求解关于原点到曲线的距离的问题

易知，0《x,y《1设x=t^2(0《t《1)则y=(1-t)^2曲线上的点(t^2,(1-t)^2)到原点的距离d为：d^2=f(t)=t^4+(1-t)^4故问题可化为，求函数f(t)=t^4+(1-t)^4在[0,1]上的最小值。求导得f'(t)=4t^3-4(1-t)^3=0===>t=1/2经讨论知，当t=1/2时，函数f(t)取得最小值，f(t)min=f(1/2)=2(1/2)^4故曲线上的点到原点的距离最小为√2/4

如题，该距离公式借助双曲线的第二定义得出。因此，以下先说明双曲线的第二定义，再给出所涉距离公式。

1双曲线的第二定义：

①文字语言：若平面内点P与一定点的距离和它到一定直线的距离的比是常数e(e>1)，则点P的轨迹是双曲线。其中，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线。

②集合语言：

③两点说明：

1）双曲线有两条准线：对于双曲线x²/a²－y²/b²=1相应于焦点F2（c,0）的准线方程是x=a²/c，根据双曲线的对称性，相应于焦点F1（－c,0）的准线方程是x=-a²/c；

2）据定义知，左焦点对应左准线，右焦点对应右准线。

2借助第二定义表示双曲线上一点到两焦点的距离：

以点P在双曲线右支为例，类似地，可得出点P在左支的情形。

如图，不妨假设P(x。,y。)是双曲线x²/a²－y²/b²=1右支上任意一点，点F1（－c,0）、F2（c,0）分别是双曲线的左、右焦点：

①由点P(x。，y。)向右准线引垂线，垂足为D，则

②由点P(x。，y。)向右准线引垂线，垂足为E，则

3一点补充：

当点P在双曲线左支时，有：|PF1|=－(ex。+a)，|PF2|=－(ex。－a)

求原点到曲线x³-xy+y³=1(x≥0,y≥0)的最短距离。

问题解析

二元函数的条件极值的拉格朗日乘子法，再比较边界点到原点的距离，这些点中距离最大的为最大距离，最短的为最短距离

名师点评

本题考点：

利用拉格朗日乘数法求条件极值；空间两点间距离公式．

考点点评：

此题考查了两点距离公式，以及用拉格朗日乘子法求最值问题．在此要注意的是拉格朗日乘子法求得的是条件极值，再求最值时，一定要将极值点与边界点的函数值作比较，最后确定最值．

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