一元三次方程的解法

解：

① 8x^3-36x^2+54x-27=0

（2x)3-33-18x（2x-3）=0

(2x-3)(4x2+6x+9) -18x(2x-3)=0

(2x-3)(4x2+6x+9 -18x)=0

(2x-3)(4x2-12x+9)=0

(2x-3)3=0 ∴x=3/2

② x^3+6x^2+16x+21=0

x3-9x+6x2+25x+21=0

x(x+3)(x-3)+(x+3)(6x+7)=0

(x+3)(x2-3x+6x+7)=0

(x+3)(x2+3x+7)=0

∴x=-3 当x2+3x+7=0时无有理数根

③ 6x^3+8x^2+5x+1=0

6x3+8x2+2x+3x+1=0

2x(3x2+4x+1)+(3x+1)=0

2x(3x+1)(x+1)+(3x+1)=0

(3x+1)(2x2+2x+1)=0

∴x=-1/3 2x2+2x+1=0时 无有理数根

④ 8x^3+36x^2+30x+7=0

8x3+28x2+(8x2+30x+7)=0

4x2（2x+7）+(2x+7)(4x+1)=0

(2x+7)(4x2+4x+1)=0

(2x+7)(2x+1)2=0

∴ x=-7/2 或 x=-1/2

⑤ x^3-7x^2-80x+26=0

x^3-7x^2-80x+26=0

x3-13x2+6x2-80x+26=0

x2(x-13)+2(3x2-40x+13)=0

x2(x-13)+2(x-13)(3x-1)=0

(x-13)(x2+6x-2)=0

∴x=13, 或x2+6x-2=0(在有理数范围内无解)

在实数范围内x2+6x-2=0

(x+3)2=11

x=(±根号11)-3

二元一次方程一般解法：

消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。

消元的方法有两种：

1、代入消元

例：解方程组x+y=5① 6x+13y=89②

解：由①得x=5-y③ 把③带入②，得6(5-y)+13y=89，解得y=59/7

把y=59/7带入③，得x=5-59/7，即x=-24/7

∴x=-24/7，y=59/7

这种解法就是代入消元法。

2、加减消元

例：解方程组x+y=9① x-y=5②

解：①+②，得2x=14，即x=7

把x=7带入①，得7+y=9，解得y=2

∴x=7，y=2

这种解法就是加减消元法。

一元三次方程解法具体如下：

1、对于一般形式的一元三次方程。

2、做变换，差根变换，可以用综合除法。

3、化为不含二次项的一元三次方程。

4、想法把一元三次方程化成一元二次方程，关于u，v的三次方的二次方程，解出u，v。

5、求出三个根，即可得出一元三次方程三个根的求根公式。

一元三次方程解法思想是：通过配方和换元，使三次方程降次为二次方程求解．

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只 含有一个 未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为3（即“次”）的整式方程叫作一元三次方程（英文名：one variable cubic equation）。

一元三次方程的标准形式（即所有一元三次方程经整理都能得到的形式）是 ax 3+ bx 2+ cx+ d=0（ a， b， c， d为 常数， x为未知数，且 a≠0）。

一元三次方程的公式解法有卡尔丹公式法与盛金公式法。两种公式法都可以解标准型的一元三次方程。由于用卡尔丹公式解题存在复杂性，相比之下，盛金公式解题更为直观， 效率更高。

一元三次方程求根公式的解法
-------摘自高中数学网站
一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。
一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来的形如
x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。方法如下：
（1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到
（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))
（3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为
x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得
（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知
（5）－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得
（6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3
（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即
（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1y2=c/a
(9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a
(10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为
y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
可化为
(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得
(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
(13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得
(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)
式
(14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。

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