i + ∑ L i L j − ∑ L i L j L k + … … − … … G=\frac{1}{\Delta} \sum_{k=1}^{l}F_k\Delta_k \ \Delta =1-\sum L_i+\sum L_iL_j-\sum L_iL_jL_k+……-…… G=Δ1k=1∑lFkΔkΔ=1−∑Li+∑LiLj−∑LiLjLk+……−……

为信号流图的特征式；其中：

:所有不同环路的环路增益

：每两个互不接触环路的增益乘积之和

：每三个互补接触的环路增益乘积之和

l：从输入节点到输出节点的前向通路数

Fk：源点到输出节点间第k条前向通路的支路增益

:第k条前向通路的特征余子式

8.2 Mason求解案例

见1.5.3题目1

9.闭环系统 9.1 反馈控制系统的抽象模型

以单位负反馈为例，其中R（s）表示输入信号，D（s）表示负载扰动信号，N（s）表示测量噪声信号，Y（s）表示测量输出，X(s)表示过程输出，E（s）表示误差信号，U（s）表示控制信号，V（s）表示过程输入。C（s）为控制器的传递函数，P（s）为被控对象的传递函数。

令W=[R D N]^T为系统外部输入， U为控制信号，Y为系统的测量输出，Z=[E V X]^T为系统输出.则可将上图模型抽象为如下形式

9.2闭环系统的传递函数

该传递函数可以写成如下矩阵形式：

若九个函数都存在，则系统良定
Δ为系统的特征多项式：
Δ = 1 1 + P C Y = ( P C R + P D + N ) Δ \Delta = \frac{1}{1+PC}\ Y=\frac{(PCR+PD+N)}{\Delta} Δ=1+PC1Y=Δ(PCR+PD+N)
若希望系统输出几乎跟踪指令变化，并且不受扰动影响，则需要增大系统的开环增益。
P C ≫ 1 PC \gg 1 PC≫1

9.3 灵敏度函数

定义：
S = d T / T d P / P = d T d P ∗ P T S=\frac{\mathrm{d}T/T}{\mathrm{d}P/P} =\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}P} *\frac{P}{T}\ S=dP/PdT/T=dPdT∗TP
闭环传递函数：
T = C P 1 + C P T=\frac{CP}{1+CP}\ T=1+CPCP

d T d P = C ( 1 + C P ) − C P ∗ C ( 1 + C P ) 2 = C ( 1 + C P ) 2 S = 1 1 + C P \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}P}=\frac{C(1+CP)-CP*C}{(1+CP)^2}=\frac{C}{(1+CP)^2}\ S=\frac{1}{1+CP}\ dPdT=(1+CP)2C(1+CP)−CP∗C=(1+CP)2CS=1+CP1

又因为S+T=1,所以又定义T为反馈系统的余灵敏度函数。

作用：判断模型误差对控制系统的影响。

10.反馈系统的开环特征模型 10.1 开环特征：

开环特征函数：L（s）=P（s）* C(s)
环路增益：L_1(s) = - P(s)*C(s)

10.2 开环传递函数两个标准式：

K为开环增益-主导稳定误差；
K = s ϑ L ( s ) ∣ s = 0 K=s^{\vartheta}L(s)|_{s=0} K=sϑL(s)∣s=0
K_1为开环暂态增益-主导暂态性能
对于单位反馈系统，开环增益K_1=闭环系统暂态增益K_t
开环增益和开环暂态增益关系如下：

matlab画零极点图例子：

num= [1 1.41 1];
den=conv([1 1.22 0],[1.25 2 2]);
L=tf(num,den);
T=feedback(L,1,-1)
[z,P,k1]=tf2zp(num,den)
pzmap(T);

11.频率特性函数

对于稳定的线性时不变系统（LTI），

频率特性：
- 系统稳态输出与输入信号的复数比
- 系统输出信号与输入信号Fouier变换之比
对于稳定的LTI，若R（t）为正弦信号，则y（t）为同频率正弦信号。
物理意义：表征系统对不同频率正弦输入响应特性
频率特性函数实质：复变函数

幅频： A ( w ) = ∣ G ( i w ) ∣ 相频： φ ( w ) = a r g G ( i w ) 幅频：A(w)=|G(iw)|\ 相频：\varphi (w)= arg G(iw) 幅频：A(w)=∣G(iw)∣相频：φ(w)=argG(iw)

11.1 图形表示方法：

Nyquist图----特点：1）具有对称性； 2）已知开环频率特性L(iω)，可令w由小到大取值，算出幅值 | L(iω )| 和相位∠L (iω) 的相应值，在 L 平面描点绘图，可以得到开环幅相曲线。

Bode 图----特点：1）可展宽幅频范围； 2）可简化作图过程； 3）便于图解应用； 4）难以应用于系统稳定性定理的证明

Nichols图---- 特点：1）系统增益的改变，不影响相频特性，故增益改变时，对数幅相特性只是简单的向上平移或向下平移，而曲线形状保持不变； 2）G(iω)和1/G(iω)的对数幅相特性图相对原点中心对称，即幅值和相位均相差一个符号； 3）利用对数幅相特性图，很容易由开环频率特性求闭环频率特性，可方便地用于确定闭环系统的稳定性及解决系统的综合校正问题。

11.2 零极点位置和暂态增益图 11.2.1 复轨迹曲线

按广义频率特性，令s=iw，可得到开环系统的复轨迹曲线，可表示为：

极点矢量：分母因式（ i w − p i iw-p_i iw−pi）是s平面从极点 p i p_i pi指向虚轴上iw的矢量。
零点矢量: 分子因式（ i w − z j iw-z_j iw−zj）是s平面从零点 z j z_j zj指向虚轴上iw点的矢量。

∣ L ( i w ) ∣ = K 1 ∏ j = 1 m N j / ∏ i = 1 n M i φ ( w ) = ∑ j = 1 m θ j − ∑ i = 1 i μ i \left | L(iw)\right | =K_1 \prod_{j=1}^{m}N_j / \prod_{i=1}^{n}M_i \ \varphi(w) =\sum_{j=1}^{m} \theta _j-\sum_{i=1}^{i} \mu _i ∣L(iw)∣=K1j=1∏mNj/i=1∏nMiφ(w)=j=1∑mθj−i=1∑iμi

幅频特性：零点矢量模的乘积除以极点矢量模的乘积，再乘上暂态增益K_1

11.2.2例子

画出频率特性G(iω)=(iω+3)/[(iω+2)(iω+4)]在频率为1Hz时的极点矢量和零点矢量，并计算该频率下的幅频与相频。

11.3 计算系统响应

12.开环频率特性幅相曲线 12.1 典型环节幅相曲线-Nyquist图

12.2一般特性频率曲线 12.2.1 开环传递函数：

幅频：|L(iw)|
相频：

12.2.2 幅相曲线的绘制：

开环幅相曲线的起点（w=0^+）和终点（w=∞）
L ( i 0 + ) = { K e i 0 , ν = 0 ∞ e − i ν × 90 , ν > 0 L ( i ∞ ) = 0 e − i ( n − m ) 90 当没有右半平面的开环零极点时取小正数 ϵ ∠ L ( i ϵ ) = − ν × 90 + ∑ arctan ⁡ τ k ϵ − ∑ arctan ⁡ T j ϵ ≈ − ν × 90 + ( ∑ τ k − ∑ T j ) ϵ L(i0^+)=\left\{\begin{matrix} Ke^{i0}, \quad \nu =0\\ \infty e^{-i\nu \times 90 },\quad \nu >0 \end{matrix}\right. \\ L(i\infty )=0e^{-i(n-m)90} \\ 当没有右半平面的开环零极点时\\取小正数\epsilon \quad \angle L(i\epsilon )=-\nu \times 90+\sum \arctan \tau_k\epsilon -\sum \arctan T_j\epsilon \\ \approx -\nu \times 90+(\sum \tau_k-\sum T_j)\epsilon L(i0+)={Kei0,ν=0∞e−iν×90,ν>0L(i∞)=0e−i(n−m)90当没有右半平面的开环零极点时取小正数ϵ∠L(iϵ)=−ν×90+∑arctanτkϵ−∑arctanTjϵ≈−ν×90+(∑τk−∑Tj)ϵ
开环幅相曲线与负实轴的交点，交点坐标为：
R e L ( i w ) = L ( i w ) 令虚部为 0 ReL(iw) = L(iw) \quad 令虚部为0 ReL(iw)=L(iw)令虚部为0
开环幅相曲线的变化范围（象限性，单调性）

12.2.3 特征点

相位穿越频率:首次使得相位为-180°。
∠ L ( i w p c ) = − 180 ° \angle L(iw_{pc})=-180° ∠L(iwpc)=−180°
增益穿越频率w_c：首次使得增益为1
∣ L ( i w c ) ∣ = 1 |L(iw_c)|=1 ∣L(iwc)∣=1

12.2.4 例子

13.开环对数频率特性 13.1Bode图概念

Bode图由对数幅频特性和相频特性构成。通常以分贝值作为纵坐标。
∣ L ( i w ) ∣ d B = 20 lg ⁡ ∣ L ( i w ) ∣ ( d B ) |L(iw)|_{dB}=20\lg^{|L(iw)|}(dB) ∣L(iw)∣dB=20lg∣L(iw)∣(dB)

13.2 典型环节Bode图

比例环节

频率特性为 ∣ G ( i w ) ∣ = k |G(iw)|=k ∣G(iw)∣=k

对数幅频特性： 20 lg ⁡ ∣ G ( i w ) ∣ = 20 lg ⁡ k 20\lg{|G(iw)|}=20\lg^k 20lg∣G(iw)∣=20lgk

相频特性： ∠ G ( i w ) = 0 ° \angle G(iw)=0\degree ∠G(iw)=0°
微分环节

G ( i w ) = i T d w G(iw)=iT_dw G(iw)=iTdw

对数幅频特性： 20 lg ⁡ ∣ G ( i w ) ∣ = 20 lg ⁡ T d w 20\lg|G(iw)|=20\lg{T_dw} 20lg∣G(iw)∣=20lgTdw

相频特性： ∠ G ( i w ) = 90 ° \angle G(iw) = 90\degree ∠G(iw)=90°

积分环节

G ( i w ) = 1 i T i w G(iw)=\frac{1}{iT_iw} G(iw)=iTiw1

对数幅频特性： 20 l g ∣ G ( i w ) ∣ = − 20 lg ⁡ ( T i w ) 20lg|G(iw)|=-20\lg(T_iw) 20lg∣G(iw)∣=−20lg(Tiw)

相频特性： ∠ G ( i w ) = − 90 ° \angle G(iw) =-90\degree ∠G(iw)=−90°
惯性环节

G ( i w ) = 1 i T w + 1 G(iw)=\frac{1}{iTw+1} G(iw)=iTw+11

对数幅频特性： 20 l g ∣ G ( i w ) ∣ = − 10 lg ⁡ [ 1 + ( w T ) 2 ] 20lg|G(iw)|=-10\lg[1+(wT)^2] 20lg∣G(iw)∣=−10lg[1+(wT)2]

相频特性： ∠ G ( i w ) = − arctan ⁡ w T \angle G(iw)= -\arctan wT ∠G(iw)=−arctanwT
一阶微分环节

$ G(iw)=1+iTw$

对数幅频特性： 20 l g ∣ G ( i w ) ∣ = 10 lg ⁡ [ 1 + ( w T ) 2 ] 20lg|G(iw)|=10\lg[1+(wT)^2] 20lg∣G(iw)∣=10lg[1+(wT)2]

相频特性： ∠ G ( i w ) = arctan ⁡ w T \angle G(iw)=\arctan wT ∠G(iw)=arctanwT
二阶振荡环节

G ( i w ) = 1 ( i T w ) 2 + 2 ζ i T w + 1 = 1 1 − ( w / w n ) 2 + i 2 ζ w / w n G(iw)=\frac{1}{(iTw)^2+2\zeta iTw+1}=\frac{1}{1-(w/w_n)^2+i2\zeta w/w_n} G(iw)=(iTw)2+2ζiTw+11=1−(w/wn)2+i2ζw/wn1

对数幅频特性： 20 l g ∣ G ( i w ) ∣ = − 10 lg ⁡ { [ 1 − ( w / w n ) 2 ] 2 + ( 2 ζ w / w n ) 2 } 20lg|G(iw)|=-10\lg \{[1-(w/w_n)^2]^2+(2\zeta w/w_n)^2\} 20lg∣G(iw)∣=−10lg{[1−(w/wn)2]2+(2ζw/wn)2}

相频特性：
∠ G ( i w ) = { − arctan ⁡ 2 ζ w / w n 1 − w 2 / w n 2 , w < w n − 180 ° − arctan ⁡ 2 ζ w / w n 1 − w 2 / w n 2 , w > w n \angle G(iw)=\left \{\begin{matrix} -\arctan\frac{2\zeta w/w_n}{1-w^2/w_n^2},\quad ww_n \\ \end{matrix} \right. ∠G(iw)={−arctan1−w2/wn22ζw/wn,w<wn−180°−arctan1−w2/wn22ζw/wn,w>wn
二阶微分环节

G ( i ω ) = 1 − ( ω / ω n ) 2 + i 2 ζ ω / ω n G(iω)=1−(ω/ω_n)^2+i2ζω/ω_n G(iω)=1−(ω/ωn)2+i2ζω/ωn

对数幅频特性： 20 l g ∣ G ( i w ) ∣ = 10 lg ⁡ { [ 1 − ( ω / ω n ) 2 ] 2 + ( 2 ζ w / w n ) 2 20lg|G(iw)|=10 \lg \{[1−(ω/ω_n)^2]^2+(2\zeta w/w_n)^2 20lg∣G(iw)∣=10lg{[1−(ω/ωn)2]2+(2ζw/wn)2

相频特性： ∠ G ( i w ) = { arctan ⁡ 2 ζ w / w n 1 − w 2 / w n 2 , w < w n 180 ° + arctan ⁡ 2 ζ w / w n 1 − w 2 / w n 2 , w > w n \angle G(iw)=\left \{\begin{matrix} \arctan\frac{2\zeta w/w_n}{1-w^2/w_n^2},\quad ww_n \\ \end{matrix} \right. ∠G(iw)={arctan1−w2/wn22ζw/wn,w<wn180°+arctan1−w2/wn22ζw/wn,w>wn
延迟环节

G ( i w ) = e − i τ w G(iw)=e^{-i\tau w} G(iw)=e−iτw

对数幅频特性：$20lg|G(iw)|=0 $

相频特性： ∠ G ( i w ) = − τ w \angle G(iw)=-\tau w ∠G(iw)=−τw

13.3 Bode图渐近线画法：

将开环传递函数写成时间常数标准式，确定系统开环增益K，把各典型环节的转折频率依次标在频率轴。
L ( s ) = K 1 ∏ j = 1 m ( s − z j ) ∏ i = 1 n ( s − p i ) L(s)=\frac{K_1\prod^m_{j=1}(s-z_j)}{\prod^n_{i=1}(s-p_i)} L(s)=∏i=1n(s−pi)K1∏j=1m(s−zj)
由于系统低频段渐近线的频率特性为 K / ( i w ) ν K/(iw)^\nu K/(iw)ν,因此，过 ( K ν , 0 ) 或 ( 1 , 20 lg ⁡ K ) (\sqrt[\nu]K,0)或(1,20\lg K) (νK ,0)或(1,20lgK)点绘制斜率为 − ν × 20 d B / d e c -\nu \times 20dB/dec −ν×20dB/dec的直线为低频段渐近线（ ν 为积分环节数 \nu为积分环节数 ν为积分环节数）纯积分无转折频率
沿频率增大方向没遇到一个转折频率改变一次斜率，遇到分子一阶环节，频率+20dB/dec，二阶+40dB/dec，同理分母为负。渐近线最后一段斜率为-20（n-m）dB/dec.
绘制相频特性曲线，分别绘制各环节相频曲线，最后进行叠加

13.4最小相位系统：

最小相位系统：没有开环RHP¹零点和极点的系统。

非最小相位系统：含有开环RHP零点、极点，其相位滞后较大

13.5举例

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14.典型非线性环节

饱和非线性特性：
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死区非线性特性：
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间隙或回环非线性特性：
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继电器非线性特性：

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15.非线性系统的特殊性

不满足叠加原理
稳定的复杂性：

例如设系统方程为 x ˙ = x 2 − x = x ( x − 1 ) \dot x = x^2-x = x(x-1) x˙=x2−x=x(x−1)，当初值x>1和x<1,两者趋向则不同

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- 不仅与系统结构参数油管，还与初始条件有关
- 非线性系统可以产生自持振荡，而线性系统则不能产生
对正弦输入信号的响应发生畸变和失真
混沌现象：“混沌无序却颇有规则”
KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 2: &̲\dot x=a(y-x) \…
- 内禀随机性：产生于完全确定性的系统，初始条件高度敏感
- 有界性：内部不稳定，但有吸引域
- 遍历性：有限时间经过所以点
- 统计特性：Lyapuonv指数一定大于0