今天我们来介绍另一种平衡二叉树：红黑树（Red Black Tree），红黑树由Rudolf Bayer于1972年发明，当时被称为平衡二叉B树（symmetric binary B-trees），1978年被LeonIDas J. Guibas 和 Robert Sedgewick改成一个比较摩登的名字：红黑树。
红黑树和之前所讲的AVL树类似，都是在进行插入和删除 *** 作时通过特定 *** 作保持二叉查找树的平衡，从而获得较高的查找性能。自从红黑树出来后，AVL树就被放到了博物馆里，据说是红黑树有更好的效率，更高的统计性能。不过在我了解了红黑树的实现原理后，并不相信这是真的，关于这一点我们会在后面进行讨论。
红黑树和AVL树的区别在于它使用颜色来标识结点的高度，它所追求的是局部平衡而不是AVL树中的非常严格的平衡。之前我们在讲解AVL树时，已经领教过AVL树的复杂，但AVL树的复杂比起红黑树来说简直是小巫见大巫。红黑树是真正的变态级数据结构。
首先来一个Silverlight做的红黑树的动画，它有助于帮你理解什么是红黑树。这里需要注意，必须安装Silverlight 2.0 RTW 才能正常运行游戏，下载地址：
http://www.microsoft.com/silverlight/resources/install.aspx?v=2.0
使用注意事项：
l 结点只接收整数，如果在添加和删除 *** 作中输入非法字串，则会随机添加或删除一个0~99之间的整数。
l 可以不在编辑框中输入数字，直接单击添加和删除按钮进行添加和删除 *** 作。
l 可以拖动拖动条控制动画速度。
红黑树的平衡红黑树首先是一棵二叉查找树，它每个结点都被标上了颜色（红色或黑色），红黑树满足以下5个性质：
1、 每个结点的颜色只能是红色或黑色。
2、 根结点是黑色的。
3、 每个叶子结点都带有两个空的黑色结点（被称为黑哨兵），如果一个结点n的只有一个左孩子，那么n的右孩子是一个黑哨兵；如果结点n只有一个右孩子，那么n的左孩子是一个黑哨兵。
4、 如果一个结点是红的，则它的两个儿子都是黑的。也就是说在一条路径上不能出现相邻的两个红色结点。
5、 对于每个结点来说，从该结点到其子孙叶结点的所有路径上包含相同数目的黑结点。
红黑树的这5个性质中，第3点是比较难理解的，但它却非常有必要。我们看图1中的左边这张图，如果不使用黑哨兵，它完全满足红黑树性质，结点50到两个叶结点8和叶结点82路径上的黑色结点数都为2个。但如果加入黑哨兵后（如图1右图中的小黑圆点），叶结点的个数变为8个黑哨兵，根结点50到这8个叶结点路径上的黑高度就不一样了，所以它并不是一棵红黑树。
要看真正的红黑树请在以上动画中添加几个结点，看看是否满足以上性质。
红黑树的旋转 *** 作红黑树的旋转 *** 作和AVL树一样，分为LL、RR、LR、RL四种旋转类型，差别在于旋转完成后改变的是结点的颜色，而不是平衡因子。旋转动画演示请参考AVL这篇文章中的Flash动画：
http://www.cnblogs.com/abatei/archive/2008/11/17/1335031.HTML
红黑树上结点的插入在讨论红黑树的插入 *** 作之前必须要明白，任何一个即将插入的新结点的初始颜色都为红色。这一点很容易理解，因为插入黑点会增加某条路径上黑结点的数目，从而导致整棵树黑高度的不平衡。但如果新结点父结点为红色时（如图2所示），将会违返红黑树性质：一条路径上不能出现相邻的两个红色结点。这时就需要通过一系列 *** 作来使红黑树保持平衡。
为了清楚地表示插入 *** 作以下在结点中使用“新”字表示一个新插入的结点；使用“父”字表示新插入点的父结点；使用“叔”字表示“父”结点的兄弟结点；使用“祖”字表示“父”结点的父结点。插入 *** 作分为以下几种情况：
1、黑父
如图3所示，如果新点的父结点为黑色结点，那么插入一个红点将不会影响红黑树的平衡，此时插入 *** 作完成。红黑树比AVL树优秀的地方之一在于黑父的情况比较常见，从而使红黑树需要旋转的几率相对AVL树来说会少一些。
2．红父
如果新点的父结点为红色，这时就需要进行一系列 *** 作以保证整棵树红黑性质。如图3所示，由于父结点为红色，此时可以判定，祖父结点必定为黑色。这时需要根据叔父结点的颜色来决定做什么样的 *** 作。青色结点表示颜色未知。由于有可能需要根结点到新点的路径上进行多次旋转 *** 作，而每次进行不平衡判断的起始点（我们可将其视为新点）都不一样。所以我们在此使用一个蓝色箭头指向这个起始点，并称之为判定点。
2.1 红叔
当叔父结点为红色时，如图4所示，无需进行旋转 *** 作，只要将父和叔结点变为黑色，将祖父结点变为红色即可。但由于祖父结点的父结点有可能为红色，从而违反红黑树性质。此时必须将祖父结点作为新的判定点继续向上进行平衡 *** 作。
需要注意，无论“父”在“叔”的左边还是右边，无论“新”是“父”的左孩子还是右孩子，它们的 *** 作都完全一样。
2.2 黑叔
当叔父结点为黑色时，需要进行旋转，以下图示了所有的旋转可能
情形1：
情形2：
（2010-3-25 注意：经网友@H_17_419@BourneHan的指正，现已确定3.2.1和3.2.2中的新结点应为黑色，而不是现在的不确定颜色。基于以下2点原因，我并不打算在代码及博文中更改这个错误：
@H_17_419@ 1、这个错误对代码及动画的正确性没有影响。
@H_17_419@ 2、之前的代码及动画经过了大量测试，需要花很多时间，更改代码意味着重新测试，现在的确抽不出这么多时间来做这项工作。
@H_17_419@这里只能对各位读者说声对不起了，最快的补救方法就是在此点出错误，让读者明了。)
3.2.3 黑兄红侄
黑兄红侄有以下四种情形，下面分别进行图示：
情形1：
情形2：
情形3：
情形4：
由以上图例所示，看完以上四张图的兄弟有可能会有一个疑问，如果情形1和情形2中的两个侄子结点都为红色时，是该进行LL旋转还是进行LR旋转呢？答案是进行LL旋转。情形3和情形4则是优先进行RR旋转的判定。
红黑树的代码实现本以为红黑树的代码非常容易，因为System.Collections.Generic.sortedDictionary类就是使用红黑树实现的，把代码的算法部分抠出来就搞定了。但看了SortedDictionary源码后有些失望，C#中真正实现红黑树的是TreeSet类，SortedDictionary只是在TreeSet的基础上进一步抽象，加上了Key/Value泛型对。TreeSet使用了一种新的红黑树算法，它在搜索插入点和删除点时预先进行旋转和染色 *** 作，从而避免插入和删除后的回溯。这种算法看上去很美，但仔细想想，如果插入的是一个已经存在的结点，删除的结点并不存在，那这些预平衡处理不是白做了吗？更可怕的是如果在一条路径上间隔进行一次插入和一次删除，而这些 *** 作没有命中目标，那么大家就会看到结点的颜色变来变去，这些都是无用功。来看看在寻找插入和删除点的路径上TreeSet每前进一步都要做些什么：给四个变量赋值；判断每个结点的两个孩子结点的颜色。这种算法在《java数据结构和算法》这本书中有详细讲述，不过只讲解了插入算法。另外国内也专门有一篇论文描述这个算法，他的测试结果是这种算法优于其他算法，估计测试时没有不命中目标的情况发生。总之我并不相信这是一个好的算法。
为了证实我的想法，我不得不自己实现红黑树，实现思路跟AVL树很类似，也是使用一个数组保存访问路径以进行回溯，当然，考虑到红黑树不严格的平衡，数组的长度设为64，这并不会给性能带来什么影响。过程很艰辛，需要做大量测试。很不幸，写完后继续做红黑树的Silverlight动画时不小心把原来的代码给覆盖掉了，结点删除部分的代码丢失。当时几乎崩溃，不过重写并没有我想象的那么困难，很快完成，感觉思路清晰了很多，实现比原来也有了改进，感谢上帝！
下面把代码贴出来，如果理解了上面所讲内容是很容易读懂这些代码的。
using System;
namespace PaintBST
{
public class RBTree : IBinaryTree // 实现画树接口
{ // 成员变量
private Node _head; // 头指针
private Node[] path = new Node[ 32 ]; // 记录访问路径上的结点
private int p; // 表示当前访问到的结点在_path上的索引
INode IBinaryTree.head // 显式接口实现
{
get { return (INode)_head; }
}
public bool Add( int value) // 添加一个元素
{ // 如果是空树，则新结点成为二叉排序树的根
if (_head == null )
{
_head = new Node(value);
_head.IsRed = false ;
return true ;
}
p = 0 ;
// parent为上一次访问的结点，current为当前访问结点
Node parent = null , current = _head;
while (current != null )
{
path[p ++ ] = current; // 将路径上的结点插入数组
// 如果插入值已存在，则插入失败
if (current.Data == value)
{
return false ;
}
parent = current;
// 当插入值小于当前结点，则继续访问左子树，否则访问右子树
current = (value < parent.Data) ? parent.left : parent.Right;
}
current = new Node(value); // 创建新结点
current.IsRed = true ;
if (value < parent.Data) // 如果插入值小于双亲结点的值
{
parent.left = current; // 成为左孩子
}
else // 如果插入值大于双亲结点的值
{
parent.Right = current; // 成为右孩子
}
if ( ! parent.IsRed)
{
return true ;
}
path[p] = current;
// 回溯并旋转
while ((p -= 2 ) >= 0 ) // 现在p指向插入点的祖父结点
{
Node grandParent = path[p];
parent = path[p + 1 ];
if ( ! parent.IsRed)
{
break ;
}
Node uncle = grandParent.left == parent ? grandParent.Right : grandParent.left;
current = path[p + 2 ];
if (IsRed(uncle)) // 叔父存在并且为红色的情况
{
parent.IsRed = false ;
uncle.IsRed = false ;
if (p > 0 ) // 如果祖父不是根结点，则将其染成红色
{
grandParent.IsRed = true ;
}
}
else // 叔父不存在或为黑的情况需要旋转
{
Node newRoot;
if (grandParent.left == parent) // 如果当前结点及父结点同为左孩子或右孩子
{
newRoot = (parent.left == current) ? LL(grandParent) : LR(grandParent);
}
else
{
newRoot = (parent.Right == current) ? RR(grandParent) : RL(grandParent);
}
grandParent.IsRed = true ; // 祖父染成红色
newRoot.IsRed = false ; // 新根染成黑色
// 将新根同曾祖父连接
ReplaceChildOfNodeOrRoot((p > 0 ) ? path[p - 1 ] : null , grandParent, newRoot);
return true ; // 旋转后不需要继续回溯，添加成功，直接退出
}
}
return true ;
}
// 旋转根旋转后换新根
private voID ReplaceChildOfNodeOrRoot(Node parent, Node child, Node newChild)
{
if (parent != null )
{
if (parent.left == child)
{
parent.left = newChild;
}
else
{
parent.Right = newChild;
}
}
else
{
_head = newChild;
}
}
private static bool IsBlack(Node node)
{
return ((node != null ) && ! node.IsRed);
}
private static bool IsNullOrBlack(Node node)
{
if (node != null )
{
return ! node.IsRed;
}
return true ;
}
private static bool IsRed(Node node)
{
return ((node != null ) && node.IsRed);
}
// 删除指定值
public bool Remove( int value)
{
p = - 1 ;
// parent表示双亲结点，node表示当前结点
Node node = _head;
// 寻找指定值所在的结点
while (node != null )
{
path[ ++ p] = node;
// 如果找到，则调用RemoveNode方法删除结点
if (value == node.Data)
{
RemoveNode(node); // 现在p指向被删除结点
return true ; // 返回true表示删除成功
}
if (value < node.Data)
{ // 如果删除值小于当前结点，则向左子树继续寻找
node = node.left;
}
else
{ // 如果删除值大于当前结点，则向右子树继续寻找
node = node.Right;
}
}
return false ; // 返回false表示删除失败
}
// 删除指定结点
private voID RemoveNode(Node node)
{
Node tmp = null ; // tmp最终指向实际被删除的结点
// 当被删除结点存在左右子树时
if (node.left != null && node.Right != null )
{
tmp = node.left; // 获取左子树
path[ ++ p] = tmp;
while (tmp.Right != null ) // 获取node的中序遍历前驱结点，并存放于tmp中
{ // 找到左子树中的最右下结点
tmp = tmp.Right;
path[ ++ p] = tmp;
}
// 用中序遍历前驱结点的值代替被删除结点的值
node.Data = tmp.Data;
}
else
{
tmp = node;
}
// 当只有左子树或右子树或为叶子结点时
// 首先找到惟一的孩子结点
Node newTmp = tmp.left;
if (newTmp == null ) // 如果只有右孩子或没孩子
{
newTmp = tmp.Right;
}
if (p > 0 )
{
Node parent = path[p - 1 ];
if (parent.left == tmp)
{ // 如果被删结点是左孩子
parent.left = newTmp;
}
else
{ // 如果被删结点是右孩子
parent.Right = newTmp;
}
if ( ! tmp.IsRed && IsRed(newTmp))
{
newTmp.IsRed = false ;
return ;
}
}
else // 当删除的是根结点时
{
_head = newTmp;
if (_head != null )
{
_head.IsRed = false ;
}
return ;
}
path[p] = newTmp;
// 如果被删除的是红色结点，则它必定是叶子结点，删除成功，返回
if (IsRed(tmp))
{
return ;
}
// 删除完后进行旋转，现在p指向实际被删除的位置,这个位置可能为空,tmp指向被删除的旧点，
while (p > 0 )
{ // 剩下的是双黑的情况
// 首先找到兄弟结点
Node current = path[p];
Node parent = path[p - 1 ];
bool currentIsleft = (parent.left == current);
Node sibling = currentIsleft ? parent.Right : parent.left;
// 红兄的情况，需要LL旋转或RR旋转
if (IsRed(sibling))
{
Node newRoot;
if (currentIsleft)
{
newRoot = RR(parent);
}
else
{
newRoot = LL(parent);
}
ReplaceChildOfNodeOrRoot(p > 1 ? path[p - 2 ] : null , parent, newRoot);
sibling.IsRed = false ;
parent.IsRed = true ;
// 回溯点降低
path[p - 1 ] = newRoot;
path[p] = parent;
path[ ++ p] = current;
}
else // 黑兄的情况
{
// 黑兄二黑侄
if (IsNullOrBlack(sibling.left) && IsNullOrBlack(sibling.Right))
{ // 红父的情况
if (parent.IsRed)
{
parent.IsRed = false ;
sibling.IsRed = true ;
if (current != null )
{
current.IsRed = false ;
}
break ; // 删除成功
}
else // 黑父的情况
{
parent.IsRed = IsRed(current);
if (current != null )
{
current.IsRed = false ;
}
sibling.IsRed = true ;
p -- ; // 需要继续回溯
}
}
else // 黑兄红侄
{
Node newRoot;
if (currentIsleft) // 兄弟在右边
{
if (IsRed(sibling.Right)) // 红侄在右边
{ // RR型旋转
newRoot = RR(parent);
sibling.Right.IsRed = false ;
}
else
{ // RL型旋转
newRoot = RL(parent);
}
}
else // 兄弟在左边
{
if (IsRed(sibling.left))
{ // LL型旋转
newRoot = LL(parent);
sibling.left.IsRed = false ;
}
else
{ // LR型旋转
newRoot = LR(parent);
}
}
if (current != null )
{
current.IsRed = false ;
}
newRoot.IsRed = parent.IsRed;
parent.IsRed = false ;
ReplaceChildOfNodeOrRoot(p > 1 ? path[p - 2 ] : null , newRoot);
break ; // 不需要回溯，删除成功
}
}
}
}
// root为旋转根，rootPrev为旋转根双亲结点
private Node LL(Node root) // LL型旋转，返回旋转后的新子树根
{
Node left = root.left;
root.left = left.Right;
left.Right = root;
return left;
}
private Node LR(Node root) // LR型旋转，返回旋转后的新子树根
{
Node left = root.left;
Node right = left.Right;
root.left = right.Right;
right.Right = root;
left.Right = right.left;
right.left = left;
return right;
}
private Node RR(Node root) // RR型旋转，返回旋转后的新子树根
{
Node right = root.Right;
root.Right = right.left;
right.left = root;
return right;
}
private Node RL(Node root) // RL型旋转，返回旋转后的新子树根
{
Node right = root.Right;
Node left = right.left;
root.Right = left.left;
left.left = root;
right.left = left.Right;
left.Right = right;
return left;
}
}
}
完成红黑树后，做了一个比较粗糙的测试程序，对我自己实现的红黑树RBTree，C#类库中的红黑树TreeSet和我自己实现的AVL树AVLTree进行了简单的测试，为了公平起见，我把TreeSet改成了整型版，这样大家都站在了同一起跑线上。考虑到垃圾回收，这样的测试并不是很精确、科学，但也能说明一些问题。以后我会专门写程序对各种常见的查找数据结构进行测试
| 测试项目 | RBTree | TreeSet | AVLTree |
| 200000个整数顺序插入(全部命中) | 0.4375 | 0.4844 | 0.3437 |
| 200000个整数顺序插入后顺序删除(全部命中，只对删除部分计时) | 0.25 | 0.5 | 0.20 |
| 200000个整数随机插入(全部命中) | 0.4375 | 0.5469 | 0.5 |
| 200000个整数随机插入后顺序删除(全部命中，只对删除部分计时) | 0.5 | 0.7343 | 0.4219 |
| 200000个整数顺序插入(一半命中) | 0.297 | 0.344 | 0.234 |
| 100000个整数随机插入后顺序删除(一半命中，只对删除部分计时) | 0.094 | 0.203 | 0.109 |
后记
测试结果基本证实了我的想法，惟一意外的是AVL树有两个项目输给了RBTree。在理论上，RBTree在某些方面的确是比AVL树更为优秀，但从程序员的角度来说，红黑树的实现需要调用大量方法，比如结点颜色的判断，这会抵消红黑树的性能优势。国外网站也有针对红黑树和AVL树的测试，结果基本上是AVL树胜出。
红黑树的动画还有一些BUG，整体效果也不尽如人意，我也懒得再改了，写它比写红黑树困难些。写它主要是为了学习Silverlight，这也算是第一个Silverlight动画作品，东西弄懂了就不想再动了。打算将来更深入地了解Silverlight后再全面修改这个动画。
情形3：
情形4：
可以观察到，当旋转完成后，新的旋转根全部为黑色，此时不需要再向上回溯进行平衡 *** 作，插入 *** 作完成。需要注意，上面四张图的“叔”、“1”、“2”、“3”结点有可能为黑哨兵结点。
其实红黑树的插入 *** 作不是很难，甚至比AVL树的插入 *** 作还更简单些。但删除 *** 作就远远比AVL树复杂得多，下面就介绍红黑树的删除 *** 作。
红黑树上结点的删除红黑树本身是一棵二叉查找树，它的删除和二叉查找树的删除类似。首先要找到真正的删除点，当被删除结点n存在左右孩子时，真正的删除点应该是n的中序遍在前驱，关于这一点请复习二叉查找树的删除。如图9所示，当删除结点20时，实际被删除的结点应该为18，结点20的数据变为18。
所以可以推断出，在进行删除 *** 作时，真正的删除点必定是只有一个孩子或没有孩子的结点。而根据红黑树的性质可以得出以下两个结论：
1、 删除 *** 作中真正被删除的必定是只有一个红色孩子或没有孩子的结点。
2、 如果真正的删除点是一个红色结点，那么它必定是一个叶子结点。
理解这两点非常重要，如图10所示，除了情况(a)外，其他任一种况结点N都无法满足红黑树性质。
在以下讨论中，我们使用蓝色箭头表示真正的删除点，它也是旋转 *** 作过程中的第一个判定点；真正的删除点使用“旧”标注，旧点所在位置将被它的的孩子结点所取代（最多只有一个孩子），我们使用“新”表示旧点的孩子结点。删除 *** 作可分为以下几种情形：
1、旧点为红色结点
若旧点为红色结点，则它必定是叶子结点，直接删除即可。如图11所示
2、一红一黑
当旧点为黑色结点，新点为红色结点时，将新点取代旧点位置后，将新点染成黑色即可（如图12所示）。这里需要注意：旧点为红色，新点为黑色的情况不可能存在。
3、双黑
当旧点和新点都为黑色时（新点为空结点时，亦属于这种情况），情况比较复杂，需要根据旧点兄弟结点的颜色来决定进行什么样的 *** 作。我们使用“兄”来表示旧点的兄弟结点。这里可分为红兄和黑兄两种情况：
3.1 红兄
由于兄弟结点为红色，所以父结点必定为黑色，而旧点被删除后，新点取代了它的位置。下图演示了两种可能的情况：
红兄的情况需要进行RR或LL型旋转，然后将父结点染成红色，兄结点染成黑色。然后重新以新点为判定点进行平衡 *** 作。我们可以观察到，旋转 *** 作完成后，判定点没有向上回溯，而是降低了一层，此时变成了黑兄的情况。
3.2 黑兄
黑兄的情况最为复杂，需要根据黑兄孩子结点（这里用“侄”表示）和父亲结点的颜色来决定做什么样的 *** 作。
3.2.1 黑兄二黑侄红父
如图14所示，这种情况比较简单，只需将父结点变为黑色，兄结点变为黑色，新结点变为黑色即可，删除 *** 作到此结束。
3.2.2 黑兄二黑侄黑父
如图15所示，此时将父结点染成新结点的颜色，新结点染成黑色，兄结点染成红色即可。当新结点为红色时，父结点被染成红色，此时需要以父结点为判定点继续向上进行平衡 *** 作。
总结
以上是内存溢出为你收集整理的红黑树（Red Black Tree）全部内容，希望文章能够帮你解决红黑树（Red Black Tree）所遇到的程序开发问题。
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