MATLAB 差分方程求解

这个问题要过细想，a1=20,a4=5,a2=a3=a5=01
s(t+1)=s(t)-a1s(t)i(t)-a2a3s(t)i(t)/(s(t)+e(t)+i(t));
e(t+1)=e(t)+a1s(t)i(t)-e(t-a4)-a2a3(e(t)-i(t))/(s(t)+e(t)+i(t));
i(t+1)=i(t)+e(t-a4)-a2i(t)^2/(s(t)+e(t)+i(t));
j(t+1)=j(t)+a2i(t);
r(t+1)=r(t)+a5j(t);
关于初值，可以这么设
s=ones(1,50);
e=zeros(1,50);
i=zeros(1,50);
j=zeros(1,50);
r=zeros(1,50);

差分方程△y的平方是2△1=2²+2a+b+1²=73△(-2)=3²+3a-2b+(-2)²=23。

在解题时应用十分广泛，涉及到解系数的取值范围、判断方程根的个数及分布情况等。一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式是b^2-4ac，用“△”表示(读做“delta”)。

定理

1、若y1(t），y2(t），…，ym(t）是齐次线性差分方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=0的m个特解（m≥2），则其线性组合y(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+…+Amym(t）也是方程 的解，其中A1，A2，…，Am为任意常数。

2、n阶齐次线性差分方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2 +…+an-1yt+1+anyt=0一定存在n个线性无关的特解。

解答：
x^2-mlnx-x^2+x=x-mlnx≥0(x>1),
x≥mlnx,m≤x/lnx,令g(x)=x/lnx,g'(x)=
(lnx-x1/x)/(lnx)^2=(lnx-1)/(lnx)^2,取g'(x)=0，解得lnx=1,x=e,
因为g(x)在x∈(1，e)上单调递减，在x∈（e，+∞）上单调递增，
所以在x=e处取得最小值，gmin(x)=g(e)=e,
所以有m≤e；
（2）
k（x）=-2lnx+x-a=0,设两零点为x1≥1,x2≤3,a=-2lnx1+x1=-2lnx2+x2;
设g(x1)=-2lnx1+x1,y(x2)=-2lnx2+x2,
g'(x1)=-2/x1+1,(x1≥1),得g(x1)≥g(2)=-2ln2+2;
y'(x2)=-2/x2+1,(x2≤3)，得y(x2)≤y(3)=-2ln3+3;
所以有-2ln2+2≤a≤-2ln3+3
(3)
f'(x)=2x-m/x,
h'(x)=2x-1,
取f'(x)=0,得m=2x^2;x=√m/2,
取h'(x)=0,得x=1/2,
要满足f(x)和h(x)在公共定义域上具有相同的单调性，
√m/2=1/2,所以m=1/2
f(x)的一阶导数f'(x)=-2(2x^2 - tx -2)/(x^2 + 1)^2
f'(x)的分母恒大于0，分子为正的部分正好是α、β。
所以f'(x)在区间α、β上恒大于0
所以f(x)在区间α、β上单调递增
所以A=f(β)=(4β-t)/(β^2 +1)，B=f(α)=(4α-t)/(α^2 +1)
g(t)=A-B=[4αβ(α-β)-4(α-β)-t(α-β)(α+β)]/(α^2β^2+α^2+β^2+1)
因为α、β是方程的两个根，所以α+β=t/2，αβ=-1
α-β=-sqrt(α^2 + β^2 -2αβ)=-sqrt[(α+β)^2-4αβ]=-[sqrt(t^2+16)]/2
带入g(t)=sqrt(t^2 +16)
又因为方程有两个实根，所以delt=t^2 +16 恒大于0
所以g(t)最小值为t=0时g(0)=4

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