CIPW标准矿物及岩石化学参数计算

lars larsen手表是当下年轻人中很受欢迎的一个牌子，他家的手表都带有浓浓的丹麦小清新风格，戴在碗间会很精致，显得气质格外的出众，很值得入手！

lars larsen手表什么档次

lars larsen属于千元级的百年手表品牌，档次属于中等。

现在很多年轻人都喜欢佩戴时尚手表，时尚手表相比于传统钟表，在手表的技术方面虽然差距较大，但因外观更加时尚美观，因而十分流行。源自丹麦的时尚腕表品牌拉尔森(Lars Larsen)，将北欧极简风情和瑞士精密技术相结合，是现代年轻人非常喜欢的品牌之一。

lars larsen手表怎么样

新一轮朋友圈秀恩爱大赛圆满结束了，狗粮吃够了嘛，昨天过节没来得及晒，今天来秀一秀收到的七夕礼物——Lars Larsen拉尔森手表。

这个牌子我已经在ins种草好一阵了，它的设计都是简约的北欧风，简单又不失时尚，好几款都戳中了我的心，没想到收到的就是最想要的这款!Lars Larsen是来自丹麦的手表品牌，已经有百年的历史，从设计到制造全部在丹麦完成，品质有保证哒。我这款型号是LW137GEGM，今年最火的颜色“原谅色”表盘搭配金色钢带，这配色绝对够特别!而且这俩颜色都非常衬肤色，很显白的～

我平时穿衣服不太会选择饱和度很高的颜色，所以这块手表刚好能成为搭配中的亮点，为整身衣服增添时尚感。他家男款也很好看，不仅男生可以带，酷酷的girl也可以戴哦。

lars larsen品牌故事

Lars Larsen 先生出生于1889年11月8日 , 在14岁的时候，像大部分丹麦人一样，开始了以捕鱼为主的生活。1918年, 他登上“Agnes Louise”号，不久后他成为了这艘船的拥有者。

海洋是他成长和营生之地，虽然一辈子在海里捕鱼，但他对手表却保持着浓厚的兴趣和强烈的好奇心，并且梦想成为一名手表制造商。现如今，L Larsen先生的梦想终于成真，他的孙子(名字也为Lars Larsen)创立了Lars Larsen品牌，总部位于丹麦的斯文堡，旗下产品主打腕表，同时致力于开发包、太阳镜等时尚单品，从设计、研发、到生产，均由品牌独立完成，在丹麦，英国，瑞士和远东地区还拥有其他分支部门和联系紧密的商业合作伙伴。

lars larsen保养法则

手表因每天佩戴，可能会造成部分机械的磨损。建议您每隔3~5年即将您的腕表送至服务中心进行保养。

整套的保养程序包括：拆解机芯、清洗、上润滑剂、重新组装机芯。保养完后，每个机芯都会经过一些特别的测试，以确保手表的精确度。这也是使您的Oris手表持续准确运转的最佳方法。保养完后将享有1年保固。

在缺乏正确使用及保养维护的情况下，即使是质量精良的产品，也无法保持完美运转。

1、陈景润，1933年5月22日生于福建福州，当代数学家。

1953年9月分配到北京四中任教。1955年2月由当时厦门大学的校长王亚南先生举荐，回母校厦门大学数学系任助教。1957年10月，由于华罗庚教授的赏识，陈景润被调到中国科学院数学研究所。1973年发表了（1+2）的详细证明，被公认为是对哥德巴赫猜想研究的重大贡献。

2、华罗庚（19101112—1985612）， 出生于江苏常州金坛区，祖籍江苏丹阳。数学家，中国科学院院士，美国国家科学院外籍院士，第三世界科学院院士，联邦德国巴伐利亚科学院院士。中国第一至第六届全国人大常委会委员   。

他是中国解析数论、矩阵几何学、典型群、自守函数论与多元复变函数论等多方面研究的创始人和开拓者，并被列为芝加哥科学技术博物馆中当今世界88位数学伟人之一。国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”、“华氏不等式”、“华—王方法”等。

3、谷超豪（1926515—2012624），汉族，浙江温州人，数学家，中国***党员，中国民主同盟盟员，2009年度国家最高科学技术奖获得者。谷超豪主要从事偏微分方程、微分几何、数学物理等方面的研究和教学工作，在一般空间微分几何学、齐性黎曼空间、无限维变换拟群、

双曲型和混合型偏微分方程、规范场理论、调和映照和孤立子理论等方面取得了系统、重要的研究成果，特别是首次提出了高维、高阶混合型方程的系统理论，在超音速绕流的数学问题、规范场的数学结构、波映照和高维时空的孤立子的研究中取得了重要的突破。

4、祖冲之（429-500），字文远。出生于建康（今南京），祖籍范阳郡遒县（今河北涞水县），中国南北朝时期杰出的数学家、天文学家。 祖冲之一生钻研自然科学，其主要贡献在数学、天文历法和机械制造三方面。他在刘徽开创的探索圆周率的精确方法的基础上，

首次将“圆周率”精算到小数第七位，即在31415926和31415927之间，他提出的“祖率”对数学的研究有重大贡献。直到16世纪，

阿拉伯数学家阿尔·卡西才打破了这一纪录。 由他撰写的《大明历》是当时最科学最进步的历法，对后世的天文研究提供了正确的方法。其主要著作有《安边论》《缀术》《述异记》《历议》等。

5、勒内·笛卡尔（又译作热奈·笛卡尔），1596年3月31日生于法国安德尔-卢瓦尔省的图赖讷（现笛卡尔，因笛卡尔得名），1650年2月11日逝世于瑞典斯德哥尔摩，是世界著名的法国哲学家、数学家、物理学家。

他对现代数学的发展做出了重要的贡献，因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父。他还是西方现代哲学思想的奠基人，是近代唯物论的开拓者且提出了“普遍怀疑”的主张。黑格尔称他为“现代哲学之父”。

参考资料来源：百度百科 _数学家（数学家（世界著名数学家））

LARS: 变量选择

glmnet：也是变量选择的，只不是过广义线性模型的

rpart：分类树

e1071:支持向量机

MASS:经典的统计方法，包括各种估计和检验方法！

首先，选取不同物种的Protein数据集：Arabidopsis_thalianafa；Citrus_grandisfa；Dimocarpus_longanfa；Durio_zibethinusfa；Prunus_persicafa； Vitis_viniferafa；Citrus_clementinafa；Citrus_sinensisfa；Diospyros_oleiferafa；Malus_domesticafa；Oryza_sativafa；Pyrus_communisfa

然后进行数据处理，去冗余，只保留最长转录本，去除可变剪切：

python3 removeRedundantProteinspy -i inputfa -o outputfa

removeRedundantProteinspy

将处理好的数据置于一个文件夹中“Dataset”

OrthoFinder这个软件，之前有一篇文章已经介绍过了，这里就不在赘述，这个软件安装十分友好，直接conda安装即可；

nohup orthofinder -f Dataset -M msa -S diamond -T iqtree -t 24 -a 24 2> orthofinderlog &

orthofinder参数详情：

-t 并行序列搜索线程数（默认= 16）

-a 并行分析线程数（默认值= 1）

-M 基因树推断方法。可选：dendroblast和msa（默认= dendroblast）

-S 序列搜索程序（默认= blast）选项：blast，mmseqs,，blast_gz，diamond（推荐使用diamond，比对速度很给力）

-A 多序列联配方式，需要添加参数-M msa时才有效；（默认= mafft）可选择：muscle，mafft

-T 建树方法，需要添加参数-M msa时才有效，（默认 = fasttree）可选：iqtree，raxml-ng，fasttree，raxml

-s <文件> 可指定特定的根物种树

-I 设定MCL的通胀参数（默认 = 15）

-x Info用于以othoXML格式输出结果

-p <dir>将临时pickle文件写入到<dir>

-l 只执行单向序列搜索

-n 名称以附加到结果目录

-h 打印帮助文本

如果只需要查找直系同源基因，只需接“-f” 参数即可；此步也可建树，采用默认的建树方法fasttree，为无根树。

nohup orthofinder -f Dataset &

如果添加-M msa -T iqtree设定制定参数，可按照设定的参数使用最大似然法构建有根的物种进化树，构建的树为STAG树。

nohup orthofinder -f Dataset -M msa -S diamond -T iqtree -t 24 -a 24 2> orthofinderlog &

关于构建系统进化树，有很多种做法，常见的有利用物种全部的蛋白序列，构建STAG物种树；也有使用单拷贝直系同源基因构建的物种进化树，关于这一点，OrthoFinder查找同源基因，可以输出直系单拷贝同源基因的序列结果，后续也可使用其他构树软件及算法进行进化树构建。关于建树方法，则有距离矩阵法、最大简约法、最大似然法以及贝叶斯；当然目前主流采用的基本为最大似然法和贝叶斯，其中贝叶斯算法计算量巨大，耗时最久，其构建的树也认为最为“逼真”，但文章中使用较多的还是最大似然法，其耗时也需蛮久。

OrthoFinder输出的结果会在OrthoFinder文件夹下面的以日期命名的文件夹中，如：~/OrthoFinder/Results_May08

其中，我们可以用OrthogroupsGeneCounttsv来作为CAFE的输入文件，分析基因家族的扩张与收缩；使用SpeciesTree_rootedtxt作为推断的物种树，并使用r8s，从中提取超度量树（ultrametric tree）即时间树；

python cafetutorial_prep_r8spy -i SpeciesTree_rootedtxt -o r8s_ctl_filetxt -s 6650255 -p 'Oryza_sativa,Arabidopsis_thaliana' -c '152'

参数：

-i path_tree_file: path to txt file containing tree in NEWICK format

-s n_sites: number of sites in alignment that was used to infer species tree

-p list_of_spp_tuples: list of tuples (each tuple being two species IDs whose mrca's age we are constraining; eg, [('ENSG00','ENSPTR'),('ENSFCA','ENSECA')]

-c list_of_spp_cal_points: list of flats, one for each tuple in list_of_spp_tuples (eg, [64,80])

-s 即用于推断物种树的比对序列碱基数目；

-p 已知物种树中的一对物种；

-c 已知一对物种的分化年限：

可在 timetree 网站查询：为152 mya

conda install cafe

cafetutorial_clade_and_size_filterpy

vim cafetutorial_runsh

tree即为r8s提取的超度量树；

python cafetutorial_report_analysispy -i reports/report_runcafe -o reports/summary_run

summary_run_nodetxt：统计每个节点中扩张，收缩的基因家族数目；

summary_run_famstxt：具体发生变化的基因家族

python3 /home/Tools/CAFE_fig/CAFE_figpy resultfilecafe -pb 005 -pf 005 --dump test/ -g svg --count_all_expansions

输出svg格式的文件，可导入AI编辑美化；

CAFE_fig运行报错：（module 'ete3' has no attribute 'TreeStyle'）

报错解决：

vim /home/Tools/CAFE_fig/CAFE_figpy

程序还在运行，后续贴出结果图。

OrthoFinder

timetree

>

密码学是研究编制密码和破译密码的技术科学。研究密码变化的客观规律，应用于编制密码以保守通信秘密的，称为编码学；应用于破译密码以获取通信情报的，称为破译学，总称密码学。

密码是通信双方按约定的法则进行信息特殊变换的一种重要保密手段。依照这些法则，变明文为密文，称为加密变换；变密文为明文，称为脱密变换。密码在早期仅对文字或数码进行加、脱密变换，随着通信技术的发展，对语音、图像、数据等都可实施加、脱密变换。

密码学是在编码与破译的斗争实践中逐步发展起来的，并随着先进科学技术的应用，已成为一门综合性的尖端技术科学。它与语言学、数学、电子学、声学、信息论、计算机科学等有着广泛而密切的联系。它的现实研究成果，特别是各国政府现用的密码编制及破译手段都具有高度的机密性。

进行明密变换的法则，称为密码的体制。指示这种变换的参数，称为密钥。它们是密码编制的重要组成部分。密码体制的基本类型可以分为四种：错乱——按照规定的图形和线路，改变明文字母或数码等的位置成为密文；代替——用一个或多个代替表将明文字母或数码等代替为密文；密本——用预先编定的字母或数字密码组，代替一定的词组单词等变明文为密文；加乱——用有限元素组成的一串序列作为乱数，按规定的算法，同明文序列相结合变成密文。以上四种密码体制，既可单独使用，也可混合使用 ，以编制出各种复杂度很高的实用密码。

20世纪70年代以来，一些学者提出了公开密钥体制，即运用单向函数的数学原理，以实现加、脱密密钥的分离。加密密钥是公开的，脱密密钥是保密的。这种新的密码体制，引起了密码学界的广泛注意和探讨。

利用文字和密码的规律，在一定条件下，采取各种技术手段，通过对截取密文的分析，以求得明文，还原密码编制，即破译密码。破译不同强度的密码，对条件的要求也不相同，甚至很不相同。

中国古代秘密通信的手段，已有一些近于密码的雏形。宋曾公亮、丁度等编撰《武经总要》“字验”记载，北宋前期，在作战中曾用一首五言律诗的40个汉字，分别代表40种情况或要求，这种方式已具有了密本体制的特点。

1871年，由上海大北水线电报公司选用6899个汉字，代以四码数字，成为中国最初的商用明码本，同时也设计了由明码本改编为密本及进行加乱的方法。在此基础上，逐步发展为各种比较复杂的密码。

在欧洲，公元前405年，斯巴达的将领来山得使用了原始的错乱密码；公元前一世纪，古罗马皇帝凯撒曾使用有序的单表代替密码；之后逐步发展为密本、多表代替及加乱等各种密码体制。

二十世纪初，产生了最初的可以实用的机械式和电动式密码机，同时出现了商业密码机公司和市场。60年代后，电子密码机得到较快的发展和广泛的应用，使密码的发展进入了一个新的阶段。

密码破译是随着密码的使用而逐步产生和发展的。1412年，波斯人卡勒卡尚迪所编的百科全书中载有破译简单代替密码的方法。到16世纪末期，欧洲一些国家设有专职的破译人员，以破译截获的密信。密码破译技术有了相当的发展。1863年普鲁士人卡西斯基所著《密码和破译技术》，以及1883年法国人克尔克霍夫所著《军事密码学》等著作，都对密码学的理论和方法做过一些论述和探讨。1949年美国人香农发表了《秘密体制的通信理论》一文，应用信息论的原理分析了密码学中的一些基本问题。

自19世纪以来，由于电报特别是无线电报的广泛使用，为密码通信和第三者的截收都提供了极为有利的条件。通信保密和侦收破译形成了一条斗争十分激烈的隐蔽战线。

1917年，英国破译了德国外长齐默尔曼的电报，促成了美国对德宣战。1942年，美国从破译日本海军密报中，获悉日军对中途岛地区的作战意图和兵力部署，从而能以劣势兵力击破日本海军的主力，扭转了太平洋地区的战局。在保卫英伦三岛和其他许多著名的历史事件中，密码破译的成功都起到了极其重要的作用，这些事例也从反面说明了密码保密的重要地位和意义。

当今世界各主要国家的政府都十分重视密码工作，有的设立庞大机构，拨出巨额经费，集中数以万计的专家和科技人员，投入大量高速的电子计算机和其他先进设备进行工作。与此同时，各民间企业和学术界也对密码日益重视，不少数学家、计算机学家和其他有关学科的专家也投身于密码学的研究行列，更加速了密码学的发展。

现在密码已经成为单独的学科，从传统意义上来说，密码学是研究如何把信息转换成一种隐蔽的方式并阻止其他人得到它。

密码学是一门跨学科科目，从很多领域衍生而来：它可以被看做是信息理论，却使用了大量的数学领域的工具，众所周知的如数论和有限数学。

原始的信息，也就是需要被密码保护的信息，被称为明文。加密是把原始信息转换成不可读形式，也就是密码的过程。解密是加密的逆过程，从加密过的信息中得到原始信息。cipher是加密和解密时使用的算法。

最早的隐写术只需纸笔，现在称为经典密码学。其两大类别为置换加密法，将字母的顺序重新排列；替换加密法，将一组字母换成其他字母或符号。经典加密法的资讯易受统计的攻破，资料越多，破解就更容易，使用分析频率就是好办法。经典密码学现在仍未消失，经常出现在智力游戏之中。在二十世纪早期，包括转轮机在内的一些机械设备被发明出来用于加密，其中最著名的是用于第二次世界大战的密码机Enigma。这些机器产生的密码相当大地增加了密码分析的难度。比如针对Enigma各种各样的攻击，在付出了相当大的努力后才得以成功。

传统密码学

Autokey密码

置换密码

二字母组代替密码 (by Charles Wheatstone)

多字母替换密码

希尔密码

维吉尼亚密码

替换密码

凯撒密码

ROT13

仿射密码

Atbash密码

换位密码

Scytale

Grille密码

VIC密码 (一种复杂的手工密码，在五十年代早期被至少一名苏联间谍使用过，在当时是十分安全的)

对传统密码学的攻击

频率分析

重合指数

现代算法，方法评估与选择工程

标准机构

the Federal Information Processing Standards Publication program (run by NIST to produce standards in many areas to guide operations of the US Federal government; many FIPS Pubs are cryptography related, ongoing)

the ANSI standardization process (produces many standards in many areas; some are cryptography related, ongoing)

ISO standardization process (produces many standards in many areas; some are cryptography related, ongoing)

IEEE standardization process (produces many standards in many areas; some are cryptography related, ongoing)

IETF standardization process (produces many standards (called RFCs) in many areas; some are cryptography related, ongoing)

See Cryptography standards

加密组织

NSA internal evaluation/selections (surely extensive, nothing is publicly known of the process or its results for internal use; NSA is charged with assisting NIST in its cryptographic responsibilities)

GCHQ internal evaluation/selections (surely extensive, nothing is publicly known of the process or its results for GCHQ use; a division of GCHQ is charged with developing and recommending cryptographic standards for the UK government)

DSD Australian SIGINT agency - part of ECHELON

Communications Security Establishment (CSE) — Canadian intelligence agency

公开的努力成果

the DES selection (NBS selection process, ended 1976)

the RIPE division of the RACE project (sponsored by the European Union, ended mid-'80s)

the AES competition (a 'break-off' sponsored by NIST; ended 2001)

the NESSIE Project (evaluation/selection program sponsored by the European Union; ended 2002)

the CRYPTREC program (Japanese government sponsored evaluation/recommendation project; draft recommendations published 2003)

the Internet Engineering Task Force (technical body responsible for Internet standards -- the Request for Comment series: ongoing)

the CrypTool project (eLearning programme in English and German; freeware; exhaustive educational tool about cryptography and cryptanalysis)

加密散列函数 (消息摘要算法，MD算法)

加密散列函数

消息认证码

Keyed-hash message authentication code

EMAC (NESSIE selection MAC)

HMAC (NESSIE selection MAC; ISO/IEC 9797-1, FIPS and IETF RFC)

TTMAC 也称 Two-Track-MAC (NESSIE selection MAC; KULeuven (Belgium) & debis AG (Germany))

UMAC (NESSIE selection MAC; Intel, UNevada Reno, IBM, Technion, & UCal Davis)

MD5 (系列消息摘要算法之一，由MIT的Ron Rivest教授提出; 128位摘要)

SHA-1 (NSA开发的160位摘要,FIPS标准之一;第一个发行发行版本被发现有缺陷而被该版本代替; NIST/NSA 已经发布了几个具有更长'摘要'长度的变种; CRYPTREC推荐 (limited))

SHA-256 (NESSIE 系列消息摘要算法, FIPS标准之一180-2,摘要长度256位 CRYPTREC recommendation)

SHA-384 (NESSIE 列消息摘要算法, FIPS标准之一180-2,摘要长度384位; CRYPTREC recommendation)

SHA-512 (NESSIE 列消息摘要算法, FIPS标准之一180-2,摘要长度512位; CRYPTREC recommendation)

RIPEMD-160 (在欧洲为 RIPE 项目开发, 160位摘要;CRYPTREC 推荐 (limited))

Tiger (by Ross Anderson et al)

Snefru

Whirlpool (NESSIE selection hash function, Scopus Tecnologia SA (Brazil) & KULeuven (Belgium))

公/私钥加密算法(也称 非对称性密钥算法)

ACE-KEM (NESSIE selection asymmetric encryption scheme; IBM Zurich Research)

ACE Encrypt

Chor-Rivest

Diffie-Hellman (key agreement; CRYPTREC 推荐)

El Gamal (离散对数)

ECC（椭圆曲线密码算法） (离散对数变种)

PSEC-KEM (NESSIE selection asymmetric encryption scheme; NTT (Japan); CRYPTREC recommendation only in DEM construction w/SEC1 parameters) )

ECIES (Elliptic Curve Integrated Encryption System; Certicom Corp)

ECIES-KEM

ECDH (椭圆曲线Diffie-Hellman 密钥协议; CRYPTREC推荐)

EPOC

Merkle-Hellman (knapsack scheme)

McEliece

NTRUEncrypt

RSA (因数分解)

RSA-KEM (NESSIE selection asymmetric encryption scheme; ISO/IEC 18033-2 draft)

RSA-OAEP (CRYPTREC 推荐)

Rabin cryptosystem (因数分解)

Rabin-SAEP

HIME(R)

XTR

公/私钥签名算法

DSA（zh:数字签名;zh-tw:数位签章算法） (来自NSA,zh:数字签名;zh-tw:数位签章标准(DSS)的一部分; CRYPTREC 推荐)

Elliptic Curve DSA (NESSIE selection digital signature scheme; Certicom Corp); CRYPTREC recommendation as ANSI X962, SEC1)

Schnorr signatures

RSA签名

RSA-PSS (NESSIE selection digital signature scheme; RSA Laboratories); CRYPTREC recommendation)

RSASSA-PKCS1 v15 (CRYPTREC recommendation)

Nyberg-Rueppel signatures

MQV protocol

Gennaro-Halevi-Rabin signature scheme

Cramer-Shoup signature scheme

One-time signatures

Lamport signature scheme

Bos-Chaum signature scheme

Undeniable signatures

Chaum-van Antwerpen signature scheme

Fail-stop signatures

Ong-Schnorr-Shamir signature scheme

Birational permutation scheme

ESIGN

ESIGN-D

ESIGN-R

Direct anonymous attestation

NTRUSign用于移动设备的公钥加密算法, 密钥比较短小但也能达到高密钥ECC的加密效果

SFLASH (NESSIE selection digital signature scheme (esp for smartcard applications and similar); Schlumberger (France))

Quartz

密码鉴定

Key authentication

Public key infrastructure

X509

Public key certificate

Certificate authority

Certificate revocation list

ID-based cryptography

Certificate-based encryption

Secure key issuing cryptography

Certificateless cryptography

匿名认证系统

GPS (NESSIE selection anonymous identification scheme; Ecole Normale Supérieure, France Télécom, & La Poste)

秘密钥算法 (也称 对称性密钥算法)

流密码

A5/1, A5/2 (GSM移动电话标准中指定的密码标准)

BMGL

Chameleon

FISH (by Siemens AG)

二战'Fish'密码

Geheimfernschreiber (二战时期Siemens AG的机械式一次一密密码, 被布莱奇利(Bletchley)庄园称为STURGEON)

Schlusselzusatz (二战时期 Lorenz的机械式一次一密密码, 被布莱奇利(Bletchley)庄园称为[[tunny)

HELIX

ISAAC (作为伪随机数发生器使用)

Leviathan (cipher)

LILI-128

MUG1 (CRYPTREC 推荐使用)

MULTI-S01 (CRYPTREC 推荐使用)

一次一密 (Vernam and Mauborgne, patented mid-'20s; an extreme stream cypher)

Panama

Pike (improvement on FISH by Ross Anderson)

RC4 (ARCFOUR) (one of a series by Prof Ron Rivest of MIT; CRYPTREC 推荐使用 (limited to 128-bit key))

CipherSaber (RC4 variant with 10 byte random IV, 易于实现)

SEAL

SNOW

SOBER

SOBER-t16

SOBER-t32

WAKE

分组密码

分组密码 *** 作模式

乘积密码

Feistel cipher (由Horst Feistel提出的分组密码设计模式)

Advanced Encryption Standard (分组长度为128位; NIST selection for the AES, FIPS 197, 2001 -- by Joan Daemen and Vincent Rijmen; NESSIE selection; CRYPTREC 推荐使用)

Anubis (128-bit block)

BEAR (由流密码和Hash函数构造的分组密码, by Ross Anderson)

Blowfish (分组长度为128位; by Bruce Schneier, et al)

Camellia (分组长度为128位; NESSIE selection (NTT & Mitsubishi Electric); CRYPTREC 推荐使用)

CAST-128 (CAST5) (64 bit block; one of a series of algorithms by Carlisle Adams and Stafford Tavares, who are insistent (indeed, adamant) that the name is not due to their initials)

CAST-256 (CAST6) (128位分组长度; CAST-128的后继者，AES的竞争者之一)

CIPHERUNICORN-A (分组长度为128位; CRYPTREC 推荐使用)

CIPHERUNICORN-E (64 bit block; CRYPTREC 推荐使用 (limited))

CMEA — 在美国移动电话中使用的密码，被发现有弱点

CS-Cipher (64位分组长度)

DESzh:数字;zh-tw:数位加密标准(64位分组长度; FIPS 46-3, 1976)

DEAL — 由DES演变来的一种AES候选算法

DES-X 一种DES变种，增加了密钥长度

FEAL

GDES —一个DES派生，被设计用来提高加密速度

Grand Cru (128位分组长度)

Hierocrypt-3 (128位分组长度; CRYPTREC 推荐使用))

Hierocrypt-L1 (64位分组长度; CRYPTREC 推荐使用 (limited))

International Data Encryption Algorithm (IDEA) (64位分组长度-- 苏黎世ETH的James Massey & X Lai)

Iraqi Block Cipher (IBC)

KASUMI (64位分组长度; 基于MISTY1, 被用于下一代W-CDMA cellular phone 保密)

KHAZAD (64-bit block designed by Barretto and Rijmen)

Khufu and Khafre (64位分组密码)

LION (由流密码和Hash函数构造的分组密码, by Ross Anderson)

LOKI89/91 (64位分组密码)

LOKI97 (128位分组长度的密码, AES候选者)

Lucifer (by Tuchman et al of IBM, early 1970s; modified by NSA/NBS and released as DES)

MAGENTA (AES 候选者)

Mars (AES finalist, by Don Coppersmith et al)

MISTY1 (NESSIE selection 64-bit block; Mitsubishi Electric (Japan); CRYPTREC 推荐使用 (limited))

MISTY2 (分组长度为128位: Mitsubishi Electric (Japan))

Nimbus (64位分组)

Noekeon (分组长度为128位)

NUSH (可变分组长度(64 - 256位))

Q (分组长度为128位)

RC2 64位分组,密钥长度可变

RC6 (可变分组长度; AES finalist, by Ron Rivest et al)

RC5 (by Ron Rivest)

SAFER (可变分组长度)

SC2000 (分组长度为128位; CRYPTREC 推荐使用)

Serpent (分组长度为128位; AES finalist by Ross Anderson, Eli Biham, Lars Knudsen)

SHACAL-1 (256-bit block)

SHACAL-2 (256-bit block cypher; NESSIE selection Gemplus (France))

Shark (grandfather of Rijndael/AES, by Daemen and Rijmen)

Square (father of Rijndael/AES, by Daemen and Rijmen)

3-Way (96 bit block by Joan Daemen)

TEA(小型加密算法)(by David Wheeler & Roger Needham)

Triple DES (by Walter Tuchman, leader of the Lucifer design team -- not all triple uses of DES increase security, Tuchman's does; CRYPTREC 推荐使用 (limited), only when used as in FIPS Pub 46-3)

Twofish (分组长度为128位; AES finalist by Bruce Schneier, et al)

XTEA (by David Wheeler & Roger Needham)

多表代替密码机密码

Enigma (二战德国转轮密码机--有很多变种,多数变种有很大的用户网络)

紫密(Purple) (二战日本外交最高等级密码机;日本海军设计)

SIGABA (二战美国密码机，由William Friedman, Frank Rowlett, 等人设计)

TypeX (二战英国密码机)

Hybrid code/cypher combinations

JN-25 (二战日本海军的高级密码; 有很多变种)

Naval Cypher 3 (30年代和二战时期英国皇家海军的高级密码)

可视密码

有密级的 密码 (美国)

EKMS NSA的电子密钥管理系统

FNBDT NSA的加密窄带话音标准

Fortezza encryption based on portable crypto token in PC Card format

KW-26 ROMULUS 电传加密机(1960s - 1980s)

KY-57 VINSON 战术电台语音加密

SINCGARS 密码控制跳频的战术电台

STE 加密电话

STU-III 较老的加密电话

TEMPEST prevents compromising emanations

Type 1 products

破译密码

被动攻击

选择明文攻击

选择密文攻击

自适应选择密文攻击

暴力攻击

密钥长度

唯一解距离

密码分析学

中间相会攻击

差分密码分析

线性密码分析

Slide attack cryptanalysis

Algebraic cryptanalysis

XSL attack

Mod n cryptanalysis

弱密钥和基于口令的密码

暴力攻击

字典攻击

相关密钥攻击

Key derivation function

弱密钥

口令

Password-authenticated key agreement

Passphrase

Salt

密钥传输/交换

BAN Logic

Needham-Schroeder

Otway-Rees

Wide Mouth Frog

Diffie-Hellman

中间人攻击

伪的和真的随机数发生器

PRNG

CSPRNG

硬件随机数发生器

Blum Blum Shub

Yarrow (by Schneier, et al)

Fortuna (by Schneier, et al)

ISAAC

基于SHA-1的伪随机数发生器， in ANSI X942-2001 Annex C1 (CRYPTREC example)

PRNG based on SHA-1 for general purposes in FIPS Pub 186-2 (inc change notice 1) Appendix 31 (CRYPTREC example)

PRNG based on SHA-1 for general purposes in FIPS Pub 186-2 (inc change notice 1) revised Appendix 31 (CRYPTREC example)

匿名通讯

Dining cryptographers protocol (by David Chaum)

匿名投递

pseudonymity

匿名网络银行业务

Onion Routing

法律问题

Cryptography as free speech

Bernstein v United States

DeCSS

Phil Zimmermann

Export of cryptography

Key escrow and Clipper Chip

Digital Millennium Copyright Act

zh:数字版权管理;zh-tw:数位版权管理 (DRM)

Cryptography patents

RSA (now public domain}

David Chaum and digital cash

Cryptography and Law Enforcement

Wiretaps

Espionage

不同国家的密码相关法律

Official Secrets Act (United Kingdom)

Regulation of Investigatory Powers Act 2000 (United Kingdom)

术语

加密金钥

加密

密文

明文

加密法

Tabula recta

书籍和出版物

密码学相关书籍

密码学领域重要出版物

密码学家

参见List of cryptographers

密码技术应用

Commitment schemes

Secure multiparty computations

电子投票

认证

数位签名

Cryptographic engineering

Crypto systems

杂项

Echelon

Espionage

IACR

Ultra

Security engineering

SIGINT

Steganography

Cryptographers

安全套接字层(SSL)

量子密码

Crypto-anarchism

Cypherpunk

Key escrow

零知识证明

Random oracle model

盲签名

Blinding (cryptography)

数字时间戳

秘密共享

可信 *** 作系统

Oracle (cryptography)

免费/开源的密码系统(特指算法+协议+体制设计)

PGP (a name for any of several related crypto systems, some of which, beginning with the acquisition of the name by Network Associates, have not been Free Software in the GNU sense)

FileCrypt (an open source/commercial command line version of PGP from Veridis of Denmark, see PGP)

GPG (an open source implementation of the OpenPGP IETF standard crypto system)

SSH (Secure SHell implementing cryptographically protected variants of several common Unix utilities, First developed as open source in Finland by Tatu Ylonen There is now OpenSSH, an open source implementation supporting both SSH v1 and SSH v2 protocols There are also commercial implementations

IPsec (因特网协议安全IETF标准,IPv6 IETF 标准的必须的组成部分)

Free S/WAN (IPsec的一种开源实现

其它军事学分支学科

军事学概述、射击学、d道学、内d道学、外d道学、中间d道学、终点d道学、导dd道学、军事地理学、军事地形学、军事工程学、军事气象学、军事医学、军事运筹学、战役学、密码学、化学战

前不久chensh出于不可告人的目的，要充当老师，教别人线性代数。于是我被揪住就线性代数中一些务虚性的问题与他讨论了几次。很明显，chensh觉得，要让自己在讲线性代数的时候不被那位强势的学生认为是神经病，还是比较难的事情。

可怜的chensh，谁让你趟这个地雷阵？！色令智昏啊！

线性代数课程，无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。比如说，在全国一般工科院系教学中应用最广泛的同济线性代数教材（现在到了第四版），一上来就介绍逆序数这个“前无古人，后无来者”的古怪概念，然后用逆序数给出行列式的一个极不直观的定义，接着是一些简直犯傻的行列式性质和习题——把这行乘一个系数加到另一行上，再把那一列减过来，折腾得那叫一个热闹，可就是压根看不出这个东西有嘛用。大多数像我一样资质平庸的学生到这里就有点犯晕：连这是个什么东西都模模糊糊的，就开始钻火圈表演了，这未免太“无厘头”了吧！于是开始有人逃课，更多的人开始抄作业。这下就中招了，因为其后的发展可以用一句峰回路转来形容，紧跟着这个无厘头的行列式的，是一个同样无厘头但是伟大的无以复加的家伙的出场——矩阵来了！多年之后，我才明白，当老师犯傻似地用中括号把一堆傻了吧叽的数括起来，并且不紧不慢地说：“这个东西叫做矩阵”的时候，我的数学生涯掀开了何等悲壮辛酸、惨绝人寰的一幕！自那以后，在几乎所有跟“学问”二字稍微沾点边的东西里，矩阵这个家伙从不缺席。对于我这个没能一次搞定线性代数的笨蛋来说，矩阵老大的不请自来每每搞得我灰头土脸，头破血流。长期以来，我在阅读中一见矩阵，就如同阿Q见到了假洋鬼子，揉揉额角就绕道走。

事实上，我并不是特例。一般工科学生初学线性代数，通常都会感到困难。这种情形在国内外皆然。瑞典数学家Lars Garding在其名著Encounter with Mathematics中说：“如果不熟悉线性代数的概念，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多。”，然而“按照现行的国际标准，线性代数是通过公理化来表述的，它是第二代数学模型，，这就带来了教学上的困难。”事实上，当我们开始学习线性代数的时候，不知不觉就进入了“第二代数学模型”的范畴当中，这意味着数学的表述方式和抽象性有了一次全面的进化，对于从小一直在“第一代数学模型”，即以实用为导向的、具体的数学模型中学习的我们来说，在没有并明确告知的情况下进行如此剧烈的paradigm shift，不感到困难才是奇怪的。

大部分工科学生，往往是在学习了一些后继课程，如数值分析、数学规划、矩阵论之后，才逐渐能够理解和熟练运用线性代数。即便如此，不少人即使能够很熟练地以线性代数为工具进行科研和应用工作，但对于很多这门课程的初学者提出的、看上去是很基础的问题却并不清楚。比如说：

矩阵究竟是什么东西？向量可以被认为是具有n个相互独立的性质（维度）的对象的表示，矩阵又是什么呢？我们如果认为矩阵是一组列（行）向量组成的新的复合向量的展开式，那么为什么这种展开式具有如此广泛的应用？特别是，为什么偏偏二维的展开式如此有用？如果矩阵中每一个元素又是一个向量，那么我们再展开一次，变成三维的立方阵，是不是更有用？

矩阵的乘法规则究竟为什么这样规定？为什么这样一种怪异的乘法规则却能够在实践中发挥如此巨大的功效？很多看上去似乎是完全不相关的问题，最后竟然都归结到矩阵的乘法，这难道不是很奇妙的事情？难道在矩阵乘法那看上去莫名其妙的规则下面，包含着世界的某些本质规律？如果是的话，这些本质规律是什么？

行列式究竟是一个什么东西？为什么会有如此怪异的计算规则？行列式与其对应方阵本质上是什么关系？为什么只有方阵才有对应的行列式，而一般矩阵就没有（不要觉得这个问题很蠢，如果必要，针对m x n矩阵定义行列式不是做不到的，之所以不做，是因为没有这个必要，但是为什么没有这个必要）？而且，行列式的计算规则，看上去跟矩阵的任何计算规则都没有直观的联系，为什么又在很多方面决定了矩阵的性质？难道这一切仅是巧合？

矩阵为什么可以分块计算？分块计算这件事情看上去是那么随意，为什么竟是可行的？

对于矩阵转置运算AT，有(AB)T = BTAT，对于矩阵求逆运算A-1，有(AB)-1 = B-1A-1。两个看上去完全没有什么关系的运算，为什么有着类似的性质？这仅仅是巧合吗？

为什么说P-1AP得到的矩阵与A矩阵“相似”？这里的“相似”是什么意思？

特征值和特征向量的本质是什么？它们定义就让人很惊讶，因为Ax =λx，一个诺大的矩阵的效应，竟然不过相当于一个小小的数λ，确实有点奇妙。但何至于用“特征”甚至“本征”来界定？它们刻划的究竟是什么？

这样的一类问题，经常让使用线性代数已经很多年的人都感到为难。就好像大人面对小孩子的刨根问底，最后总会迫不得已地说“就这样吧，到此为止”一样，面对这样的问题，很多老手们最后也只能用：“就是这么规定的，你接受并且记住就好”来搪塞。然而，这样的问题如果不能获得回答，线性代数对于我们来说就是一个粗暴的、不讲道理的、莫名其妙的规则集合，我们会感到，自己并不是在学习一门学问，而是被不由分说地“抛到”一个强制的世界中，只是在考试的皮鞭挥舞之下被迫赶路，全然无法领略其中的美妙、和谐与统一。直到多年以后，我们已经发觉这门学问如此的有用，却仍然会非常迷惑：怎么这么凑巧？

我认为，这是我们的线性代数教学中直觉性丧失的后果。上述这些涉及到“如何能”、“怎么会”的问题，仅仅通过纯粹的数学证明来回答，是不能令提问者满意的。比如，如果你通过一般的证明方法论证了矩阵分块运算确实可行，那么这并不能够让提问者的疑惑得到解决。他们真正的困惑是：矩阵分块运算为什么竟然是可行的？究竟只是凑巧，还是说这是由矩阵这种对象的某种本质所必然决定的？如果是后者，那么矩阵的这些本质是什么？只要对上述那些问题稍加考虑，我们就会发现，所有这些问题都不是单纯依靠数学证明所能够解决的。像我们的教科书那样，凡事用数学证明，最后培养出来的学生，只能熟练地使用工具，却欠缺真正意义上的理解。

自从1930年代法国布尔巴基学派兴起以来，数学的公理化、系统性描述已经获得巨大的成功，这使得我们接受的数学教育在严谨性上大大提高。然而数学公理化的一个备受争议的副作用，就是一般数学教育中直觉性的丧失。数学家们似乎认为直觉性与抽象性是矛盾的，因此毫不犹豫地牺牲掉前者。然而包括我本人在内的很多人都对此表示怀疑，我们不认为直觉性与抽象性一定相互矛盾，特别是在数学教育中和数学教材中，帮助学生建立直觉，有助于它们理解那些抽象的概念，进而理解数学的本质。反之，如果一味注重形式上的严格性，学生就好像被迫进行钻火圈表演的小白鼠一样，变成枯燥的规则的奴隶。

对于线性代数的类似上述所提到的一些直觉性的问题，两年多来我断断续续地反复思考了四、五次，为此阅读了好几本国内外线性代数、数值分析、代数和数学通论性书籍，其中像前苏联的名著《数学：它的内容、方法和意义》、龚升教授的《线性代数五讲》、前面提到的Encounter with Mathematics（《数学概观》）以及Thomas A Garrity的《数学拾遗》都给我很大的启发。不过即使如此，我对这个主题的认识也经历了好几次自我否定。比如以前思考的一些结论曾经写在自己的blog里，但是现在看来，这些结论基本上都是错误的。因此打算把自己现在的有关理解比较完整地记录下来，一方面是因为我觉得现在的理解比较成熟了，可以拿出来与别人探讨，向别人请教。另一方面，如果以后再有进一步的认识，把现在的理解给推翻了，那现在写的这个snapshot也是很有意义的。

因为打算写得比较多，所以会分几次慢慢写。也不知道是不是有时间慢慢写完整，会不会中断，写着看吧。

--------------------------------------------------------------------------

今天先谈谈对线形空间和矩阵的几个核心概念的理解。这些东西大部分是凭着自己的理解写出来的，基本上不抄书，可能有错误的地方，希望能够被指出。但我希望做到直觉，也就是说能把数学背后说的实质问题说出来。

首先说说空间(space)，这个概念是现代数学的命根子之一，从拓扑空间开始，一步步往上加定义，可以形成很多空间。线形空间其实还是比较初级的，如果在里面定义了范数，就成了赋范线性空间。赋范线性空间满足完备性，就成了巴那赫空间；赋范线性空间中定义角度，就有了内积空间，内积空间再满足完备性，就得到希尔伯特空间。

总之，空间有很多种。你要是去看某种空间的数学定义，大致都是“存在一个集合，在这个集合上定义某某概念，然后满足某些性质”，就可以被称为空间。这未免有点奇怪，为什么要用“空间”来称呼一些这样的集合呢？大家将会看到，其实这是很有道理的。

我们一般人最熟悉的空间，毫无疑问就是我们生活在其中的（按照牛顿的绝对时空观）的三维空间，从数学上说，这是一个三维的欧几里德空间，我们先不管那么多，先看看我们熟悉的这样一个空间有些什么最基本的特点。仔细想想我们就会知道，这个三维的空间：1 由很多（实际上是无穷多个）位置点组成；2 这些点之间存在相对的关系；3 可以在空间中定义长度、角度；4 这个空间可以容纳运动，这里我们所说的运动是从一个点到另一个点的移动（变换），而不是微积分意义上的“连续”性的运动，

上面的这些性质中，最最关键的是第4条。第1、2条只能说是空间的基础，不算是空间特有的性质，凡是讨论数学问题，都得有一个集合，大多数还得在这个集合上定义一些结构（关系），并不是说有了这些就算是空间。而第3条太特殊，其他的空间不需要具备，更不是关键的性质。只有第4条是空间的本质，也就是说，容纳运动是空间的本质特征。

认识到了这些，我们就可以把我们关于三维空间的认识扩展到其他的空间。事实上，不管是什么空间，都必须容纳和支持在其中发生的符合规则的运动（变换）。你会发现，在某种空间中往往会存在一种相对应的变换，比如拓扑空间中有拓扑变换，线性空间中有线性变换，仿射空间中有仿射变换，其实这些变换都只不过是对应空间中允许的运动形式而已。

因此只要知道，“空间”是容纳运动的一个对象集合，而变换则规定了对应空间的运动。

下面我们来看看线性空间。线性空间的定义任何一本书上都有，但是既然我们承认线性空间是个空间，那么有两个最基本的问题必须首先得到解决，那就是：

1 空间是一个对象集合，线性空间也是空间，所以也是一个对象集合。那么线性空间是什么样的对象的集合？或者说，线性空间中的对象有什么共同点吗？

2 线性空间中的运动如何表述的？也就是，线性变换是如何表示的？

我们先来回答第一个问题，回答这个问题的时候其实是不用拐弯抹角的，可以直截了当的给出答案。线性空间中的任何一个对象，通过选取基和坐标的办法，都可以表达为向量的形式。通常的向量空间我就不说了，举两个不那么平凡的例子：

L1 最高次项不大于n次的多项式的全体构成一个线性空间，也就是说，这个线性空间中的每一个对象是一个多项式。如果我们以x0, x1, , xn为基，那么任何一个这样的多项式都可以表达为一组n+1维向量，其中的每一个分量ai其实就是多项式中x(i-1)项的系数。值得说明的是，基的选取有多种办法，只要所选取的那一组基线性无关就可以。这要用到后面提到的概念了，所以这里先不说，提一下而已。

L2 闭区间[a, b]上的n阶连续可微函数的全体，构成一个线性空间。也就是说，这个线性空间的每一个对象是一个连续函数。对于其中任何一个连续函数，根据魏尔斯特拉斯定理，一定可以找到最高次项不大于n的多项式函数，使之与该连续函数的差为0，也就是说，完全相等。这样就把问题归结为L1了。后面就不用再重复了。

所以说，向量是很厉害的，只要你找到合适的基，用向量可以表示线性空间里任何一个对象。这里头大有文章，因为向量表面上只是一列数，但是其实由于它的有序性，所以除了这些数本身携带的信息之外，还可以在每个数的对应位置上携带信息。为什么在程序设计中数组最简单，却又威力无穷呢？根本原因就在于此。这是另一个问题了，这里就不说了。

下面来回答第二个问题，这个问题的回答会涉及到线性代数的一个最根本的问题。

线性空间中的运动，被称为线性变换。也就是说，你从线性空间中的一个点运动到任意的另外一个点，都可以通过一个线性变化来完成。那么，线性变换如何表示呢？很有意思，在线性空间中，当你选定一组基之后，不仅可以用一个向量来描述空间中的任何一个对象，而且可以用矩阵来描述该空间中的任何一个运动（变换）。而使某个对象发生对应运动的方法，就是用代表那个运动的矩阵，乘以代表那个对象的向量。

简而言之，在线性空间中选定基之后，向量刻画对象，矩阵刻画对象的运动，用矩阵与向量的乘法施加运动。

是的，矩阵的本质是运动的描述。如果以后有人问你矩阵是什么，那么你就可以响亮地告诉他，矩阵的本质是运动的描述。（chensh，说你呢！）

可是多么有意思啊，向量本身不是也可以看成是n x 1矩阵吗？这实在是很奇妙，一个空间中的对象和运动竟然可以用相类同的方式表示。能说这是巧合吗？如果是巧合的话，那可真是幸运的巧合！可以说，线性代数中大多数奇妙的性质，均与这个巧合有直接的关系

上一篇里说“矩阵是运动的描述”，到现在为止，好像大家都还没什么意见。但是我相信早晚会有数学系出身的网友来拍板转。因为运动这个概念，在数学和物理里是跟微积分联系在一起的。我们学习微积分的时候，总会有人照本宣科地告诉你，初等数学是研究常量的数学，是研究静态的数学，高等数学是变量的数学，是研究运动的数学。大家口口相传，差不多人人都知道这句话。但是真知道这句话说的是什么意思的人，好像也不多。简而言之，在我们人类的经验里，运动是一个连续过程，从A点到B点，就算走得最快的光，也是需要一个时间来逐点地经过AB之间的路径，这就带来了连续性的概念。而连续这个事情，如果不定义极限的概念，根本就解释不了。古希腊人的数学非常强，但就是缺乏极限观念，所以解释不了运动，被芝诺的那些著名悖论（飞箭不动、飞毛腿阿喀琉斯跑不过乌龟等四个悖论）搞得死去活来。因为这篇文章不是讲微积分的，所以我就不多说了。有兴趣的读者可以去看看齐民友教授写的《重温微积分》。我就是读了这本书开头的部分，才明白“高等数学是研究运动的数学”这句话的道理。

不过在我这个《理解矩阵》的文章里，“运动”的概念不是微积分中的连续性的运动，而是瞬间发生的变化。比如这个时刻在A点，经过一个“运动”，一下子就“跃迁”到了B点，其中不需要经过A点与B点之间的任何一个点。这样的“运动”，或者说“跃迁”，是违反我们日常的经验的。不过了解一点量子物理常识的人，就会立刻指出，量子（例如电子）在不同的能量级轨道上跳跃，就是瞬间发生的，具有这样一种跃迁行为。所以说，自然界中并不是没有这种运动现象，只不过宏观上我们观察不到。但是不管怎么说，“运动”这个词用在这里，还是容易产生歧义的，说得更确切些，应该是“跃迁”。因此这句话可以改成：

“矩阵是线性空间里跃迁的描述”。

可是这样说又太物理，也就是说太具体，而不够数学，也就是说不够抽象。因此我们最后换用一个正牌的数学术语——变换，来描述这个事情。这样一说，大家就应该明白了，所谓变换，其实就是空间里从一个点（元素/对象）到另一个点（元素/对象）的跃迁。比如说，拓扑变换，就是在拓扑空间里从一个点到另一个点的跃迁。再比如说，仿射变换，就是在仿射空间里从一个点到另一个点的跃迁。附带说一下，这个仿射空间跟向量空间是亲兄弟。做计算机图形学的朋友都知道，尽管描述一个三维对象只需要三维向量，但所有的计算机图形学变换矩阵都是4 x 4的。说其原因，很多书上都写着“为了使用中方便”，这在我看来简直就是企图蒙混过关。真正的原因，是因为在计算机图形学里应用的图形变换，实际上是在仿射空间而不是向量空间中进行的。想想看，在向量空间里相一个向量平行移动以后仍是相同的那个向量，而现实世界等长的两个平行线段当然不能被认为同一个东西，所以计算机图形学的生存空间实际上是仿射空间。而仿射变换的矩阵表示根本就是4 x 4的。又扯远了，有兴趣的读者可以去看《计算机图形学——几何工具算法详解》。

一旦我们理解了“变换”这个概念，矩阵的定义就变成：

“矩阵是线性空间里的变换的描述。”

到这里为止，我们终于得到了一个看上去比较数学的定义。不过还要多说几句。教材上一般是这么说的，在一个线性空间V里的一个线性变换T，当选定一组基之后，就可以表示为矩阵。因此我们还要说清楚到底什么是线性变换，什么是基，什么叫选定一组基。线性变换的定义是很简单的，设有一种变换T，使得对于线性空间V中间任何两个不相同的对象x和y，以及任意实数a和b，有：

T(ax + by) = aT(x) + bT(y)，

那么就称T为线性变换。

定义都是这么写的，但是光看定义还得不到直觉的理解。线性变换究竟是一种什么样的变换？我们刚才说了，变换是从空间的一个点跃迁到另一个点，而线性变换，就是从一个线性空间V的某一个点跃迁到另一个线性空间W的另一个点的运动。这句话里蕴含着一层意思，就是说一个点不仅可以变换到同一个线性空间中的另一个点，而且可以变换到另一个线性空间中的另一个点去。不管你怎么变，只要变换前后都是线性空间中的对象，这个变换就一定是线性变换，也就一定可以用一个非奇异矩阵来描述。而你用一个非奇异矩阵去描述的一个变换，一定是一个线性变换。有的人可能要问，这里为什么要强调非奇异矩阵？所谓非奇异，只对方阵有意义，那么非方阵的情况怎么样？这个说起来就会比较冗长了，最后要把线性变换作为一种映射，并且讨论其映射性质，以及线性变换的核与像等概念才能彻底讲清楚。我觉得这个不算是重点，如果确实有时间的话，以后写一点。以下我们只探讨最常用、最有用的一种变换，就是在同一个线性空间之内的线性变换。也就是说，下面所说的矩阵，不作说明的话，就是方阵，而且是非奇异方阵。学习一门学问，最重要的是把握主干内容，迅速建立对于这门学问的整体概念，不必一开始就考虑所有的细枝末节和特殊情况，自乱阵脚。

接着往下说，什么是基呢？这个问题在后面还要大讲一番，这里只要把基看成是线性空间里的坐标系就可以了。注意是坐标系，不是坐标值，这两者可是一个“对立矛盾统一体”。这样一来，“选定一组基”就是说在线性空间里选定一个坐标系。就这意思。

好，最后我们把矩阵的定义完善如下：

“矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。在一个线性空间中，只要我们选定一组基，那么对于任何一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述。”

理解这句话的关键，在于把“线性变换”与“线性变换的一个描述”区别开。一个是那个对象，一个是对那个对象的表述。就好像我们熟悉的面向对象编程中，一个对象可以有多个引用，每个引用可以叫不同的名字，但都是指的同一个对象。如果还不形象，那就干脆来个很俗的类比。

比如有一头猪，你打算给它拍照片，只要你给照相机选定了一个镜头位置，那么就可以给这头猪拍一张照片。这个照片可以看成是这头猪的一个描述，但只是一个片面的的描述，因为换一个镜头位置给这头猪拍照，能得到一张不同的照片，也是这头猪的另一个片面的描述。所有这样照出来的照片都是这同一头猪的描述，但是又都不是这头猪本身。

同样的，对于一个线性变换，只要你选定一组基，那么就可以找到一个矩阵来描述这个线性变换。换一组基，就得到一个不同的矩阵。所有这些矩阵都是这同一个线性变换的描述，但又都不是线性变换本身。

但是这样的话，问题就来了如果你给我两张猪的照片，我怎么知道这两张照片上的是同一头猪呢？同样的，你给我两个矩阵，我怎么知道这两个矩阵是描述的同一个线性变换呢？如果是同一个线性变换的不同的矩阵描述，那就是本家兄弟了，见面不认识，岂不成了笑话。

好在，我们可以找到同一个线性变换的矩阵兄弟们的一个性质，那就是：

若矩阵A与B是同一个线性变换的两个不同的描述（之所以会不同，是因为选定了不同的基，也就是选定了不同的坐标系），则一定能找到一个非奇异矩阵P，使得A、B之间满足这样的关系：

A = P-1BP

线性代数稍微熟一点的读者一下就看出来，这就是相似矩阵的定义。没错，所谓相似矩阵，就是同一个线性变换的不同的描述矩阵。按照这个定义，同一头猪的不同角度的照片也可以成为相似照片。俗了一点，不过能让人明白。

而在上面式子里那个矩阵P，其实就是A矩阵所基于的基与B矩阵所基于的基这两组基之间的一个变换关系。关于这个结论，可以用一种非常直觉的方法来证明（而不是一般教科书上那种形式上的证明），如果有时间的话，我以后在blog里补充这个证明。

这个发现太重要了。原来一族相似矩阵都是同一个线性变换的描述啊！难怪这么重要！工科研究生课程中有矩阵论、矩阵分析等课程，其中讲了各种各样的相似变换，比如什么相似标准型，对角化之类的内容，都要求变换以后得到的那个矩阵与先前的那个矩阵式相似的，为什么这么要求？因为只有这样要求，才能保证变换前后的两个矩阵是描述同一个线性变换的。当然，同一个线性变换的不同矩阵描述，从实际运算性质来看并不是不分好环的。有些描述矩阵就比其他的矩阵性质好得多。这很容易理解，同一头猪的照片也有美丑之分嘛。所以矩阵的相似变换可以把一个比较丑的矩阵变成一个比较美的矩阵，而保证这两个矩阵都是描述了同一个线性变换。

这样一来，矩阵作为线性变换描述的一面，基本上说清楚了。但是，事情没有那么简单，或者说，线性代数还有比这更奇妙的性质，那就是，矩阵不仅可以作为线性变换的描述，而且可以作为一组基的描述。而作为变换的矩阵，不但可以把线性空间中的一个点给变换到另一个点去，而且也能够把线性空间中的一个坐标系（基）表换到另一个坐标系（基）去。而且，变换点与变换坐标系，具有异曲同工的效果。线性代数里最有趣的奥妙，就蕴含在其中。理解了这些内容，线性代数里很多

以上就是关于CIPW标准矿物及岩石化学参数计算全部的内容，包括:CIPW标准矿物及岩石化学参数计算、密码学基础（四）算法的安全性、lars larsen手表什么档次lars larsen品牌档次等相关内容解答，如果想了解更多相关内容，可以关注我们，你们的支持是我们更新的动力！