【转载】关于梯度与法向量的理解

关于梯度与法向量的理解：
梯度定义为指向函数增长最快的方向，其大小反映了函数增长的快慢。
梯度指向与垂直于等高面的法向量的方向相同。

设函数f(x,y)=x 2+y 2，在空间中是一个锥面，其梯度为（2x,2y)，一直不能理解这为什么是法向量的方向？垂直于锥面应该是在-z方向有一个量才对啊。
错！！！
梯度里面包含的变量只有x和y，所以梯度变量只在x，y二维平面有意义，这里的梯度指向（x，y）方向。如果把函数f(x,y)=x 2+y 2=C画出来，事实上是x，y二维平面上的一个圆。在某一点（x，y）上，其梯度（2x，2y）总是垂直指向外面更大的圆，此即指向增长最快的方向。

再引用维基上的两个例子：
定义在二维平面（x，y）点山的高度为h，则梯度指向高度变换最快的方向仍然是在（x，y）平面上。
室内每个点的温度定义为一个数量场，则某点的梯度指向温度变化最大的方向。

一直疑惑，在一元方程中，比如y=x上，梯度的法向量作何解释？
事实上，此时的梯度就是导数。

参考资料：

梯度计算结果是一个矢量，本身包含方向，这就是梯度的方向。
既然梯度是矢量，那么就可以用矢量求模的方法来求梯度的模。
方向导数，按照定义计算即可，沿梯度方向的导数结果就是梯度的模。

首先讲下方向导数正如偏导一样,方向导数也是在特定方向上函数的变化率,只不过偏导是在x和y轴方向上罢了,特殊一点而已方向导数在各个方向上的变化一般是不一样的,那到底沿哪个方向最大呢沿哪个方向最小呢为了研究方便,就有了梯度的定义很明显梯度实际上就是以对x的偏导为横坐标,以对y偏导数为纵坐标的一个向量,而方向导数就等于这个向量乘以指定方向的单位向量根据向量乘积的定义可知,对于一个给定的函数,他的偏导是一定的（当然是在同一个点）,所以当给定方向与梯度方向一致时,变化最快
总的来说,梯度的定义是为了研究方向导数的大小更方便而定义的

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