方向导数与梯度

方向导数与梯度 方向导数

  接着偏导数的基础，我们可以引出方向导数。

  方向导数和偏导数的区别就是：方向不同。仅此而已。

  我们常说的偏导数无非就是对x轴求偏导，对y求偏导。而方向导数则是对x轴与y轴之间的某一新方向求导数。

  还是用一下上次的图，这里我在x轴和y轴之间的平面上自己画了一个方向，并且与x轴夹角为α。

  那么我们的z既然可以对x方向或y方向求偏导，自然也能对我新画的这个方向求“偏导”，这个“偏导”就是方向导数。

  设这个新方向为l，因为这个方向导数和x与y轴有夹角关系，所以大可以用函数对x的偏导和y的偏导来表达，即：

（这里的是夹角α）

  这就是对l的方向导数。

梯度

  直接上梯度定义公式：

 

  我自己理解成是：对于x求偏导的结果与对y求偏导的结果的“向量和”。这并不一定是45度的，因为虽然两个偏导向量的夹角是90度，但大小不同。假如函数z此时在x方向上上升很快，则梯度会被拉偏至x轴。

  某点的梯度，也就是函数在某点上升最快的方向。给了一个函数，其在各个点变化最快的方向就固定了，就是梯度方向。

梯度和方向导数又有什么关系呢？

  我们知道方向导数，可以和x轴成意义夹角，可以表示为：

 

  我们可以把它写成一个数量积的形式，即：

  我们知道，两个向量相乘，可以写成向量1的模*向量2的模*它们的夹角

  所以上式可以写成：

  向量1我们直接取模，向量2是一个方向向量（模的值为1），最后cosθ就是这两个向量的夹角，其实也就是当前方向导数和梯度的夹角。

  要使这个方向导数最大，只需要cosθ=1，θ=0，即方向导数和梯度方向一致。

  所以有结论：方向导数最大的方向，也就是梯度方向。

  以前对于这些概念总是模模糊糊的，虽然也知道一个大概的意思但是无法细想，这么整理下来就有条理一些。