搞懂偏导数、方向导数、梯度、散度、旋度

由于学习多变量微积分和电磁学时没有意识到数学基础的重要性，我对于矢量代数的理解一直不够透彻。近日需要处理一些有关波导的问题，但是我由于一些概念没有搞清楚，在矢量方程的变换上吃了些亏。因此，在此我总结一下有关矢量代数的几个概念。

以下内容参考教材以及维基百科。

一个多变量函数的偏导数就是它在其它变量保持不变时，关于某一个变量的导数。它的记法有很多，两个变量的函数的偏导数用数学方式表示就是
一个多变量函数的方向导数就是它在某一点上沿某一方向的瞬时变化率。对于多变量标量函数
在方向
上的方向导数定义为
标量场的梯度是矢量。标量场的梯度指向该场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。在三维笛卡尔坐标系下，梯度是（我习惯在 Nabla 符号上加箭头，表示这是个矢量）
在柱坐标下，梯度是
在球坐标下，梯度是
散度是标量，描述三维矢量场在一点处汇聚或发散的程度。在三维笛卡尔坐标系下，散度是
在柱坐标下，散度是
在球坐标下，散度是
旋度是矢量，描述三维矢量场在一点处的旋转程度。在三维笛卡尔坐标系下，旋度用行列式表示最为方便
这个符号被称为 Del 或 Nabla 算符。我们可以看到上面几个概念里大量用到这个符号。在笛卡尔坐标系下，Nabla 算符可以表示为一个矢量
使用这个算符，我们可以方便地表示梯度、散度、旋度为
方向导数也可以表示为
Nabla 算符可以让这些运算规则变得更容易理解
还有几个多次作用 Nabla 算符的公式
如果感兴趣的话，可以把它们全部推一遍，更有助于记忆哦。

Helmholtz定理
空间区域V上的任意矢量场，如果它的散度、旋度和边界条件（即限定区域V的闭合曲面S上的矢量场的分布）为已知，则该矢量场唯一并且可以表示为一个标量函数的梯度场（无旋场）和一个矢量函数旋度场（无散场，管形场）的叠加，即F(r)=G(r)+H(r)。G(r)是无旋场，由通量源激发，满足：▽×G(r)≡0；H(r)是无散场，由旋涡源激发，满足：▽·H(r)≡0。
标量场的梯度必无旋，矢量场的旋度必无散。

梯度：梯度就是将nabla算符作用在一个标量函数后的结果。

散度：散度就是将nabla算符与一个矢量函数做内积的结果。

旋度：旋度就是将nabla算符与一个矢量函数做叉积的结果。

梯度和旋度是向量场，散度是标量。

梯度针对一个数量场(势场)，衡量一个数量场的变化方向。梯度为0说明该势场是个等势场。

散度针对一个向量场，衡量一个向量场的单位体积内的场强。 散度为0说明这个场没有源头。

旋度针对一个向量场，衡量一个向量场的自旋。旋度为0说明这个场是个保守场(无旋场)，保守场一定是某个数量场的梯度场。

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