关于线性算子介绍

[拼音]：xianxing suanzi

[外文]：linear operator

出现在各个数学领域中具有线性性质的运算（例如线性代数中的线性变换；微分方程论、积分方程论中大量出现的微分、积分运算、积分变换等）的抽象概括。它是线性泛函分析研究的重要对象。关于线性算子的理论不仅在数学的许多分支中有很好的应用，同时也是量子物理的数学基础之一。中国物理学界习惯上把算子称为算符。

设x、Y是两个（实数或复数域上的）线性空间，T是x到Y的映射。T的定义域和值域分别记为D(T )、R(T )。如果对任何数α、β和x1、x2∈D(T)，满足αx1+βx2∈D(T)，并且

，

则称T是以D（T）为定义域的x到Y的线性算子。特别当D(T)=x，Y是实数域或复数域时，称T是x上的线性泛函。例1，设x＝C1[0，1]（[0，1]上连续可微函数全体），Y＝B[0，1]([0，1]上有界函数全体)，定义

，

则T是x到Y的线性算子。例2，设x=C[α，b]([α，b]上的连续函数全体)， K(t，s)是[α，b]×[α，b]上的二元连续函数，定义，则T是x到x的线性算子。例3，设x=C[α，b]，则，T2x =x(t0)(t0是[α，b]中取定的一个点)都是x上的线性泛函。

设T1、T2是x到Y的线性算子，它们的定义域分别是D(T1)、D(T2)。对任一数α，规定αT1表示以D(T1)为定义域，而对任何 x∈D(T1)，(α T1)x=α(T1x)的算子;规定T1+T2表示以D(T1)∩D(T2)为定义域，而对任何的算子。易知αT1（称T1的α倍），T1+T2(称T1与T2的和)仍是线性算子。又设T3是以D(T3)为定义域的Y到Z的线性算子，规定T3·T1（也记作T3T1）表示以

为定义域而对任何的算子。易知T3·T1（称T3与T1的积）也是线性算子。

设T是以D（T）为定义域的x到Y的线性算子，若从x≠0可推出Tx≠0，即T是单射，则T有逆映射T -1:T -1(Tx)=x0。T -1是一个以R（T）为定义域的线性算子，在泛函分析中常称T -1为T的逆算子。

设T是x到x的线性算子，如果对任何x∈x，Tx＝x，称T是x的单位算子，或恒等算子，常用IX表示，或简记为I。T -1是T的逆算子当且仅当。

又称有界线性算子，泛函分析研究的一类重要算子。设x和Y是赋范线性空间，T是x到Y的线性算子（或线性泛函）并且D(T)=x。如果对任何收敛序列xn，都有，称T是x到Y的连续线性算子（或连续线性泛函）；如果T把x中任何有界集M映成Y中有界集，称T是有界线性算子(或有界线性泛函)。线性算子T是连续的当且仅当它是有界的。例1中，当x上定义范数 ，Y上定义范数时，那么算子是C1[0，1]到B[0，1]的连续线性算子。例2和3中，当C[α，b]上定义范数时，例2中算子和例3中的泛函T1和T2分别是连续线性算子和连续线性泛函。对于x到Y的有界线性算子（或有界线性泛函）T，称

是T 的范数。有界线性算子（或有界线性泛函）的范数是一个重要的量。x到Y的有界线性算子全体按这个范数成为一个赋范线性空间，记为B(x→Y)。B(x→x)也简记为B(x)。当Y完备时B(x→Y)是一个巴拿赫空间。

设x和Y都是赋范线性空间，{Tn}是x到Y的有界线性算子序列，T是x到Y的有界线性算子。如果，则称{Tn}按算子范数收敛（或一致收敛）的，并称 T是{Tn}的按算子范数收敛（或一致收敛）的极限。如果对任何x∈x，成立

，

则称{Tn}强收敛，并称 T是{Tn}的强极限。如果对任何x∈x及Y上的任何连续线性泛函ƒ，成立

，

则称{Tn}弱收敛，并称T是{Tn}的弱极限。显然，一致收敛序列必然是强收敛的，强收敛序列必定是弱收敛的，并且有相同的极限。当x和Y都是有限维空间时，这三种收敛性是等价的；而在无限维空间，它们是不等价的。如果{Tn}是连续线性泛函序列，那么它只有两种收敛性，且相应于算子序列的一致收敛、强收敛常称为泛函的强收敛、弱*收敛。

微分算子 （积分算子）是从某一个由函数构成的赋范线性空间到另一个由函数构成的赋范线性空间的微分（或积分）运算的泛称。例 4，设x是希尔伯特空间，算子便可作为以D为它的定义域的x 到x 的微分算子；例5，x是 便可作为以 x为定义域的x到x的积分算子。更复杂的微分算子或积分算子是指高维空间上的高阶微分或积分运算（包括边界条件和初始条件等）以及它们的常系数或变系数的线性组合。

无界线性算子理论中一类重要的算子。设x、Y是赋范线性空间，T是x到Y的线性算子。如果定义域D(T)在x中稠密，即D(T)的闭包，则称T是稠定算子。如果由{xn}嶅D(T)，xn→x与Txn→y必可推出x∈D(T)，且Tx=y，则称T是闭算子。全巴拿赫空间上的闭算子必是有界的(见巴拿赫空间)。一个既稠定又闭的算子称为稠定闭算子。在例5中的微分算子便是L2[α，b]上的稠定闭算子，但它不是有界的。

设T是x到Y的稠定线性算子，记D(T*)为适合下面条件的y*的全体:y*∈Y*（Y的共轭空间），存在x*∈x*，使得一切x∈D(T)，有，这里(Tx，y*)，(x，x*)分别是y*(Tx)，x*(x)的形式写法。由于T是稠定的，对y*∈D(T*)只有惟一的x*满足上式。作以D(T*)为定义域的线性算子，称T*是T的共轭算子。特别，如果T是x到Y的有界线性算子，则T*是Y*到x*的有界线性算子，并且‖T‖=‖T*‖。共轭算子是矩阵的转置矩阵概念的推广。当x，Y都是希尔伯特空间时，从希尔伯特空间上的线性连续泛函的里斯表示定理知道，Y*＝Y，x*＝x，而上面的形式写法(Tx，y*)，(x，x*)这里分别是Y和x中的内积。因此，希尔伯特空间中共轭算子概念是矩阵的关联矩阵（即转置共轭阵）概念的推广。所以巴拿赫空间中共轭算子和希尔伯特空间上共轭算子的概念略有差异。

下面是x与Y都是希尔伯特空间时的几种常用的算子类。

设T是希尔伯特空间H上的稠定线性算子，如果T嶅T*，即D(T)嶅D(T*)，且对任何x∈D(T)，Tx=T*x，则称T是对称算子，特别当D(T)=D(T*)(从而T＝T*)时，称T是自共轭算子，也称自伴算子。如果T是自共轭算子，而且对任何x∈D(T)，(Tx，x)≥0，称T为正算子，记为T≥0。例4中的微分算子是对称算子，并且

，

但如果将例4中微分算子T的定义域改为

(它与例4中的D只是边界条件不同)，这时T便是自共轭算子。对自共轭算子已经有了较深入的研究，建立了谱分解定理。它的理论已被广泛地应用于其他数学分支。在量子物理中一切物理量都是用某个希尔伯特空间（物理体系的态矢量空间）上的自共轭算子来描述的，因此自共轭算子在量子物理中占有特别重要的地位。应该指出，虽然对称算子和自共轭算子仅在于D（T*）嶅D（T）和D(T*)=D(T)的区别，但是它们在某些基本性质上是有很大区别的。

设U是希尔伯特空间H上的线性算子，并且D(U)是闭线性子空间，如果对任何x∈D(U)，‖Ux‖=‖x‖，称U是保距算子或称保范算子。特别当D(U )=H=R(U )时，称U是H上的酉算子。酉算子另外的等价定义是U*U =UU*=I。

对称算子(或自共轭算子)与保距算子(或酉算子)的关系极为密切。如果T是对称算子(或自共轭算子)，那么线性算子Ut=(T-iI)(T+iI)-1，(D(Ut)=R(T+iI))必是保距算子(或酉算子)并且1不是Ut的特征值，称Ut是T的凯莱变换。反之，若U是不以1为特征值的保距算子(或酉算子)，那么，线性算子必是对称算子（或酉算子），也称TU是U的凯莱变换。

也称正规算子。希尔伯特空间H上满足NN*=N*N的算子N 称为正常算子。酉算子和自共轭算子都是它的特例。对这类算子已有清楚的了解(见谱论)。正常算子N有一个重要性质:设T是有界线性算子，如果TN＝NT，则TN*=N*T。

关于自共轭算子、酉算子及正常算子，早在20世纪20～30年代已获得一系列深刻的结果。后来，人们的注意力逐渐转移到各种类型的非正常算子上，例如，近20年来人们兴趣较大的除次正常算子外有下面的算子。设T是H上的有界线性算子，T*T-TT*≥0，称T是亚正常算子;如果就称T为半亚正常算子。关于亚正常和半亚正常算子已经建立了它的函数模型并证明了著名的范数不等式：当T是亚正常算子时，

当T是半亚正常算子时，

。

希尔伯特空间上特别重要的一类算子。由于希尔伯特空间有很好的几何结构，因此这种空间上的线性算子理论取得了丰富的结果。投影算子是希尔伯特空间这种几何特性的反映。

设M是希尔伯特空间H的闭线性子空间，根据投影定理，对任何x∈H必存在惟一的y∈M，z∈M寑使x=y+z。作H上的算子pM :pM x=y，易知pM 是线性算子，称为H在M上的投影算子。希尔伯特空间H上算子p是投影算子当且仅当p是幂等的(即p2=p)自共轭算子。投影算子p的另一等价条件是对任意x∈H，‖px‖2=(px，x)。投影算子pM与相应的闭子空间M有如下关系。

（1）H上的闭线性子空间M、N 相互正交的充要条件是pM pN=0。

（2）当pM是投影算子时，I-pM 也是投影算子，且I-pM=pM寑。

（3）两个投影算子pM 、pN之和pM +pN是投影算子的充要条件是M⊥N，而且此时其中M嘰N={x+y|x∈M，y∈N，M⊥N}。

（4）两个投影算子pM 、pN之差pM-pN是投影算子的充要条件是M叾N，而且此时式中M嫴N={y|y⊥N，y∈M，M叾N}。

（5）设A是H上的有界线性算子，M是A的不变子空间（即AM嶅M）的充要条件而M是A的约化子空间(即M、M寑都是A的不变子空间)的充要条件是ApM=pMA，等等。因此，投影算子已成为研究其他复杂算子的工具。