算法提高——数据结构

文章目录

• 前言
• 一、例题
• • • 动态中位数
• 二、算法介绍
• • 1.对顶堆
• 代码

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前言

对顶堆是数据结构堆的一种应用，属于面试必考题之一，对顶堆可以用来动态维护第k大的值，比如中位数等等。

一、例题 动态中位数

依次读入一个整数序列，每当已经读入的整数个数为奇数时，输出已读入的整数构成的序列的中位数。

输入格式
第一行输入一个整数 P，代表后面数据集的个数，接下来若干行输入各个数据集。

每个数据集的第一行首先输入一个代表数据集的编号的整数。

然后输入一个整数 M，代表数据集中包含数据的个数，M 一定为奇数，数据之间用空格隔开。

数据集的剩余行由数据集的数据构成，每行包含 10 个数据，最后一行数据量可能少于 10 个，数据之间用空格隔开。

输出格式
对于每个数据集，第一行输出两个整数，分别代表数据集的编号以及输出中位数的个数（应为数据个数加一的二分之一），数据之间用空格隔开。

数据集的剩余行由输出的中位数构成，每行包含 10 个数据，最后一行数据量可能少于 10 个，数据之间用空格隔开。

输出中不应该存在空行。

数据范围
1≤P≤1000,
1≤M≤99999,
所有 M 相加之和不超过 5×105。

输入样例：
3
1 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 9
9 8 7 6 5 4 3 2 1
3 23
23 41 13 22 -3 24 -31 -11 -8 -7
3 5 103 211 -311 -45 -67 -73 -81 -99
-33 24 56
输出样例：
1 5
1 2 3 4 5
2 5
9 8 7 6 5
3 12
23 23 22 22 13 3 5 5 3 -3
-7 -3

题目来源：acwing / 算法竞赛进阶指南
题目链接：动态中位数

思路分析：
题意很简单，就是让我们动态输出序列的中位数。如果直接暴力来做的话，必然是会超时的，而动态输出中位数，可以看成是动态输出序列的第n / 2 + 1个数，动态维护第k个数的大小，则可以用对顶堆来解决（也称为沙漏堆）。

二、算法介绍 1.对顶堆

图文并茂，对顶堆的结构就是下图的样子，用一个小根堆和一个大根堆维护。
对顶堆有两个要求：
1.要求down堆的值都小于up堆的值。
2.根据题意要求维护第k大的值，down堆的数量最多大于up堆数量k - n / 2 个。（比如要求维护中位数，其实就是要求我们维护第n / 2 + 1大的值。所以down堆的数量最多大于up堆数量1个）

证明：
为什么我们这个数据结构能维护好第k大的数呢？
其实我们要维护第k大的值，可以转化成我们把比k大的值放到上面，比k小的值放在下面的问题，所以我们令大根堆的值都小于小根堆，而小根堆的最小值也大于大根堆的最大值，所以第k大的值保持在大根堆的顶部。当大根堆的数量大于小根堆数量 + k - n / 2的数时，我们就只需要更新大根堆的顶部的值，把之前的down.top加到小根堆即可.

代码

#include 
#include 
using namespace std;
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t -- )
    {
        int n,m;
        scanf("%d%d",&m,&n);
        printf("%d %d\n",m,(n + 1) / 2);
        int cnt = 0;
        priority_queue down;                      //大根堆
        priority_queue ,greater> up;   //小根堆
        for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        {
            int x;
            scanf("%d",&x);
            if(!down.size() || x <= down.top()) down.push(x);    
            else up.push(x);
            
            if(down.size() > up.size() + 1) up.push(down.top()),down.pop();
            
            if(up.size() > down.size()) down.push(up.top()),up.pop();
            
            if(i % 2)
            {
                printf("%d ",down.top());
                cnt ++;
                if(cnt % 10 == 0) printf("\n");
            }
        }
        if(cnt % 10 ) printf("\n");
    }
    
    return 0;
}