自相似与自仿射

311 自相似与自仿射定义

1自相似定义

分形混沌与矿产预测

其中X=（x1，x2，…，xn）表示En中的一个点或径矢量，r为一实数（311）式的几何意义：矢量X与rX相互平行，当r＞0时，二者同向；当r＜0时，二者反向矢量X与rX的模成正比，当r＞1时，rX的模增大；当r＜1时，rX的模减小

2自仿射定义

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其中X=（x1，x2，…，xn）表示En中的一个点或径矢量，ri（i=1，2，…，n）为实数（312）式说明，自仿射不仅改变了矢量X的方向，也改变了X的模

下面我们给出用函数形式描述的自相似和自仿射的定义

如果函数f（ax）可以写成：

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则f（x）是一个齐次函数

由f（abx）=g（a）g（b）f（x）=g（ab）f（x）可得：

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对（314）式关于b求导可得：

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令b=1，g′（1）=p，由（313）可知g（1）=1，于是得到如下的定解问题：

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其解为g（a）=ap，于是（313）式可以改写成：

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此时，f（x）是p次齐次函数在（317）式中，令a=x-1，f（x）=f（1）xp由此可见，齐次函数f（x）是x的幂函数

两个变量的广义齐次函数f（x，y）可以写成如下形式：

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式中p1，p2是常数，叫做标度变换：

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的标度量纲数

一般地，如果：

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恒成立，则称n元函数f（x1，x2，…，xn）具有自仿射性质（在数学上，称n元函数f（x1，x2，…，xn）为q次齐次函数）

当变量xi（i=1，2，…，n）的标度变换完全相等时，即：

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成立，则称n元函数f（x1，x2，…，xn）具有自相似性质

地形是自相似分形与自仿射分形的一个例子在水平的两个方向上地形经常是自相似的垂直坐标随水平坐标的变化是统计性的关系，而且变化的大小比水平坐标要小的多，这类的垂直剖面图常常是自仿射的现在有一种用硬塑胶片制成的立体地图，山脉，盆地，河谷等地貌在这种立体地图上清晰可见这种立体地图实际上是某一地区地形表面的仿射变化立体地图在水平方向（经纬度方向）和垂直方向（地形的高程）的比例尺是不同的如水平方向的比例是1∶30万而高程方向的比例1∶3万多数地形是自仿射分形的；当我们记录地球物理场随时间的变化时所得到的时间序列可以用自仿射分形分析的方法处理自仿射分形分析是处理声阻抗-岩心深度、地面高程-经度等多种函数关系的有利工具

多重（多标度）分形描述的是分形几何体在变化（或生长）过程中不同层次的特征

统计自相似分形是各向同性的，即在由x和y坐标所确定的二维情况下，结果与x轴和y轴的几何取向无关二维xy空间统计自相似的定义：f（rx，ry）与f（x，y）是统计相似的，其中r是一个标度因子若用来覆盖海岸线的尺度为x1，y1的盒子数是N1的话，则用尺度rx1，ry1的盒子覆盖海岸线所需要的盒子数N2，在海岸线是自相似的前提下，有关系：N2/N1=r-D

统计自仿射分形不是各向同性的在二维xy空间统计自仿射的定义：f（rx，rHy）与f（x，y）是统计相似的，其中H叫做Hausdorff测度在应用数盒子方法时，随着盒子大小的增加，正方形的盒子变成越来越长的长方形盒子

Brown运动曲线是自仿射统计分形：若用t代表时间，用B（t）代表Brown运动与初始位置的偏离，显然B（t）是一簇随机变化的曲线簇可以证明：

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其中，T是研究Brown运动的时间段［0，T］的上限如果取标准差σ（B（t））作为描述该曲线的统计特征量，则有：

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上式说明Brown运动曲线是自仿射统计分形

Mandelbrot推广了Brown运动的概念，引入分数Brown运动（fractal Brown motion），简写为fBm所谓分数Brown运动是指研究时间段［0，T］上的一个随机的时间函数BH（t），它具有以下统计特征：

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如果取标准差σ（BH（t））作为它的统计特征量，则：

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所以：f（bt）∝bHf（t）由定义可知，分数Brown运动是一个自仿射统计分形，即BH（t）和（1/bH）BH（bt）在统计上是没有区别的

我们用数盒子方法来求fBm的局部分维数研究定义在［0，T］区间上的作为时间函数的fBm引入一个参考的长方形盒子，它的宽度是T，高度为σT=σ（T）然后，我们把区间T分成n个相等的长度Tn=T/n，取长为Tn，高为σn=σT/n的小盒子，显然小盒子的宽和高之比与原来的参考盒子是一样的但是与每个Tn相应的fBm的标准差却不等于σn，而是σT=σ（Tn）下面来确定用大小为Tn×σn的盒子覆盖宽T、高σT的盒子数Nn，易知Nn为

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而σT∝TH，代入上式可得：

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联系到基本的统计分形关系式：

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于是，有D=2-H这就是自仿射分形中求局部（local）分维数的公式，它将分维D与Hurst指数联系了起来

自仿射分形的重要特点是它的各向异性当对Brown运动曲线进行放大时，在t轴放大了b倍，而在纵坐标方向放大bH倍由于H是位于［0，1］区间的指数，一般小于1当b很大时（b→∞），在时间轴上的放大率比纵轴方向的放大率大，从整体来看，曲线越来越平直b→∞的极限情况下，曲线变成了一条直线一条直线的维数D=1，称为自仿射分形的（整体）维数（global dimension）

如果b值不是太大时，无论放大或缩小，自仿射曲线将随时间而起伏变化，这时求出的维数D=2-H叫做局部维数（local dimension）

对于自仿射分形，描述整体行为的分形维数与描述局部行为的分形维数不相等，这一点表明了它具有与自相似分形完全不同的特点自仿射分形维数与所选择的单位有关如果选择的单位比较大，则测出来的是整体维数，若选择的测量单位比较小，则可以测出曲线的局部分形维数

312 相关分析和功率谱函数

如果一个随机变量B（t），定义其自相关函数R（t，τ）为：

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显然，R（t，τ）是一个与t和τ有关的随机函数在各态历经假设下，若B（t）是一平稳随机过程，则 E［B（t）］=0，自相关函数R（t，τ）与t无关，其自相关函数变成了R（τ），它不再是随机函数显然：

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式（3111）建立了自相关函数R（τ）与B（t）方差之间的关系；方差就是τ=0时的自相关函数

功率谱分析在统计分析中是一个有用的工具我们知道，Fourier分析也是一种常用的谱分析技术，但是随机函数的Fourier谱也是随机函数因此，一般不用Fourier分析而随机函数的功率谱不是随机函数，是确定的函数，分析统计现象时经常用功率谱

与自相关函数有对应关系的是功率谱函数，简称谱密度函数S（ω），它定义为：

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下面来说明，为什么和相关函数R（τ）对应的S（ω）是功率谱密度

如果B（t）表示一质点对平衡位置的位移，系统的刚度K=1，则KB（t）为内力，（1/2）KB（t）2为单位时间内的应变能，则在振动持续时间T之内的总应变能为：

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功率为：

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将式（3111）代入并略去常系数：

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另一方面，功率是由各种频率成分贡献而成：

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式中，S（ω）dω代表了（ω，ω+dω）内频率成分对总功率的贡献，这就是为什么S（ω）被称为功率谱密度的缘故

从上面讨论可知，对于一般的平稳随机现象：

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而对于自仿射fBm的特定条件，若B（t）∈［0，T］：

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将上面3个公式合并考虑，并注意到T=2π/ω，有：

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上式成立的充分必要条件是（详见文献DLTurcotte，分形与混沌——在地质学和地球物理学中的应用，1993年，p81）：

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且

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考虑到式D=2-H，我们可将描述自仿射分形的3个参数D，H和β的关系写成如下：

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313 检验与定量评定自仿射分形的方法

Sapozhnikov和Foufoula-Georgiou（1995）提出了一个检验与定量评定任何复杂几何图形（如交织的河流）自仿射性质的方法该方法称为对数相关积分方法，它能估计出研究对象的分维数

设X和Y是一个长方形的两个边，M（X，Y）是用边长分别为X和Y的长方形覆盖研究对象或物体所需要的数目由空间标度性质，可推出下面的关系：

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其中νx与νy分别是X与Y方向的分维数

式（3118）可改写以下形式：

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令x=lgX，y=lgY，z=lgM，可得：

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或

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其中z（x，y）称为对数相关积分函数

比较等式（3121）和

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我们可推出：

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等式（3123）提供了检验研究对象的空间尺度不变性存在和自仿射物体分维数νx与νy的估计方法我们通过直接计算M（X，Y），可得到对数相关积分函数z（x，y），然后计算偏导数∂z（x，y）/∂x与∂z（x，y）/∂y，并用它们检验线性关系等式（3123）是否成立如果成立，就可以得到νx与νy的值1/νy与-νx/νy分别是最佳拟合直线的截距和斜率

注：关于如何求出νx，νy，及检验等式（3123）见文献Sapozhnikov和Foufoula-Georgiou（1995年）

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