薛定谔方程

薛定谔方程堪称量子力学里面最最基本的公式之一了！其意义之于量子力学，就和牛顿公式之于经典力学一样。

那么，薛定谔是如何推到出来薛定谔方程的呢？有人说，薛定谔也就是运气好，连蒙带猜拼凑出来的。

要不然，为何其在提出薛定谔方程之后，竟然不知道其千辛万苦写出来的波函数所具有的意义。

还是在波尔等人的帮助下，薛定谔方程的释义才正确了。

真的是这样吗？其实不然，薛定谔方程肯定不是薛定谔随意拼凑出来的。

科学是严谨的，特别是量子力学，当时很多人根本就无法理解量子力学。

如果没有极其深厚的底子，薛定谔绝对无法提出薛定谔方程。

关于薛定谔方程如何被其推导出来，历史资历并没有留下太多痕迹。

很多人也提出来几种可能的推导过程，但似乎都是站在现代的知识体系下的猜测而已。

我们只知道薛定谔是收到了德布罗意博士毕业论文关于德布罗意波的启发，进而得到了波动方程。

但真实的推导过程，已经遗失在历史之中了。

但不管怎么样，薛定谔方程无疑是成功的。

即便是薛定谔突发灵感，没有推导直接写了出来，那样只能够说薛定谔积累的够深，够天才。

非常感谢题主提供的问题，凑个热闹。

严格说，物理学所有的基础公式都是“凑”出来的。

但是，此“凑”非彼“凑”。

这其中的原因就是科学的研究方法问题。

我们先举一个经典力学的粒子来说明这个“凑”的过程，再跟您一起来看看薛定谔方程是怎么“凑”出来的。

牛顿第二定律的“凑”公式过程定律的内容这里就不赘述了，小伙伴们都了解，数学表达就是这个F=ma，这个公式。

如果大家还记得我们中学时候那个小车在光滑木板上的实验的话，就应该明白，这个公式其实是一个经验公式。

啥叫经验公式，其实就是“凑”出来的公式。

从实验中发现规律，然后用数学公式表达出来。

让这个公式能对运动的过程进行精确的描述和预测。

所以我们看到，其实物理学中很多最基本的公式都是这么“凑”出来的。

薛定谔方程是怎么“凑”出来的呢假定您对经典物理学和波函数都有了一定的了解，微观粒子在某一时刻t的状态，以及描写这个状态的波函数Ψ(r,t )的性质，现在我们来讨论粒子状态随时间变化所遵从的规律。

在经典力学中，当质点在某一时刻的状态为已知时，由质点的运动方程就可以求出以后任一时刻质点的状态。

在量子力学中情况也是这样，当微观粒子在某一时刻的状态为已知时，以后时刻粒子所处的状态也要由一个方程来决定。

所不同的是，在经典力学中，质点的状态用质点的坐标和速度来描写,质点的运动方程就是我们所熟知的牛顿运动方程；而在量子力学中，微观粒子的状态则用波函数来描写，决定粒子状态变化的方程不再是牛顿运动方程，而是下面我们要建立的薛定谔方程。

由于我们要建立的是描写波函数随时间变化的方程，因此它必须是波函数应满足的含有对时间微商的微分方程，此外，这个方程还应满足下面两个条件：(1)方程是线性的，即如果Ψ1和Ψ2都是这方程的解，那末Ψ1和Ψ2的线性叠加aΨ1+bΨ2也是方程的解，这是因为根据叠加态原理，如果Ψ1和Ψ2都是粒子可能的状态，那么aΨ1+bΨ2也应是粒子可能的状态；(2)这个方程的系数不应包含状态的参量，如动量、能量等，因为方程的系数如含有状态的参量，则方程只能被粒子的部分状态所满足，而不能被各种可能的状态所满足。

现在来建立满足上述条件的方程。

采取的步骤是先对波函数已知的自由粒子得出这种方程，然后把它推广到一般情况中去。

自由粒子的波函数是平面波：它是所要建立的方程的解。

我们将这个式子对时间求偏微商，得到但这还不是我们所要求的方程，因为它的系数中还含有能量E。

再把自由粒子的平面波函数对坐标球二次偏微商，得到同理有将以上三个式子相加，得利用自由粒子的能量和动量的关系式：式子中μ是粒子的质量。

比较上面两个式子，我们得到自由粒子波函数所满足的微分方程：它满足前面所述的条件。

两个式子可以改写为如下形式：式子中的▽是劈型算符：有上面两个式子中可以看出，粒子的能量E和动量P各与下列作用在波函数上的算符相当：这两个算符依次称为能量算符和动量算符。

我们把自由粒子的能量和动量关系式两边乘以Ψ，再以上式子代入可以得到自由粒子波函数所满足的方程。

现在利用粒子能量E和动量P与作用在波函数上的算符相当来建立在力场中粒子波函数所满足的微分方程。

设粒子在力场中的势能为U（r）。

在这情况下，粒子的能量和动量的关系式是上式两边乘以波函数Ψ(r,t )，并以粒子能量E和动量P与作用在波函数上的算符相当来代入，我们就可以得到Ψ(r,t )所满足的微分方程这个方程称为薛定谔波动方程，它描述的是粒子在势场U（r）中状态随时间的变化。

从上面的方程建立过程中我们可以发现，这个方程并不是从数学上推导出来的。

您如果认为这个过程是"凑"出来的当然也是没有问题的。

不过我们看到，这个“凑”的过程中，是符合经典物理的规律的，并不是无中生有，凭空想象的一个方程。

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