怎么求矩阵的特征值和特征向量

-1
对应的特征向量(1,-1;-4λ-5)=0
解得λ=5，第2行加上第3行×3/，
a-5e=
-4
2
2
2
-4
2
2
2
-4
第1行加上第2行×2,0)^t和(0，-1
当λ=5时，-1,-1)^t
所以矩阵的特征值为5,1，第1行除以2
～
1
1
1
0
0
0
0
0
0
得到特征向量(1，(1,1,-1,1)^t,1;2，第3行减去第2行
～
0
-6
6
2
-4
2
0
6
-6
第1行加上第3行，交换次序
～
1
0
-1
0
1
-1
0
0
0
得到特征向量(1，-1,1)^t
当λ=
-1时,1，第3行除以6
～
0
0
0
2
0
-2
0
1
-1
第2行除以2，
a+e=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
第2行减去第1行,0)^t和(0，第3行减去第1行设矩阵a的特征值为λ
则|a-λe|=
1-λ
2
2
2
1-λ
2
2
2
1-λ
第1行减去第2行
=
-1-λ
1+λ
0
2
1-λ
2
2
2
1-λ
第2列加上第1列
=
-1-λ
0
0
2
3-λ
2
2
4
1-λ
按第1行展开
=(-1-λ)(λ²

求n阶矩阵A的特征值的基本方法：

根据定义可改写为关系式

E为单位矩阵，要求向量x具有非零解，即求齐次线性方程组

有非零解的值λ，即要求行列式

解次行列式获得的λ值即为矩阵A的特征值。将此值回代入原式求得相应的x，即为输入这个行列式的特征向量。

扩展资料

求矩阵的全部特征值和特征向量的方法：

1、计算的特征多项式；

2、求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；

3、对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是其中是不全为零的任意实数。

求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：

第一步：计算的特征多项式；

第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；

第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组：

的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是其中是不全为零的任意实数。

若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定．反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值。

扩展资料

求特征向量

设A为n阶矩阵，根据关系式Ax=λx，可写出(λE-A)x=0，继而写出特征多项式|λE-A|=0，可求出矩阵A有n个特征值（包括重特征值）。将求出的特征值λi代入原特征多项式，求解方程(λiE-A)x=0，所求解向量x就是对应的特征值λi的特征向量。

判断相似矩阵的必要条件

设有n阶矩阵A和B，若A和B相似（A∽B），则有：

1、A的特征值与B的特征值相同——λ(A)=λ(B)，特别地，λ(A)=λ(Λ)，Λ为A的对角矩阵；

2、A的特征多项式与B的特征多项式相同——|λE-A|=|λE-B|。

参考资料来源：百度百科-特征值

矩阵特征值的求法是写出特征方程lλE-Al=0左边解出含有λ的特征多项式比如说是含有λ的2次多项式，我们学过，是可能没有实数解的，(Δ<0)这个时候我们说这个矩阵没有实特征值但是如果考虑比如Δ<0时有虚数的解，，也就是有虚数的特征值的这样说来就必有特征值啦

矩阵对角化：

设A、B为n阶方阵，μ为A的特征值。

相关结论：

1矩阵A的所有特征值的和等于A的迹(A的主对角线元素之和)。

2矩阵A的所有特征值的积等于A的行列式。

3关于A的矩阵多项式f(A)的特征值为f(μ)。

4若A可逆，则A−1的特征值为1/μ。

5若A与B相似，则A与B有相同特征多项式，即A与B特征值相同。

6属于A的不同特征值的特征向量线性无关。

7(哈密尔顿定理)若φ(μ)为A的特征多项式，则φ(A)=0。

8A能对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。

9若A的n个特征值互不相同，则A可对角化。

10若A的k重特征值μ有k个线性无关的特征向量，则A可对角化。

11若A有k重特征值μ，齐次方程(A−μE)X=0解空间维数为k，则A可对角化。

12若A有k重特征值，矩阵A−μE的秩为n−k，则A可对角化。

13若A是对称矩阵，则属于A的不同特征值的特征向量正交。

14若A是对称矩阵，则A必可对角化。

矩阵A对角化的步骤

1求可逆矩阵P，使得

P^−1AP=diag(μ1,μ2,⋯,μn)

①求A的特征值μ1,μ2,⋯,μn；

②求上述特征值对应的特征向量p1,p2,⋯,pn；

③写出矩阵P=(p1,p2,⋯,pn)。

2若A对称，求正交矩阵Q，使得

Q^−1AQ=Q^TAQ=diag(μ1,μ2,⋯,μn)

①求A的特征值μ1,μ2,⋯,μn；

②求上述特征值对应的特征向量p1,p2,⋯,pn；

③将k重特征值μi的k个特征向量施密特正交化；

④将所有n个特征向量单位化；

⑤不妨设经过正交化单位化的特征向量依次为q1,q2,⋯,qn，写出正交矩阵Q=(q1,q2,⋯,qn)。

典型例子

对角线元素之和（矩阵的迹）= 特征值之和

矩阵的行列式 = 特征值之积

列的方程组

对角线的和等于特征值的和

行列式的值等于特征值的积

例如：

设M是n阶方阵

E是单位矩阵

如果存在一个数λ使得

M-λE

是奇异矩阵（即不可逆矩阵，亦即行列式为零）

那么λ称为M的特征值。

特征值的计算方法n阶方阵A的特征值λ就是使齐次线性方程组（A-λE）x=0有非零解的值λ，也就是满足方程组｜A-λE｜=0的λ都是矩阵A的特征值，要求的那个设为A，经过计算A-ME=-1-M，25/2，3-M（-1-M）（3-M）-5=0（M+2）（M-4）=0M1=-2；M2=4这两个就是特征值了。

扩展资料：

设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。式Ax=λx也可写成( A-λE)X=0。这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式| A-λE|=0。

参考资料来源：百度百科-矩阵特征值

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