常系数齐次线性微分方程特解是什么？

常系数非齐次线性微分方程特解如下：

二阶常系数非齐次线性微分方程的表达式为y''+py'+qy=f(x)，其特解y设法分为：

1、如果f(x)=P（x），Pn（x）为n阶多项式。

2、如果f(x)=P（x）e^αx，Pn（x）为n阶多项式。

简介

求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。

以斐波那契数列为引子，导出一般的二阶常系数线性递归式的求解问题。
所谓斐波那契数列指的是数列：1，1，2，3，5，8，13，21，……。即数列满足递推公式 F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n}，（F_1 = F_2 = 1），用语言描述就是后一项等于前两项和。很多高中生、非数学专业本科生都对此数列的通项公式的求法比较感兴趣，在本文中，我将给出其通项公式的解法，其中关系到二阶常系数线性递归式的求解问题，需要说明的是，本文的内容不作为严格的数学证明，只是给出这种求解的引导，希望能给读者一些启发。
当我们并没有学习到更深一层次的数学理论时，比如线性代数，离散数学等，我们无法使用那些已经成熟的理论工具来求解斐波那契数列的通项公式，但是我们依然有一些办法可以得到，这种办法有时候可能只是在一些巧合或者偶然的情况下得到的，请看下面的解法思路。
我们假设有一个等比数列\left\{ x^n \right\} ，公比是x，x不为0，首项为1，可以满足斐波那契数列的递推公式，于是就有：
x^{n+2} = x^{n+1} + x^{n}，将等比数列\left\{ x^n \right\} 代入递推式中得到，
提取x^n，移项，即有：
(x^2 - x - 1)x^n = 0,
由于x^n \ne 0，可得：
x^2 - x - 1= 0，
解此一元二次方程，可得两个根为：x_1 = \frac{1+\sqrt{5} }{2}，x_2 = \frac{1- \sqrt{5} }{2}。
也就是说等比数列\left\{ x_1^n \right\} ，\left\{ x_2^n \right\} 是满足斐波那契数列递推公式的两个解，但是实际上这两个等比数列都不是斐波那契数列的通项公式，既然单独的解不是，那么它们的组合呢？容易验证它们的线性组合，即：c_1x_1^n+c_2x_2^n，c_1、c_2是两个待求解的常数，也是递推公式的解。
为了确定这两个常数，我们需要数列的前两项作为初始因子，细想一下，一个数列怎么能没有首项呢？例如等差数列由首项和公差确定，等比数列由首项公比确定，公差和公比至少需要数列的前两项确定，将F_1和F_2代入线性组合的式子里，可得：
\left\{\begin{aligned}
& c_1 \cdot (\frac{1+\sqrt{5} }{2}) + c_2\cdot \frac{1-\sqrt{5} }{2} = 1 & \\
& c_1 \cdot (\frac{1+\sqrt{5} }{2})^2 + c_2\cdot (\frac{1-\sqrt{5} }{2})^2 = 1 & \\
\end{aligned}\right，
解得：c_1 = \frac{1}{\sqrt{5}}，c_2 = -\frac{1}{\sqrt{5}}。
于是斐波那契数列的通项公式为：F_{n} = \frac{1}{\sqrt{5} }[(\frac{1+\sqrt{5} }{2})^n - (\frac{1-\sqrt{5} }{2})^n]。
可以验证，上式就是斐波那契数列的通项公式。
这种方法抽象出来就是特征方程法，特征方程的解法在常系数微分方程中同样适用，解法的理论依据，我们在此不做详细的论证，有兴趣的读者可以去查阅相关资料。
我们先把上面的解法抽象出来。
设二阶常系数齐次递归式为：aH_{n+2} + bH_{n+1} + cH_{n} = 0，其中a、b、c、为常数，有一元二次方程ax^2 + bx + c = 0与之对应，称其为递归式的特征方程，设其两个根为x_1、x_2。
当x_1 \ne x_2，即特征方程有两个不等的实根时，递归式的通项公式为H_{n} = c_1x_1^n + c_2x_2^n，c_1、c_2是两个待求解的常数；
当x_1 = x_2，即特征方程有两个相等的实根时，我们可以构造出一个线性无关解c_2n，则递归式的通项公式为：H_{n} = (c_1 + c_2n)x^n，c_1、c_2是两个待求解的常数；
当特征方程没有实根时，则递归式不存在实数范围内的解，此时的数列变为复数范围内的数列，我们在此不做讨论。
c_1、c_2两个常数可以用数列的前两项H_1、H_2来确定。
特征方程的解法不限于二阶常系数齐次递归式，对更高阶的递归式也适用，二阶的意思是特征方程是二次，三阶即对应三次方程，更高阶则类推，等比数列属于一阶。常系数的意思是a、b、c是常数，而不是函数，齐次的意思是递归式的右边是0，而不是关于n的函数，若右边是关于n的函数，特征方程法也成立，只是需要外加一个关于此函数的特解。
对于常系数线性递归式的解法就说到这里，下面我们来看看斐波那契数列的一些性质。
极限性质：\lim_{n \rightarrow \infty }{\frac{F_{n}}{F_{n+1}}} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}\approx 0618，即黄金分割比，因此斐波那契数列又称为黄金分割数列。
前n项和：\sum_{i = 1}^{n}{F_i} = F_{n+2} - 1，由通项公式可以看出斐波那契数列就是两个等比数列的线性组合，因此分别按照等比数列求和公式就可以求前n项和。
交错和性质：\sum_{i = 1}^{n} {(-1)^iF_i} = (-1)^nF_{n-2} - 1。
集合性质：集合\left\{ 1, 2, 3, ,n-1 \right\} 的不含相邻两数的子集数为：F_n。
行列式性质：F_1 = F_2 = |1|，F_3 = \begin{vmatrix}
1 & 1 \\
-1 & 1 \\
\end{vmatrix}，F_4 = \begin{vmatrix}
1 & 1 & 0 \\
-1 & 1 & 1 \\
0 & -1 & 1\\
\end{vmatrix}，……。
计数性质：以1步或2步登上n-1阶台阶的登法数为F_n。
组合数性质：\sum_{i = 0}^{n-1}{C_{n-i}^i} = F_n ,(i<n, i\leqslant n-i)。
还有许多其它性质，这里不再列举。

y'' - 2y' + 5y = 0,
设y = e^[f(x)],则
y' = e^[f(x)]f'(x),
y''= e^[f(x)][f'(x)]^2 + e^[f(x)]f''(x)
0 = y'' - 2y' + 5y = e^[f(x)][f'(x)]^2 + e^[f(x)]f''(x) - 2e^[f(x)]f'(x) + 5e^[f(x)],
0 = [f'(x)]^2 + f''(x) - 2f'(x) + 5,
当f(x) = ax + b,a,b是常数时
f''(x) = 0,
f'(x) = a
0 = a^2 - 2a + 5
2^2 - 45 = -16 < 0(2^2-45)^(1/2)=4i
a = [2 + 4i]/2 = 1 + 2i或a = [2-4i]/2 = 1 - 2i
y = e^[f(x)] = e^[ax+b] = e^[(1+2i)x + b] = e^[x+b]e^(2ix)
或
y = e^[f(x)] = e^[ax+b] = e^[(1-2i)x + b] = e^[x+b]e^(-2ix)
因2个解都满足微分方程所以,微分方程的实函数解为,
y = e^[x+b]e^(2ix) + e^[x+b]e^(-2ix) = e^[x+b][e^(2ix)+e^(-2ix)] = 2e^[x+b][cos(2x)]
或
y = e^[x+b]e^(2ix) - e^[x+b]e^(-2ix) = e^[x+b][e^(2ix)-e^(-2ix)] = 2e^[x+b][sin(2x)]
微分方程的实函数的通解为,
y = 2c1e^[x+b][cos(2x)] + 2c2e^[x+b][sin(2x)]
= e^x[2c1e^bcos(2x) + 2c2e^bsin(2x)]
其中,c1,c2 是任意常数
记
C1 = 2c1e^b,C2 = 2c2e^b,
有
y = e^x[C1cos(2x) + C2sin(2x)]
C1,C2为任意常数
这个,可能就是特征方程无实数根时,通解的由来吧~
俺记忆力很差,公式都记不住,全靠傻推
这样的坏处是费时,好处是,自己推1遍,来龙去脉就清楚1些了
不知道,俺的傻推过程对你的疑问有点帮助没~,8,r^2-2r+5=0 在实数域内你能得到根么？在复数域内则可得到一对共轭复根，事实上任何实系数一元多次方程若有虚根，则虚根必共轭成对出现！
当然你可能更想知道怎么由这对共轭根得到该微分方程的通解，这问题个根据两种情况解决
1）你只是学简单地高等数学，或者搞工程技术，那么只需要记住怎么由该虚根求得微分方程通解就行了，就是记住公式，记住虚根实虚部和微分方程通解的对应,2,r是微分方程的特征值，它是通过方程r^2-2r+5=0来求出的。
将其看成一元二次方程，判别式=4-20=-16<0,说明方程没有实数根，但在复数范围内有根，根为： r1=1+2i r2=1-2i；
在复数领域中，z1=a+bi 和z2=a-bi, 及两个复数的实数部分相等，虚数部分互为相反数的复数称为共轭复数；所以本题的两个特征值符合这一关系，故谓,2,就是解r^2-2r+5=0这个方程
r^2-2r+1=-4
(r-1)^2=-4
所以r1=1+2i r2=1-2i
应该没有什么难理解的啊,1,r^2-2r+5=0
Δ=b^2-4ac=16<0
所以这个方程没有实根，而是是2个共轭复根。
复根就是用复数表示的根
复数是比实数更大范围的数， 由实部和虚部组成。
虚部有个i，i^2=－1，如设实数m，n，则复数可以表示为m+ni，m是实部，ni为虚部。
其中m+ni和m-ni是共轭关系，就是虚部是相反数，实部相等的两复数！
,0,我来给你介绍一下： ,0,二阶常系数齐次线性微分方程 通解
通解有三种情况 其中一种一直不懂 什么共轭复根 比如说这个题目：
求微分方程y-2y+5y= 0的通解
解 所给方程的特征方程为
r2-2r+5=0
特征方程的根为r1=1+2i r2=1-2i 是一对共轭复根
因此所求通解为
y=ex(C1cos2x+C2sin2x)
帮忙解释下r1怎么会等于1+2i,r2怎么会等于1-2i谢谢!

常系数齐次线性微分方程当然也是y''=f(y,y')型的。

但解，y''=f(y,y')型的微分方程需要积两次分，比较麻烦，而常系数齐次线性微分方程由于其方程的特殊性，可以通过特殊方法，不用积分，而转化成解一元二次的代数方程，这比作变量代换y'=P（y）再积分要简单的多。

学数学的小窍门

1、学数学要善于思考，自己想出来的答案远比别人讲出来的答案印象深刻。

2、课前要做好预习，这样上数学课时才能把不会的知识点更好的消化吸收掉。

3、数学公式一定要记熟，并且还要会推导，能举一反三。

4、学好数学最基础的就是把课本知识点及课后习题都掌握好。

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