求可以把某个对称矩阵对角化的正交的相似变换矩阵，为什么会这样呢

首先，对于某一实对称矩阵的两个不同的特征值，其对应的特征向量必定正交。
但不会自动自动单位化，需要手动单位化。
而同一特征值(也就是重特征根)，是需要利用施密特正交化方法手动正交化的，然后再单位化。
出现这种不同情况是因为：这两个向量对应的特征根是否相等，即是否是重特征根的两个特征向量。

你的意思是不是求可逆矩阵p
使得
p^(-1)ap
为对角形矩阵
1先求出矩阵的特征值:
|a-λe|=0
2对每个特征值λ求出(a-λe)x=0的基础解系a1,a2,,as
3把所有的特征向量作为列向量构成矩阵p
则p^(-1)ap
为对角形矩阵
主对角线上的元素分别对应特征向量的特征值
有问题可消息我或追问
^_^

二次型 f = 3x^2 +5y^2+5z^2+4xy-4xz-10yz =1的矩阵 A =
[ 3 2 -2]
[ 2 5 -5]
[-2 -5 5]
|λE-A| =
|λ-3 -2 2|
|-2 λ-5 5|
| 2 5 λ-5|
|λE-A| =
|λ-3 -2 2|
|-2 λ-5 5|
| 0 λ λ|
|λE-A| =
|λ-3 -4 2|
|-2 λ-10 5|
| 0 0 λ|
= λ(λ-2)(λ-11), 得特征值 λ = 0, 2， 11
对应的特征向量依次为(0, 1, 1)^T, (4, -1, 1)^T, (1, 2, -2)^T,
单位化是[0, 1/√2, 1/√2]^T, [4/(3√2), -1/(3√2), 1/(3√2)]^T, (1/3, 2/3, -2/3)^T,
以它们为列组成正交矩阵 Q， 记 向量 p = (x, y, z)^T, q = (u, v, w)^T, 且 p = Qq，
因 f = (p^T)Ap,
则 f = (qQ)^T A (Qq) = q^T(Q^TAQ)q = q^T ∧ q
= q^T diag(0, 2, 11) q = 2v^2 + 11w^2 = 1, 二次型的标准形式是柱面。

像这样的题目就直接来化简或者展开，不然可能会更麻烦的
1、
2-λ -2 0
-2 1-λ -2
0 -2 -λ 按第1列展开
=(2-λ)(λ^2-λ-4) +2 2λ
= -λ^3+λ^2+4λ+2λ^2-2λ-8 +4λ
= -λ^3+3λ^2+6λ-8
= -(λ-1)(λ^2-2λ-8)
= -(λ-1)(λ-4)(λ+2)=0
解得λ=1，-2，4
2、
2-λ 2 -2
2 5-λ -4
-2 -4 5-λ 第3行加上第2行
=
2-λ 2 -2
2 5-λ -4
0 1-λ 1-λ 第2列减去第3列
=
2-λ 4 -2
2 9-λ -4
0 0 1-λ 按第3行展开
=(1-λ)(λ^2 -11λ+10)
=(1-λ)(λ-10)(λ-1)
解得λ=1，1，10

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