您好！请问如何在Matlab中用四阶龙格库塔法解微分方程

dsolve('D2y+4Dy+29y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x')

y=(3sin(5x))/exp(2x)

一楼有错误

function x=sr(a,b,h,x1)

x=zeros(1,length(x1));

% for i=1:length(x1)-1

% k1=h(ax(i)-bx(i)^3+x1(i));

% k2=h(a(x(i)+k1/2)-b(x(i)+k1/2)^3+x1(i));

% k3=h(a(x(i)+k2/2)-b(x(i)+k1(sqrt(2)-1)/2+k2(2-sqrt(2))/2)^3+x1(i+1));

% k4=h(a(x(i)+k3)-b(x(i)-k2sqrt(2)/2+k3(2+sqrt(2))/2)^3+x1(i+1));

% x(i+1)=x(i)+(1/6)(k1+(2-sqrt(2))k2+(2+sqrt(2))k3+k4);

% end

for i=1:length(x1)-1

k1=h(ax(i)-bx(i)^3+x1(i));

k2=h(a(x(i)+k1/2)-b(x(i)+k1/2)^3+x1(i));

k3=h(a(x(i)+k2/2)-b(x(i)+k2/2)^3+x1(i+1));

k4=h(a(x(i)+k3)-b(x(i)+k3)^3+x1(i+1));

x(i+1)=x(i)+(1/6)(k1+2k2+2k3+k4);

end

拉格朗日function y=lagrange(x0,y0,x)

n=length(x0);m=length(x);

for i=1:m

z=x(i);

s=00;

for k=1:n

p=10;

for j=1:n

if j~=k

p=p(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));

end

end

s=py0(k)+s;

end

y(i)=s;

end SOR迭代法的Matlab程序

function [x]=SOR_iterative(A,b)

% 用SOR迭代求解线性方程组,矩阵A是方阵

x0=zeros(1,length(b)); % 赋初值

tol=10^(-2); % 给定误差界

N=1000; % 给定最大迭代次数

[n,n]=size(A); % 确定矩阵A的阶

w=1; % 给定松弛因子

k=1;

% 迭代过程

while k<=N

x(1)=(b(1)-A(1,2:n)x0(2:n)')/A(1,1);

for i=2:n

x(i)=(1-w)x0(i)+w(b(i)-A(i,1:i-1)x(1:i-1)'-A(i,i+1:n)x0(i+1:n)')/A(i,i);

end

if max(abs(x-x0))<=tol

fid = fopen('SOR_iter_resulttxt', 'wt');

fprintf(fid,'\n用SOR迭代求解线性方程组的输出结果\n\n');

fprintf(fid,'迭代次数: %d次\n\n',k);

fprintf(fid,'x的值\n\n');

fprintf(fid, '%128f \n', x);

break;

end

k=k+1;

x0=x;

end

if k==N+1

fid = fopen('SOR_iter_resulttxt', 'wt');

fprintf(fid,'\n用SOR迭代求解线性方程组的输出结果\n\n');

fprintf(fid,'迭代次数: %d次\n\n',k);

fprintf(fid,'超过最大迭代次数，求解失败！');

fclose(fid);

end Matlab中龙格-库塔(Runge-Kutta)方法原理及实现龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法。由于此算法精度高，采取措施对误差进行抑制，所以其实现原理也较复杂。该算法是构建在数学支持的基础之上的。龙格库塔方法的理论基础来源于泰勒公式和使用斜率近似表达微分，它在积分区间多预计算出几个点的斜率，然后进行加权平均，用做下一点的依据，从而构造出了精度更高的数值积分计算方法。如果预先求两个点的斜率就是二阶龙格库塔法，如果预先取四个点就是四阶龙格库塔法。一阶常微分方程可以写作：y'=f(x,y),使用差分概念。

(Yn+1-Yn)/h= f(Xn,Yn)推出（近似等于，极限为Yn'）

Yn+1=Yn+hf(Xn,Yn)

另外根据微分中值定理，存在0<t<1,使得

Yn+1=Yn+hf(Xn+th,Y(Xn+th))

这里K＝f(Xn+th,Y(Xn+th))称为平均斜率，龙格库塔方法就是求得K的一种算法。

利用这样的原理，经过复杂的数学推导（过于繁琐省略），可以得出截断误差为O(h^5)的四阶龙格库塔公式：

K1＝f(Xn,Yn);

K2=f(Xn+h/2,Yn+(h/2)K1);

K3=f(Xn+h/2,Yn+(h/2)K2);

K4=f(Xn+h,Yn+hK3);

Yn+1=Yn+h(K1+2K2+2K3+K4)(1/6);

所以，为了更好更准确地把握时间关系，应自己在理解龙格库塔原理的基础上，编写定步长的龙格库塔函数，经过学习其原理，已经完成了一维的龙格库塔函数。

仔细思考之后，发现其实如果是需要解多个微分方程组，可以想象成多个微分方程并行进行求解，时间，步长都是共同的，首先把预定的初始值给每个微分方程的第一步，然后每走一步，对多个微分方程共同求解。想通之后发现，整个过程其实很直观，只是不停的逼近计算罢了。编写的定步长的龙格库塔计算函数：

function [x,y]=runge_kutta1(ufunc,y0,h,a,b)%参数表顺序依次是微分方程组的函数名称，初始值向量，步长，时间起点，时间终点（参数形式参考了ode45函数）

n=floor((b-a)/h);%求步数

x(1)=a;%时间起点

y(:,1)=y0;%赋初值，可以是向量，但是要注意维数

for ii=1:n

x(ii+1)=x(ii)+h;

k1=ufunc(x(ii),y(:,ii));

k2=ufunc(x(ii)+h/2,y(:,ii)+hk1/2);

k3=ufunc(x(ii)+h/2,y(:,ii)+hk2/2);

k4=ufunc(x(ii)+h,y(:,ii)+hk3);

y(:,ii+1)=y(:,ii)+h(k1+2k2+2k3+k4)/6;

%按照龙格库塔方法进行数值求解

end

调用的子函数以及其调用语句：

function dy=test_fun(x,y)

dy = zeros(3,1);%初始化列向量

dy(1) = y(2) y(3);

dy(2) = -y(1) + y(3);

dy(3) = -051 y(1) y(2);

对该微分方程组用ode45和自编的龙格库塔函数进行比较，调用如下：

[T,F] = ode45(@test_fun,[0 15],[1 1 3]);

subplot(121)

plot(T,F)%Matlab自带的ode45函数效果

title('ode45函数效果')

[T1,F1]=runge_kutta1(@test_fun,[1 1 3],025,0,15);%测试时改变test_fun的函数维数，别忘记改变初始值的维数

subplot(122)

plot(T1,F1)%自编的龙格库塔函数效果

title('自编的 龙格库塔函数')

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