积分变换学不会？别学复变函数了——从微分方程开始吧

积分变换学不会？别学复变函数了——从微分方程开始吧

我是菜鸡速通理工基础，在大学里教电工理论和工科硕士的数学。欢迎关注，共同交流进步，更欢迎批评。

需要书的，可以关注私信我。

这篇文章的主要目的，是推荐积分变换、复变函数的各种水平的好书和少量视频。下面的书，差不多我都买来读过。虽然已经学了近10年，应该还是一门外汉。因此限于本鸡的水平和经验，不可能提到所有好的书和视频，但是我自信对各种非职业玩家应该够用了；职业选手请直接无视。另外，本文不可避免地包含了个人喜好，请多多包涵。

《复分析》是分析学的主要分支之一，这个学科本身已经非常深入。因此，普通人不要指望能学懂。然鹅，由于复分析（实际上是积分变换）的应用几乎遍及所有的理工科，能显著影响后续课程的学习，因此在大学里属于通识教育（事实上你可能永远都用不到复分析），当然更要有专门的复分析选手，促进这门有用学科本身的发展。不同的学校和系科，这门课程水平可能差别很大。没有能力自编优秀教材的学校，比如理工科，基本上用西交王绵森《复变函数》、东南张元林《积分变换》，并且一般只开一门课；高水平的大学一般都有自己的书，比如哈工大、华中等等。数学、物理的要深一些，北大、武大、川大等名校一般都有自己的书。

先把一句话撂这了：绝大多数非职业玩家，学复变的主要目的在于学积分变换；而学积分变换的目的，主要在于解微分方程和偏微分方程。

下面是我学习的过程和教学体会，没有兴趣的可以直接跳到后面介绍视频和书的大标题。非职业玩家，看到第三段，忽略你不感兴趣的部分，就差不多了。由于完全是个人体验，难免错误，欢迎批评。

一、 我的教、学体会

最早是20年前，读大学时，开过这门课，课本当然是王绵森。由于老师基本上完全念课本，一字不落的那种，所以理所当然的、发自内心的"厌恶"这门课——其实也不完全怨老师了，当年我还不会微积分；也谈不上讨厌了，去了几次就永别了。这只能呵呵了。

真正开始学这门课，是2010年，开始教电工原理，不懂、不会貌似不行了。由于西交课本效率太高（太简略），只好换川大钟玉泉的《复变函数论》，基本上同样高效率，所以学了四年没学懂，又尴尬了——由于慢慢学会了选书和读书——读了若干本以后再回来，终于爱上了王绵森和钟玉泉，这两本真的是好书啊——奈何初学者没人教的自学扛不住。

在我教的过程中，主要是应用拉氏变换。这个学了大概6遍，才终于自己摸出套路来——就是邱关源《电路》的拉氏变换简表——基本上闭着眼也能推出来（听过我电路课的选手，都见识过我速推拉氏变换简表）；偏微分方程需要的积分变换解法，也没有困难了。

说这个主要是要强调我的一个体会，工科复变教学普遍存在问题：复变函数的重要性被过度夸大了——教复变的少有会物理和工程的——你简直了，教工程数学的不用懂工程？？？？？不用关心一下工程数学到底用在什么地方、怎么用？？？？？这就是现状！！！

根据本人自学和教学的体会，我现在坚持认为，除非专门的学术职业玩家，一般根本用不到复变函数。学积分变换，完全不用学复变函数！事实上，绝大多数人，学一两节复数就足够了。对于部分要学习控制论的选手，只要自己补一下辐角原理（高水平的再补一点儒歇定理和推论），也不需要完整地学复变。

下面关于积分变换的内容，不可避免要用一些术语

积分变换，特别是积分反变换，从本质上讲——我不想写任何的公式——的确是复积分——柯西积分公式或者柯西留数定理——的应用。然鹅，只要注意到积分变换是一一对应的，也就是原函数唯一对应其像函数；更重要的是，积分变换本身根本没告诉你，最重要的积分变换对，对拉氏变换而言是指数函数、带t幂的指数函数，这件事源自微分方程的齐次通解——只有单根、重根两种本质的情况。并且拉氏变换最重要的性质也是与微分方程求解有关：线性、微分（积分）、卷积（和平移定理）、初值、终值定理。

因此，学积分变换，要从微分方程特别是线性常系数微分方程解的结构定理开始。

傅里叶变换虽然是拉氏变换的特例，但是傅里叶变换基本变换对却不是指数函数，这里我不想再讲更多了。

拉氏变换的用处不止微分方程，伽马函数、矩母函数、含三角函数的积分，通通可以用拉氏变换搞出来。因此理工科的拉氏变换，怎么强调都不过分。

z变换，如你所料，应该从差分方程开始。

一般理工选手，看一两个视频，再配合一两本参考书，肯定行了。

二、 学积分变换以及复变，一定要看视频，能大幅降低你的压力。大部分都可以在哔哩哔哩搜讲师名字就可以搜到

1. 从微分方程开始的、不讲复变的拉氏变换、傅里叶变换——台湾省林宗志老师两个系列（微分方程、傅里叶分析用于偏微分方程）——全程白板手写，细腻，最适合工科和低年级物理选手，没有之一（虽然内容浅些）；这个看完以后，初步的微分方程、偏微分方程、积分变换基本上都行了。哎，真希望二十年前、哪怕十年前能看到这样的。

2. 萧荫庵（这个B站竟然搜不到，可关注私信），最适合工科考前突击预习；

3. 刘太顺（手写，画质略次），适合数学系初学。

4. 台湾省——国立交通大学吴培元（可关注私信），适合工科物理、课本是大名鼎鼎的j.b.brown，非常友好这本书是我能读懂的第一本复变。

5. 中科院王跃飞等《复分析》，课本是大名鼎鼎的阿尔福斯，这本书极富盛名

三、 单复变初步的、比较友好的、值得读的一些课本

1、 机械工业出版社J.B.Brown的《复变函数及应用》，有中文版。这本书出奇地友好，英文版我第一次读，都毫无压力地看完了。

我只有第七版影印的

2、 机械工业出版社Saff的《复分析基础及工程应用》，有中文版。这本书也非常友好，非常生动，作者之一是理工选手，竟然有一个习题讲到Smith圆图，这个简直了，电专业传输线分析的基本工具。（下图右边是加理工apotstol的，也很独特，与rudin的分析齐名，当作进阶更合适些）

3、 哈工大出版社 普里瓦洛夫《复变函数引论》（可关注私信），前苏联名著，老普还有一大坨复变习题书。前苏联的书普遍严谨细腻，如果只能有一本单复变课本，我就选这个了。

4、 人民邮电出版社Needham著、齐民友译《复分析——可视化方法》。讲了大量的几何、包括非欧几何，可以作为复流形的先导。这本书超级独特，简直绝无仅有，几乎所有定理都是用作图的方式证明——你能想象泰勒级数还能作图？漂亮。——据作者自称——这是牛顿的方法。但是比较墨迹，并不是所有的问题都适合用几何方法的，所以如果有时间可以看。亚马逊上有我的书评，署名是xxxxxxxx

5、 上面1~3选两本，配合王绵森（理工科）或者钟玉泉（数学系）+张元林再加一两本微分方程，就行了。

好像已经第六版了

四、 应用和进阶，有些初学者莫入

1、 应用的拉夫连季耶夫《复变函数论方法》，前苏联名著。这个简直了，流体、传输线、拉氏变换………基本上数学上、工程上的应用不能全有了，但可以说是最全了。

2、 沈燮昌的《复变函数逼近论》，适合数值、优化等。（国内复变名家，沈先生还有《大学基础数学自学丛书》的复变函数论基础）

3、 进阶的

a） Ahlfors《复分析》，见上面视频，不算难了

以下初学者慎入

b） serge lang《complex analysis》，这个还有题解，国内教的内容不到这本书的一半；另外，lang写了好多书，他的《代数》是公认的权威

c） 龚昇《简明复分析》，读过《简明微积分》的选手，不可能不知道龚昇老先生，一如既往的自成一家。

d） 其他还有convey、stein等等很多名著。

e） Rudin的《实分析与复分析》这个简直了，会测度和泛函的选手，看这个简直就是享受。没有符号和概念推理的选手，比如数学系硕士以下，这个就别碰了。

麻省理工的rudin

f） 萧荫堂《多复变函数论》，这个毫无疑问是职业玩家的了，没法解释了。

复变自身进阶大概三个方向：复测度、多复变、复流形；这种水平的肯定要去图书馆了

总结

理工科绝大多数选手，不需要学复变。当然职业玩家除外。重要的是，职业玩家也要有其特定的兴趣。或许少量硕士以上的物理选手、信号处理或控制论选手等等要用点复积分。如果不是你需要的，请在能顺利对付考试的基础上，坚决抵制复分析。

后面打算推荐微分方程、偏微分方程的书

再次感谢阅读，欢迎关注。

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