数学因式分解公式

一．运用公式法
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：
1a^+2ab+b^=(a+b)^
2a^-b^=(a+b)(a-b)
3x^-3x+2=(x-1)(x-2)
4(a1+a2++an)^2=(a1^2+a2^2+a3^2++an^2)+(2a1a2a3an)+(2a2a3a4an)+(2a3a4a5an)++2an-1an
5a^n-b^n=(a-b)[(a^(n-1)+a^(n-2)b++ab^(n-2)+b^(n-1)],n是整数
6a^n+b^n=(a+b)[(a^(n-1)-a^(n-2)b++(-1)^(n-2)ab^(n-2)+(-1)^(n-1)b^(n-1)],n是奇数
二．拆项、添项法
因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．
1)x9+x6+x3-3；
(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；
(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；
(4)a3b-ab3+a2+b2+1．
解 (1)将-3拆成-1-1-1．
原式=x9+x6+x3-1-1-1
=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)
=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)
=(x3-1)(x6+2x3+3)
=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．
(2)将4mn拆成2mn+2mn．
原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn
=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn
=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)
=(mn+1)2-(m-n)2
=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．
(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．
原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4
=〔(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2
=〔(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2
=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．
(4)添加两项+ab-ab．
原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab
=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)
=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)
=a(a-b)〔b(a+b)+1]+(ab+b2+1)
=[a(a-b)+1](ab+b2+1)
=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．
三．换元法
换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．
分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．
分析 将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．
解 设x2+x=y，则
原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10
=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)
=(x-1)(x+2)(x2+x+5)

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，下面我整理了几种常用的饮食分解方法，供大家参考。

一、运用公式法

我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。于是有：

a^2-b^2=(a+b)(a-b)

a^2+2ab+b^2=(a+b)^2

a^2-2ab+b^2=(a-b)^2

如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。这种因式分解的方法叫做运用公式法。

二、提公因法

如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

例:分解因式x3-2x,2-x

x3,-2x2,-x=x(x2-2x-1)

三、完全平方公式

1、把乘法公式(a+b)^2=a^2+2ab+b^2和(a-b)^2=a^2-2ab+b^2反过来。

就可以得到：a^2+2ab+b^2=(a+b)^2和a^2-2ab+b^2=(a-b)^2，这两个公式叫完全平方公式。

这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。

把a^2+2ab+b^2和a^2-2ab+b^2这样的式子叫完全平方式。

2、完全平方式的形式和特点：①项数：三项；②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同；③有一项是这两个数的积的两倍。

3、当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。

4、完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。这里只要将多项式看成一个整体就可以了。

5、因式分解，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。

四、分式的乘除法

1、把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

2、分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式。

3、如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分。

4、分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如x-y=-(y-x)，(x-y)^2=(y-x)^2，(x-y)^3=-(y-x)^3。

5分式的分子或分母带符号的n次方，可按分式符号法则，变成整个分式的符号，然后再按-1的偶次方为正、奇次方为负来处理当然，简单的分式之分子分母可直接乘方。

6注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除，最后算加减。

五、分组分解法

我们看多项式am+an+bm+bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式。

如果我们把它分成两组(am+an)和(bm+bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式。

原式=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)

做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义。但不难看出这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以：原式=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)×(a+b)

这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。

1 (a+13)(a-1)+49 =a²-a+13a-13+49 =a²+12a+36 =(a+6) ² 2 10n-n²+75 =75+10n-n² =(15-n)(5+n) 3 2x²+7x+3 =(2x+1)(x+3) 4 b²+9b+18 =(b+3)(b+6) 5 b²-23b+120 =(b-15)(b-8) 6 b²+100-29b =(b-25)(b-4) 7 -6z-72+z² =z²-6z-72 =(z-12)(z+6) 8 -64-u²+16u =(-u-8)(u+8) 2008-10-01 16:33:37 补充： 8 -64-u²+16u =(-u+8)(u-8)
参考: me
我做一题及解释给你知，其余两题，试试自己做，要多做，才会掌握。 2 10n-n^2 75 第一项 ﹝-n^2﹞ 中的系数是 -1，可分解成 1x (-1) 第三项 是常数﹝75﹞可分解成 下列可能性 a) 1 x 75 b) (-1) x (-75) c) 3 x 25 d) (-3) x (-25) e) 15 x 5 f) (-15) x (-5) 六个可能性 将第一项分解出的一个因数，乘第三项的一个因数，再将另外两个因数相成，然后将两个积按正负数计算其合共的数值，与第二项 (10n)的系数相对，选相同的一组就对了。以下会加以说明： 从上述( a)又分得出两个可能性 第一个可能是 1 x 1 = 1 (-1) x 75 = (-75) 这两个积的和是 1 (-75) = (-74) 第二个可能是 1 x (-1) = (-1) 1 x 75 = 75 这两个积的和是 (-1) 75 = 74 如此类推，b) 的两个可能是 74 和 (-74) c) 的两个可能是 22 和 (-22) d) 的两个可能是 22 和 (-22) e) 的两个可能是10 和 (-10) f) 的两个可能是10 和 (-10) 在这12 可能中，只有 e 和 f 中的 10 乎合第二项的系数，所以应选 e) 的 5 x 15，答案是 (-n + 15)(n + 5) 或 f) 的 (-5) x (-15)，答案是 (-n - 5)(n - 15) 不过，这两个答案最后都可写成 - (n-15)(n + 5) 明白了没有？如有不明，请再问。

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