正定的充要条件是什么？

正定的充要条件是A的特征值全为正。判定定理2，对称阵A为正定的充分必要条件是，A的各阶顺序主子式都为正。设M是n阶实系数对称矩阵，如果对任何一非零实向量X，都使二次f(X)=X′MX>0，则称f(X)为正定二次型，f(X)的矩阵M称为正定矩阵(Positive Definite)。

定理介绍：

正定矩阵在相合变换下可化为规范型，即单位矩阵。所有特征值大于零的对称矩阵(或厄米特矩阵)是正定矩阵。另一种定义，一种实对称矩阵。正定二次型f(x1，x2，，xn)=X'AX的矩阵A(=A')称为正定矩阵。
判定定理1，对称阵A为正定的充分必要条件是A的特征值全为正。

判定定理2，对称阵A为正定的充分必要条件是A的各阶顺序主子式都为正。

判定定理3，任意阵A为正定的充分必要条件是A合同于单位。

正定矩阵
设M是n阶实系数对称矩阵， 如果对任何非零向量 X=(x_1,x_n) 都有 X′MX>0，就称M正定(Positive Definite)。 正定矩阵在相合变换下可化为标准型， 即单位矩阵。 所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。 另一种定义：一种实对称矩阵正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵 判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。 判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶主子式都为正。 判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵。

一、正定矩阵判定：

1、正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。

2、若A为n阶对称正定矩阵，则存在唯一的主对角线元素都是正数的下三角阵L，使得A=LL′，此分解式称为 正定矩阵的楚列斯基（Cholesky）分解。

3、若A为n阶正定矩阵，则A为n阶可逆矩阵。

二、判定一个矩阵半正定：

1、对于半正定矩阵来说，相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。

2、半正定矩阵：设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列矩阵X有XTAX≥0，就称A为半正定矩阵。

3、A∈Mn（K）是半正定矩阵的充分条件是：A的所有主子式大于或等于零。

三、负定矩阵判定：

1、设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列矩阵X有XTAX<0，就称A为负定矩阵。

2、A∈Mn（K）是负定矩阵的充要条件是：-A是正定矩阵。

3、A∈Mn（K）是负定矩阵的充要条件是：$A^{-1}$是负定矩阵。

4、A∈Mn（K）是负定矩阵的充要条件是：A的所有奇数阶顺序主子式小于零，所有偶数阶顺序主子式大于零。

扩展资料：

正定性

n×n的实对称矩阵A如果满足对所有非零向量

对应的二次型:

若Q>0就称A为正定矩阵。若 Q<0则A是一个负定矩阵，若Q>=0则A为半正定矩阵，若A既非半正定，也非半负定，则A为不定矩阵  。对称矩阵的正定性与其特征值密切相关。矩阵是正定的当且仅当其特征值都是正数。

实对称矩阵A是负定的，如果二次型f(x1,x2,,xn)=X'AX负定。矩阵负定的充分必要条件是它的特征值都小于零。若矩阵A是n阶负定矩阵，则A的偶数阶顺序主子式大于 0，奇数阶顺序主子式小于 0。

实对称矩阵A称为半正定的，如果二次型X'AX半正定，即对于任意不为0的实列向量X，有X'AX≥0；

参考资料：

百度百科-矩阵

参考资料：

百度百科-半正定矩阵

参考资料：

百度百科-负定矩阵

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