Schur引理怎么证明

Schur定理: 任意nxn实矩阵A, 存在酉矩阵U与上三角阵R, 使得A=URU(T) (U(T)表示将矩阵U共轭转置), R中的元素, 可能为复数
(而且还可以进一步要求R的对角元素为矩阵A的特征值, 还可以按顺序排列)
矩阵的QR分解定理: 任意nxn实矩阵A, 存在正交阵Q与上三角阵R, 使得A=QR
(证明用到数值分析中的Householder变换, 好像还有矩阵收缩技巧)
Schur定理的证明:
给定nxn实矩阵A, 可以求出A的n个特征值, 不妨设为c1,c2,,cn(顺序没有要求) 我们假设存在上述的U与R, 只要将它们求出来了, 即可说明其存在性了, 同时也说明了其构造或求解的过程 同时为了过程简略,设特征值互不相同 特殊情况在最后再加以说明
设A,U,R的元素分别为aij,uij,rij, 矩阵分块,列向量分别为ai,ui,rii,j=1,n
A=URU(T)等价于AU=UR
下面的过程, 只是为了解出U,R 令R的对角元为c1,c2,cn 左下角的全为0, 只有右上角的(n^2-n)/2个待求变量 U中有n^2个变量下面就求出这些变量,注意要利用另一个条件,就是矩阵U的性质(酉矩阵)
将矩阵作如下分块: A(u1,u2,un)=U(r1,r2,rn) 先看乘积后的第一列: Au1=Ur1
由于R为上三角阵, 且对角元为A的特征值, 所以列向量r1只有第一个元素为c1, 其余的全为0 所以上式就可以化为: Au1=c1u1 u1为A的特征值c1所对应的特征向量, 当然存在, 可以求出来了 再利用酉矩阵的性质(不同的列向量都正交,且为单位向量, 所以要将u1单位化 这样, 得到U的第1列u1
继续考察Au2=Ur2
Au2=r12u1+r22u2=r12u1+c2u2
即: Au2=r12u1+c2u2 式中含有u2及r12共n+1个变数, 需要n+1个独立的方程才可解出 然而, 上式含有n个方程, u1与u2垂直, u2单位长度, 共n+2个条件 但在上式中, c2为A的特征值, 所以n个方程并不是相互独立的 列出n+2个方程, 刚好可以解出u2与r12
一般情况,考察Auk=Urk
Auk=Urk=r1ku1+r2ku2++r(k-1)ku(k-1)+rkkuk
Auk=r1ku1+r2ku2++r(k-1)ku(k-1)+ckuk
与前面讨论类似, 共有uk中的n个变数和rk中的(k-1)个变数(r1k,r2k,r(k-1)k), rkk=ck为已知的特征值 所以共有(n+k-1)个变量 上面的式子中含有n个方程, 利用u1,u2,u(k-1)与uk垂直, 可得(k-1)个方程, 再加上uk为单位向量, 共(n+k)个方程, 正好可以解出所有的(n+k-1个)变量
如此继续, 直到第n步的Aun=Urn 这样便可以解出所有的rij与uk, 矩阵U与R便可以确定了
证毕
注: 1 若出现重特征值, 比如ck为m重特征值, 则按上面方法求出的uk会有m个线性无关的解 将正交性, 单位长度的条件都用上, 仍可以解出来 这些向量的求法与高等代数中求若当标准形, 求特征值特征向量极为相似
2 若A为对称矩阵, 则R必为对角矩阵, 而且正是A的若当标准形 A=URU(T), 则R=U(T)AU, R(T)=R, 上三角形矩阵共轭转置不变, 则必为对角阵
另外,也可以试讨论U与R的唯一性问题

具体回答如下：

将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积，矩阵的分解法一般有三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解等。

扩展资料：

假设M是一个m×n阶矩阵，其中的元素全部属于域K，也就是实数域或复数域。如此则存在一个分解，其中U是m×m阶酉矩阵；Σ是m×n阶实数对角矩阵；而V，即V的共轭转置，是n×n阶酉矩阵。

这样的分解就称作M的奇异值分解，Σ对角线上的元素Σi,i即为M的奇异值。常见的做法是将奇异值由大而小排列。如此Σ便能由M唯一确定了。

本书涵盖了线性代数尤其是矩阵理论中所有基本且重要的内容，包括：向量空间，内积空间与赋范向量空间，分块矩阵，矩阵的特征值与特征向量、特征多项式与极小多项式，酉三角化与分块对角化，矩阵的相似与标准型，矩阵的三角化、对角化以及多个矩阵的同时对角化，交换的矩阵族，矩阵的各种分解，特征值交错现象与惯性定理，各种特殊而重要的矩阵（酉矩阵、Hermite阵与斜Hermite阵、对称阵与斜对称阵、半正定矩阵与正定矩阵、正规矩阵以及各种特殊的正规矩阵等）等 此外，书中还配有一定数量、难度适宜的习题，启发读者进一步思考斯蒂芬•拉蒙•加西亚（Stephan Ramon Garcia） 美国波莫纳学院数学教授，美国数学学会会士。他是4本书的作者，并发表了超过80篇论文。他的研究兴趣包括算子理论、复变量、矩阵分析、数论和离散几何。
罗杰•A 霍恩（Roger A Horn） 线性代数和矩阵理论领域国际知名数学专家。1967年获得斯坦福大学数学博士学位，曾任约翰•霍普金斯大学数学系主任，现为犹他大学研究教授。他还曾担任American Mathematical Monthly编辑。译者序
前言

记号
第0章预备知识
01函数与集合
02纯量
03矩阵
04线性方程组
05行列式
06数学归纳法
07多项式
08多项式与矩阵
09问题
010一些重要的概念
显示全部信息在重点关注数据采集以及数据分析的领域，线性代数与矩阵方法越来越显示出其重要性 因此，这本书是为学习纯数学与应用数学、计算机科学、经济学、工程学、数学生物学、运筹学、物理学以及统计学的学生而写的 假设读者学习过初级微积分系列课程以及线性代数第一教程
本书值得注意的特点包括以下方面：
 系统地用到分块矩阵
 强调了矩阵以及矩阵分解
 由于酉矩阵与可行且稳定的算法相关，所以本书中强调了涉及酉矩阵的变换
 贯穿全书有大量的例子
 用图形来说明线性代数的几何基础
 以短小精练的章节涵盖一学期课程的内容

答：全加到第一列，得 (n-1)x x x x (n-1)x 0 x x (n-1)x x 0 x (n-1)x x x 0 = 全部减去第一行，得 (n-1)x x x x 0 -x 0 0 0 0 -x 0

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