求对角矩阵

矩阵A的特征多项式为f(x)=|xE-A|=(x-5)(x+1)^2,解出特征值为x1=5,x2=x3=-1,分别求齐次方程(5E-A)X=0,(-E-A)X=0的非零解,
(5E-A)X=0的非零解(5的特征向量)为(1,1,1),归范化使其模为1得(1/√3,1/√3,1/√3),(如果不要求T正交不须归范化)
(-E-A)X=0的非零解(-1的特征向量)为(1,0,-1),(-1/2,1,-1/2),归范化为(1/√2,0,-1/√2),(-1/√6,2/√6,-1/√6),
将3个化一的特征向量作为列构成正交矩阵T为
1/√3,1/√2,-1/√6,
1/√3, 0, 2/√6,
1/√3,,-1/√2,1/√6,
对角矩阵为diag(5,-1,-1),即对角线上元为特征值

把特征值代入特征方程，运用初等行变换法，将矩阵化到最简，然后可得到基础解系。求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：
第一步：计算的特征多项式；
第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；
第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组：的一个基础解系，则可求出属于特征值的全部特征向量。
扩展资料
求特征向量：
设A为n阶矩阵，根据关系式Ax=λx，可写出(λE-A)x=0，继而写出特征多项式|λE-A|=0，可求出矩阵A有n个特征值（包括重特征值）。将求出的特征值λi代入原特征多项式，求解方程(λiE-A)x=0，所求解向量x就是对应的特征值λi的特征向量。
判断矩阵可对角化的充要条件：
矩阵可对角化有两个充要条件：
1、矩阵有n个不同的特征向量；
2、特征向量重根的重数等于基础解系的个数。对于第二个充要条件，则需要出现二重以上的重特征值可验证（一重相当于没有重根）。
若矩阵A可对角化，则其对角矩阵Λ的主对角线元素全部为A的特征值，其余元素全部为0。（一个矩阵的对角阵不唯一，其特征值可以换序，但都存在由对应特征向量顺序组成的可逆矩阵P使P⁻¹AP=Λ）。
求矩阵特征值的方法如下：
任意一个矩阵A可以分解成如下两个矩阵表达的形式：
其中矩阵Q为正交矩阵，矩阵R为上三角矩阵，至于QR分解到底是怎么回事，矩阵Q和矩阵R是怎么得到的，你们还是看矩阵论吧，如果我把这些都介绍了，感觉这篇文章要写崩，或者你可以先认可我是正确的，然后往下看。
由式（22）可知，A1和A2相似，相似矩阵具有相同的特征值，说明A1和A2的特征值相同，我们就可以通过求取A2的特征值来间接求取A1的特征值。

因为矩阵可以化成对角元素都是其特征值的对角矩阵，而行列式的值不变，对角矩阵的行列式就是对角元素相乘。

对n采用数学归纳法证明。显然，因为1×1矩阵是对称的，该结论对n=1是成立的。假设这个结论对所有k×k矩阵也是成立的，对(k+1)×(k+1)矩阵A，将det(A)按照A的第一行展开。

扩展资料：

特征方程(λ)=|λE-A|=0的根(如：λ0)称为A的特征根(或特征值)。n次代数方程在复数域内有且仅有n个根，而在实数域内不一定有根，因此特征根的多少和有无，不仅与A有关，与数域P也有关。

若 λ是方阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则λ 的m次方是A的m次方的一个特征根，x仍为对应的特征向量。

求相似对角矩阵方法：一般先求出矩阵都所有特征值，然后分别代入特征方程，分别解出特征向量，然后组成矩阵P，即可得知P^（-1）AP=D，其中D是所有特征值构成的对角阵。
对角矩阵是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵。对角线上的元素可以为0或其他值。也常写为diag（a1，a2）值得一提的是：对角线上的元素可以为0或其他值。

A-λE|=0,λ特征值，是主对角线元素相减，而对角矩阵，特征值和对角线元素相等，正好满足|A-λE|=0对角矩阵(diagonal matrix)是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵，常写为diag（a1，a2,,an) 。

对角矩阵可以认为是矩阵中最简单的一种，值得一提的是：对角线上的元素可以为0或其他值，对角线上元素相等的对角矩阵称为数量矩阵；对角线上元素全为1的对角矩阵称为单位矩阵。

对角矩阵的运算包括和、差运算、数乘运算、同阶对角阵的乘积运算，且结果仍为对角阵。

求特征向量，设A为n阶矩阵，根据关系式Ax=λx，可写出（λE-A)x=0，继而写出特征多项式｜λE-A|=0，可求出矩阵A有n个特征值（包括重特征值）。

将求出的特征值λi代入原特征多项式，求解方程（λiE-A)x=0，所求解向量x就是对应的特征值λi的特征向量。

---