(2)凡加写了extern 的函数是外部函数.
第一种理解好懂:
C语言的内部函数指的是C语言自带的函数,无论是动态链接的或静态链接的. 这些函数通过C语言的头文件定义了.
例如, sin(),cos()等数学函数,在math.h中定义了,输入输出函数 printf(),fgetc()在stdio.h中定义了,时间函数表time(),ctime()等在time.h中定义了.还有许多其他内部函数.编程时,只要用#include <库名.h>写在编程头部,程序中就可调用.
自定义函数,就是用户自己写的函数.
第二种凡加写了extern 的函数是外部函数:
自定义函数可以与程序的main()写在同一个文件中,也可以写在另一个文件中,这时你可能还另写自己的头文件或者写extern....,告诉编译器,main中用到的某某函数是"外部函数".
例如,main()在a.c中,自定义函数my_func()在a2.c中
a.c内容:
#include <stdio.h>
extern float my_func(float a)
main()
{
printf("result=%f\n",my_func(2.0))
}
a2.c 内容:
float my_func(float a)
{
return a
}
编译:
cl -c a.c [得到a.obj]
cl -c a2.c [得到a2.obj]
cl a.obj a2.obj [链接成a.exe]
运行:
a.exe
得
result=2.000000
extern float my_func() 是外部说明,告诉编译,main()里的my_func是外部函数,要通过链接(.obj)得到.
如果把my_func写在a.c里:
#include <stdio.h>
float my_func(float a){
retun a
}
main()
{
printf("result=%f\n",my_func(2.0))
}
my_func() 就不是外部函数.
编译:
cl a.c [得a.exe]
运行:
a.exe
得
result=2.000000
一、连续Lyapunov方程连续Lyapunov方程可以表示为
Lyapunov方程来源与微分方程稳定性理论，其中要求C为对称正定的n×n方阵，从而可以证明解X亦为n×n对称矩阵，这类方程直接求解比较困难，不过有了Matlab中lyap()函数，就简单多了。
>>A=[1 2 34 5 67 8 0]
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 0
>>C=-[10 5 45 6 74 7 9]
C =
-10-5-4
-5-6-7
-4-7-9
>>X=lyap(A,C)
X =
-3.94443.88890.3889
3.8889 -2.77780.2222
0.38890.2222 -0.1111
二、Lyapunov方程的解析解
利用Kroncecker乘积的表示方法，可以将Lyapunov方程写为
function x=lyap2(A,C)
%Lyapunov方程的符号解法
n=size(C,1)
A0=kron(A,eye(n))+kron(eye(n),A)
c=C(:)
x0=-inv(A0)*c
x=reshape(x0,n,n)
例子
>>A=[1 2 34 5 67 8 0]
>>C=-[10 5 45 6 74 7 9]
>>x=lyap2(sym(A),sym(C))
x =
[ -71/18, 35/9, 7/18]
[ 35/9, -25/9,2/9]
[ 7/18,2/9, -1/9]
三、离散Lyapunov方程
离散Lyapunov方程的一般形式为
Matlab中直接提供了dlyap()函数求解该方程：X=dlyap(A,Q)
其实，如果A矩阵非奇异，则等式两边同时右乘得到
就可以将其变换成连续的Sylvester方程
而Sylvester方程是广义Lyapunov方程，故离散的Lyapunov方程还可以使用下面的方法求解
B=-inv(A’)
C=Q*inv(A’)
X=lyap(A,B,C)
下面总结下我们上面的讲到的知识点：
X=lyap(A,C) 连续Lyapunov方程数值解法
X=lyap2(A,C) 连续Lyapunov方程符号解法
X=lyap(A,B,C)广义Lyapunov方程，即Sylvester方程
X=dlyap(A,Q)或者X=lyap(A,-inv(A’),Q*inv(A’))离散Lyapunov方程
Sylvester方程Matlab求解Sylvester方程的一般形式为
该方程又称为广义的Lyapunov方程，式中A是n×n方阵，B是m×m方阵，X和C是n×m矩阵。Matlab控制工具箱提供了直接的求解该方程的lyap()函数
A=[8 1 63 5 74 9 2]
B=[2 34 5]
C=[1 23 45 6]
X=lyap(A,B,C)
A =
8 1 6
3 5 7
4 9 2
B =
2 3
4 5
C =
1 2
3 4
5 6
X =
0.20110.2016
0.03930.1554
-0.6428 -0.8966
同理，我们使用Kronecker乘机的形式将原方程进行如下变化
故可以编写Sylvester方程的解析解函数
function X=lyap3(A,B,C)
%Sylvester方程的解析解法
%rewrited by dynamic
%more information http://www.ilovematlab.cn
If nargin==2,C=BB=A'end
[nr,nc]=size(C)
A0=kron(A,eye(nc))+kron(eye(nr),B')
try
C1=C'
X0=-inv(A0)*C1(:)
X=reshape(X0,nc,nr)
catch
error('Matlabsky提醒您：矩阵奇异！')
end
用上面的数据，我们试验下该解析解法的
>>X=lyap3(sym(A),B,C)
X =
[ 2853/14186,557/14186, -9119/14186]
[ 11441/56744, 8817/56744, -50879/56744]
Riccati方程的Matlab求解Riccati方程是一类很著名的二次型矩阵形式，其一般形式为
由于含有矩阵X的二次项，所有Riccati方程求解要Lyapunov方程更难，Matlab控制工具箱提供了are()函数，可以直接求解该函数
A=[-2 1 -3-1 0 -20 -1 -2]
B=[2 2 -2-1 5 -2-1 1 2]
C=[5 -4 41 0 41 -1 5]
X=are(A,B,C)
A =
-2 1-3
-1 0-2
0-1-2
B =
2 2-2
-1 5-2
-1 1 2
C =
5-4 4
1 0 4
1-1 5
X =
0.9874 -0.79830.4189
0.5774 -0.13080.5775
-0.2840 -0.07300.6924
如何用matlab求解lyapunov指数我是需要分析计算LOGISTIC数据 ,都是用来说明对初值的敏感.以下是LOGISTIC求解的程序 ,希望得到LYAPUNOV的程序.
clc
clear
close all
lambda = 3:5e-4:4
x = 0.4*ones(1,length(lambda))
N1 = 400 % 前面的迭代点数
N2 = 100 % 后面的迭代点数
f = zeros(N1+N2,length(lambda))
for i = 1:N1+N2
x = lambda .* x .* (1 - x)
f(i,:) = x
end
f = f(N1+1:end,:)
plot(lambda,f,'k.','MarkerSize',1)
xlabel('\lambda')
ylabel('x')
慢慢看吧，很有用
哥们，李雅普诺夫指数的算法有很多种，不知你是需要哪种算法的呢？
比如Nicolis方法、Benettin方法、Wolf方法、Jacobia方法等等
我把我以前计算伊侬映射李指数的程序给你，你参考一下：
%---------伊侬吸引子最大Laypunov指数的计算----------%
clear allclc
a=0.9:0.001:1.4k=length(a)
b=0.3p=600
for n=1:k
for m=2:p
x(1,n)=0.4y(1,n)=0.6
x(m,n)=1+b*y(m-1,n)-a(n)*x(m-1,n)^2
y(m,n)=x(m-1,n)
end
end
for r=1:k %计算雅克比矩阵
for h=2:p
A{1,r}=[-2*a(r)*x(1,r),b1,0]
A{h,r}=[-2*a(r)*x(h,r),b1,0]*A{h-1,r} %注意元胞数组相乘顺序
end
end
for t=1:k %计算最大李指数
vv(:,t)=eig(A{p,t})v=max(abs(vv))
LE1=1/p*log(v)
end
plot(a,LE1,'k')hold on
plot(a,0,'k:')
axis([a(1),a(k),-1 1])
xlabel('a')ylabel('LE1')title('最大李指数')
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