高等数学求定积分的范围？

由于被奇函数x+y满足0≦x+ y≦3，所以由二重积分性质，有
0≦∫∫(x+ y)dσ≦3∫∫dσ
又积分区域的面积是2，即∫∫dσ=2，故有
0≦∫∫ (x+ y) dσ≦32=6

在求定积分应用求面积时，要把被积函数恒等于正值(或0)，即：
$$f(x) \geq 0, x \in [a,b] $$
这是为了确保我们处理的是一个实际存在的区域，即曲线与 $x$ 轴所包围的区域。
通常情况下，在相应的平面直角坐标系下，通过将积分区域准确地绘制出来并确定其在坐标系中的位置，我们就能直观地分析 $x$（或 $y$）的取值范围了。具体步骤如下：
1 确定被积函数（即曲线）在坐标系中的位置和形状。
2 确定积分区间 $[a,b]$，也就是$x$的取值范围。
3 在坐标系中画出积分区间所对应的直线段（通常为 $x=a$ 和 $x=b$ 所对应的竖直线段）。
4 分析被积函数与坐标轴所围成的区域与所绘制的直线段的位置关系，得到 $x$ 的取值范围。
当被积函数处于 $x$ 轴以下时， $x$ 的取值范围将从该函数上截距为 $0$ 的点开始，到该函数下截距为 $0$ 的点结束，即函数与 $x$ 轴的交点。
当被积函数处于 $x$ 轴以上时， $x$ 的取值范围将从该函数下截距为 $0$ 的点开始，到该函数上截距为 $0$ 的点结束。

具体回答如下：

扩展资料：

定积分的积分区间都是有限的，被积函数都是有界的。但在实际应用和理论研究中，还会遇到一些在无限区间上定义的函数或有限区间上的无界函数，对它们也需要考虑类似于定积分的问题。

因此，有必要对定积分的概念加以推广，使之能适用于上述两类函数。这种推广的积分，由于它异于通常的定积分。

具体计算公式参照如图：

扩展资料：

定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上的积分和的极限。

积分分类

不定积分（Indefinite integral）

即已知导数求原函数。若F′(x)=f(x)，那么[F(x)+C]′=f(x)(C∈R C为常数)也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C的导数也是f(x)（C是任意常数）。所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的。我们一律用F(x)+C代替，这就称为不定积分。即如果一个导数有原函数，那么它就有无

定积分

限多个原函数。

定积分 （definite integral）

定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中的图像包围的面积。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。

这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有！

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；

若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

积分在实际问题中的应用

（一）经济问题

某工厂技术人员告诉他的老板某种产品的总产量关于时间的变化率为R′（t）=50+5t-06t2，现在老板想知道4个小时内他的工人到底能生产出多少产品。

如果我们假设这段时间为[1，5]，生产的产品总量为R，则总产量R在t时刻的产量，即微元dR=R′（t）dt=（50+5t-06t2）dt。因此，在[1，5]内总产量为

（二）压缩机做功问题

在生产生活过程中，压缩机做功问题由于关系到能源节约问题，因此备受大家关注。假设地面上有一个底半径为5 m， 高为20 m的圆柱形水池， 往里灌满了水。

如果要把池中所有的水抽出，则需要压缩机做多少功？此时，由于考虑到池中的水被不间断地抽出，可将抽出的水分割成不同的水层。

同时， 把每层的水被抽出时需要的功定义为功微元。这样，该问题就可通过微元法解决了。

具体 *** 作如下： 将水面看做是原点所在的位置， 竖直向下做x轴。当水平从x处下降了dx时， 我们近似地认为厚度为dx的这层水都下降了x，因而这层水所做的功微元dw≈25πxdx（J）。当水被完全抽出， 池内的水从20 m下降为 0 m。

根据微元法， 压缩机所做的功为W=25πxdx=15708（J） 。

（三）液体静压力问题

在农业生产过程中，为了保证农田的供水，常常需要建造各种储水池。因此，我们需要了解有关静压力问题。

在农田中有一个宽为 4 m， 高为3 m， 且顶部在水下 5 m的闸门， 它垂直于水面放置。此闸门所受的水压力为多少？我们可以考虑将闸门分成若干个平行于水面的小长方体。

此时， 闸门所受的压力可看做是小长方体所受的压力总和。 当小长方体的截面很窄的情况下， 可用其截面沿线上的压强来近似代替各个点处的压强。 任取一小长方体，其压强可表示为1・x=x， 长方体截面的面积为ΔA=4dx， 从而ΔF≈x・4dx，

利用微元法求解定积分，还可以解决很多实际工程问题，关键是要掌握好换“元” 的技巧。这就需要我们解决问题时，要特别注意思想方法。思想方法形式多种多样，如以直代曲、以均匀代不均匀、以不变代变化等。

参考资料：

百度百科-定积分

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