一元二次方程求根公式是什么？

一元二次方程求根公式： 当Δ=b^2-4ac≥0时，x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/2a 当Δ=b^2-4ac＜0时，x={-b±[(4ac-b^2)^(1/2)]i}/2a(i是虚数单位)。

非实复数α是实系数n次方程f(x)=0的根，则其共轭复数α也是方程f(x)=0的根，且α与α的重数相同，则称α与α是该方程的一对共轭复（虚）根。共轭复根经常出现于一元二次方程中，若用公式法解得根的判别式小于零，则该方程的根为一对共轭复根。

性质一

n次单位根的模为1，即|εk|=1

性质二

两个n次单位根εj与εk 的乘积还是一个n次单位根，且εjεk =εj+k

推论1：εj-1=ε-j

推论2：

εkm=εmk

推论3：

若k除以n的余数为r，则εk=εr

注：它说明εk等价于r=0

先将原方程等号右端的自由项看成 f(x)=x^k · Pm(x) · e^λx 方程①

1、对应题主的情况一，Qm(x)=b0

原方程 y"+y'-2y=2e^x

原方程对应的齐次特征方程 r^2+r-2=0，

齐次特征根 r1=1

r2=-2

然后看到原方程等号右端为 2e^x，

将 2e^x 与 x^k·Pm(x)·e^λx 比较，很明显可以看出λ=1

λ=1=r1，而λ≠r2，可以看到λ为单特征根因为只与其中的一个r1相等

所以k=1，因为单特征根所以k取1。

还记得回答顶部的方程①吗？

方程①变成了 f(x)=x^1 · Pm(x) · e^1x =x · e^x · Pm(x)

发现m还不知道，再将 x·e^x·Pm(x) 与 2e^x 比较，

很明显可以看出Pm(x)=2，所以设Qm(x)=b0，常数对应常数嘛

因为 f(x)=x·e^x·Pm(x) 中的x是根据k取得，跟Pm(x)无关

e^x是根据λ取得，跟Pm(x)也无关。

所以 Pm(x) 只可能与 2e^x 的常数2有关。既然Pm(x)只与常数有关，

那就设Qm(x)为一个常数b0

所以 y=x^k · Pm(x) · e^λx

最后设为 y=b0 · x · e^x

2、对应题主的情况二，Qm(x)=b0x+b1

同理

原方程 y"-3y'+2y=x·e^2x

r1=1，r2=2

比较e^2x与e^λx，所以λ=2

λ=2=r2，所以λ为单特征根，所以k=1

此时原方程等号右端还有一个 x ，就是留下来对比Pm(x)的

所以 Qm(x) 设为 b0x+b1 形式

所以最后y=x^k · Qm(x) · e^λx = x · (b0x+b1) · e^2x

即y= x · (b0x+b1) · e^2x

3、对应题主的情况三，Qm(x)=b0x^2+b1x+b2

原方程 2y"+5y'=5x^2-2x-1

r1=0

r2=-5/2

对比λ=0=r1，所以k取1，

而Pm(x)要去对应5x^2-2x-1，所以Qm(x)设为b0x^2+b1x+b2

所以最后y=x^k · Qm(x) · e^0 = x · (b0x^2+b1x+b2) = b0x^3+b1x^2+b2x

即y = b0x^3+b1x^2+b2x

一元二次方程的求根公式，将一元二次方程ax2+bx+c=0（af0）进行配方，当b2-4ac≥0时的根为x=（-b士V（bb-4ac））/2a，该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法。

一元二次ax^2 +bx+c=0这个公式早在公元9世纪由中亚细亚的阿尔·花拉子模给出。

南宋数学家秦九韶至晚在1247 年就已经发现一元三次方程的求根公式，欧洲人在400 多年后才发现，但在中国的课本上这个公式仍是以那个欧洲人的名字来命名的。 

一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a/0）；由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的；应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式。

一元二次方程的根的判别式：

当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根x=（-b±V（bb-4ac））/2a；

当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=-b/2a；（3）当b2-4ac<0时，方程没有实数根。

一元二次方程的一般形式为：ax^2（2为次数，即X的平方）+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程。

解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法：

1、直接开平方法；

2、配方法；

3、公式法；

4、因式分解法。

扩展资料

解方程：

（1）(3x+1)2=7 

（2）9x2-24x+16=11

分析：

（1）此方程显然用直接开平方法好做，

（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。

示例：

（1）解：(3x+1)2=7×

∴(3x+1)2=5

∴3x+1=±(注意不要丢解)

∴x=

∴原方程的解为x1=,x2=

（2）解： 9x2-24x+16=11

∴(3x-4)2=11

∴3x-4=±

∴x=

∴原方程的解为x1=,x2=