怎样求多元函数的极值？

1F（x、y）分别对x,y求偏导，目的是联立偏导方程，找出驻点。

2FxxFyy和FxyFyx的相对数值大小作为判断依据，目的就是，判断第一步中驻点是否为极值点。

二元（或都多元）极值的求法思想与一元完全类似，试回忆一元函数求极值：

1f'(x)=0,找出驻点。

2f''(x)判断，驻点是否为极值。  

设函数 z = f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数 , 又  

f x ( x 0 , y 0 ) = 0 ,  

f y ( x 0 , y 0 ) = 0 ,  

令

f xx ( x 0 , y 0 ) = A ,

f xy ( x 0 , y 0 ) = B ,

f yy ( x 0 , y 0 ) = C ,

则 f ( x , y ) 在 ( x 0 , y 0 ) 处是否取得极值的条件如下：

(1) AC - B^2 >0 时具有极值 , 且当 A <0 时有极大值 , 当 A >0 时有极小值 ;

(2) AC - B^2 <0 时没有极值 ;

(3) AC - B^2 = 0 时可能有极值 , 也可能没有极值

是否是极值需用其它方法，一般可结合图形判定

在函数 f ( x , y ) 的驻点处

如果 f xx × f yy - f xy ^2 >0 , 则函数具有极值 , 且

当 f xx <0 时有极大值 ,  

当 f xx >0 时有极小值。

求函数的极值：

③。f(x)=2x³-6x²-18x+10;

解：令f'(x)=6x²-12x-18=6(x²-2x-3)=6(x+1)(x-3)=0;

得驻点 x₁=-1；x₂=3；x₁是极大点；x₂是极小点;

极大值f(x)=f(-1)=-2-6+18+10=20;   极小值f(x)=f(3)=54-54-54+10=-44;

故得唯一驻点x=2(极大点)；极大值f(x)=f(2)=3; 

另外，x=3时f'(3)不存在，故x=3是尖点，也是极值点(极小点)，极小值f(x)=f(3)=0；

x→-∞limf(x)=-∞；x→+∞limf(x)=+∞；其图像如下：

极值的求法

定义1 设函数 y = f(x) 在点 x0 的某邻域内有定义,如果对于该邻域内的任意一点x(x≠x0),有

(1)f(x)<f(x0),则称f(x0)为 f(x) 的极大值,其中 x 为 f(x) 的极大值点;

(2)f(x)>f(x0),则称f(x0)为 f(x) 的极小值,其中 x 为 f(x) 的极小值点

函数的极大值与极小值统称为函数的极值,极大值点与极小值点统称为极值点

     如果 x0 是函数f(x)的极值点,则 f ' (x0)=0或者f(x)不存在

     如果 f'(x0) = 0,则称 x 为函数 f ' (x0)的驻点

定理8(极值的第一判定定理)设函数y=f(x)在点x0处连续,且在点x0的某一去心邻域内可导,如果在该邻域内

(1)当x<x0时, f ' (x)>0;而当x>x0时, f ' (x)<0,则f(x)为f(x)的极大值;

(2)当x<x0时, f ' (x)<0;而当x>x0, f ' (x)>0,则f(x)为f(x)的极小值;

(3)若在点 x0 的两侧 f ' (x)不变号,则fx0)不是f(x)的极值

定理9(极值的第二判定定理)设函数y=f(x)在点 x0 的某个邻域内一阶可导,在x= x0 处二阶可导,且f  ’(x)=0,f(x)≠0

(1)如果 f ' '(x)>0,则 f(x0) 为函数f(x)的极小值;

(2)如果 f ' '(x)<0,则 f(x0) 为函数f(x)的极大值

例题：