欧拉法比较简单,但中点法相对麻烦,因其属于多步法,启动需要初始两个时刻的值,其中y1、z1可以用后退欧拉法来求。
我编写的代码如下:
% 用四阶龙格库塔方法求解,可以视为真值dY = @(t,Y)[Y(2) ((1-Y(1)^2)*Y(2)-Y(1))]
[t,Y] = ode45(dY,[0 10],[1 1])
plot(t,Y(:,1))
hold all
% 欧拉法,步长0.25
h = 0.25
T = (0:h:10)'
y = T*0
z = y
y(1) = 1
z(1) = 1
for k = 2 : length(y)
dz = (1-y(k-1)^2)*z(k-1)-y(k-1)
dy = z(k-1)
y(k) = y(k-1) + h * dy
z(k) = z(k-1) + h * dz
end
Y1 = y
plot(T,Y1,'.-')
% 欧拉法,步长0.125
h = 0.125
T = (0:h:10)'
y = T*0
z = y
y(1) = 1
z(1) = 1
for k = 1 : length(y) - 1
dz = (1-y(k)^2)*z(k)-y(k)
dy = z(k)
y(k+1) = y(k) + h * dy
z(k+1) = z(k) + h * dz
end
Y2 = y
plot(T,Y2,'.-')
% 中点法,步长0.25
h = 0.25
T = (0:h:10)'
y = T*0
z = y
y(1) = 1
z(1) = 1
% 中点法属于多步法,启动需要初始两个时刻的值,其中y1、z1用后退欧拉法来求
[y1,z1] = solve('z1=z0+0.25*((1-y1^2)*z1-y1)','y1=y0+0.25*z1','y1','z1')
y0 = y(1) z0 = z(1)
% 方程存在多组解,需要找出实数解
y1 = subs(y1)
z1 = subs(z1)
inx = find(abs(imag(y1))<=eps)
y(2) = y1(inx)
z(2) = z1(inx)
for k = 2 : length(y)-1
dz = (1-y(k)^2)*z(k)-y(k)
dy = z(k)
y(k+1) = y(k-1) + 2 * h * dy
z(k+1) = z(k-1) + 2 * h * dz
end
Y3 = y
plot(T,Y3,'.-')
% 中点法,步长0.125
h = 0.125
T = (0:h:10)'
y = T*0
z = y
y(1) = 1
z(1) = 1
% 中点法属于多步法,启动需要初始两个时刻的值,其中y1、z1用后退欧拉法来求
[y1,z1] = solve('z1=z0+0.125*((1-y1^2)*z1-y1)','y1=y0+0.125*z1','y1','z1')
y0 = y(1) z0 = z(1)
% 方程存在多组解,需要找出实数解
y1 = subs(y1)
z1 = subs(z1)
inx = find(abs(imag(y1))<=eps)
y(2) = y1(inx)
z(2) = z1(inx)
for k = 2 : length(y)-1
dz = (1-y(k)^2)*z(k)-y(k)
dy = z(k)
y(k+1) = y(k-1) + 2 * h * dy
z(k+1) = z(k-1) + 2 * h * dz
end
Y4 = y
plot(T,Y4,'.-')
hold off
ylim([-1 1]*3)
legend('RK4','Euler''s method, h=0.25','Euler''s method, h=0.125', ...
'Midpoint formula, h=0.25', 'Midpoint formula, h=0.125',2)
结果如图:
理论上说,中点法应该比欧拉法数值稳定性高,但从上面的程序看,中点法得到的结果却是发散的。我仔细查了好几遍程序,可能是因为已经形成思维定势的原因,没发现问题。请题主再自己检查一下看看。
至于说画导数dy/dt的轨迹,只是一个简单的保存数据并绘图的问题,请题主自行补上吧。
欧拉(Euler)齐次方程法又称欧拉反演方法,该方法是一种能自动估算场源位置的位场反演方法。它以欧拉齐次方程为基础,运用位场异常、其空间导数以及各种地质体具有的特定的“构造指数”来确定异常场源的位置。自20世纪80年代中后期以来,欧拉方法已得到了较为广泛的应用,尤其是适用于大面积重磁测量数据的解释。
图3-6-5 多个不同板宽、倾角、埋深及磁化率组合模型沃纳反褶积计算结果
(一)基本原理
已知一些特殊形状场源的位场为N阶齐次方程,N阶齐次方程也满足欧拉方程,欧拉方程的表达式为
地球物理勘探概论
式中:r为场源点到观测点的距离向量;T是位场异常;N是方程的阶数。该方程的一个解为
T=k/rN
在磁异常情况下,k为一常数,N可认为是异常幅值随距离增大的衰减率。针对任意起伏地形,将磁异常视为区域场与点源场之和,则具体的欧拉方程式(3-6-18)可表示为
地球物理勘探概论
式中:(l(1),l(2),l(3))为观测点的笛卡儿坐标系的三个正交坐标; 为场源中心点的坐标; 为磁异常及其在l(1)、l(2)、l(3)方向的梯度;N为构造指数;B为区域场或背景场。
当观测面水平时,或尽管观测面不水平,坐标系的两个坐标轴设置成水平并恒定不变;这样,l(1),l(2),l(3)通常表示成x,y,z,(3-6-19)式变成以下(3-6-20)式
地球物理勘探概论
方程式(3-6-20)还可写为
地球物理勘探概论
如果能测量或计算出磁异常及其梯度值,方程(3-6-19)只有五个未知数 、 、B和N(或x0,y0,z0,B和N)。一般而言,需要根据场源形状或有关异常性质的先验知识来选择构造指数N。这样,可以利用三个或更多相邻观测点的数据(组成一个观测移动数据窗口;对于剖面数据为若干数据点构成的数据段,对于平面网格化数据则通常为矩形数据窗口),通过解方程(3-6-21)组成的线性方程组便可计算出场源位置。在整个异常区将移动窗口从一处移到相邻的另一处,可以求得同一场源的多个解,这些解汇聚的位置可以被认为是场源中心点的位置。显然上述公式适用于起伏地形。
理论研究表明,对于一些形状规则的异常源,N为一恒定的正整数。例如,对于单磁极线源N=1;偶磁极线源N=2;偶极子源N=3。对于这些异常源,若能正确地选择N,则利用该方程能够准确地求出异常源的位置。若选择错误的N,将会导致解的发散。
从欧拉方程三维场源参数解的理论分析可知,移动窗口的大小、移动窗口所处位置以及构造指数N值选择的正确与否是影响场源参数数值解稳定性的三个主要因素。
(二)例子
图3-6-6是欧拉方程法确定磁源体位置与深度的程序对话框。输入磁异常观测值数据、水平与垂直导数并运行程序,程序自动计算得到的磁源体水平位置、垂直位置并作图。可以看到在水平位置为150m,垂直位置为10m处结果非常密集,人工选择一个合理的计算结果。该数据的理论模型为一个垂直薄板状体,水平位置与上顶埋深分别为150m与10m,可以看到程序计算结果与模型吻合很好。
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欧拉全新发布
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