主瓣宽度最大的窗是

主瓣宽度最大的窗是高斯窗。决定主瓣宽度的是窗函数长度，窗函数越长，主瓣宽度越窄，窗函数越短，主瓣宽度越宽。高斯窗是一种指数窗。高斯窗谱无负的旁瓣，第一旁瓣衰减达一55dB。高斯富谱的主瓣较宽，故而频率分辨力低．高斯窗函数常被用来截短一些非周期信号，如指数衰减信号等。

高斯光束的波阵面特征是当它在满足近衍射极限的镜片中发生折射时，高斯光束会变换成另一种不同参数的高斯光束。

1、在光学中，高斯光束（英语：Gaussian beam）是横向电场以及辐照度分布近似满足高斯函数的电磁波光束。

2、许多激光都近似满足高斯光束的条件，在这种情况里，激光在光谐振腔里以TEM00波模（横向基模）传播。

3、当它在满足近衍射极限的镜片中发生折射时，高斯光束会变换成另一种不同参数的高斯光束，因此，高斯光束是激光光学里一种方便、广泛应用的模型。

4、描述高斯光束的数学函数是亥姆霍兹方程的一个近轴近似解（属于小角近似的一种）。这个解具有高斯函数的形式，代表了光束中电场分量的复振幅。

激光束腰和分布：

1、为了获得高斯光束光学的精确原理和限制，有必要理解激光束输出的特性。

2、在TEM（横模和纵模为0）模式下，光是从激光开始辐射，就像一个含有高斯横截发光剖面的完美平面波。

3、高斯形状被激光内部的尺寸或者某种光学序列的限制光圈在某个直径处被截断。为了指定和论述激光光束的传播特性，必须给它的直径下一些定义。

4、普遍被采用的定义是光束发光（最强烈）峰值，轴向或者数值的地方的直径衰减1/e2（135%）。

5、衍射效应使光在传播过程中向横向传播。因此它不可能有一个被精确校准的光束。

光纤传输的波动理论

光纤传输的波动理论的两个出发点

波动方程和电磁场表达式

特征方程和传输模式

光纤传输的波动理论的两个角度

多模渐变型光纤的模式特性

单模光纤的模式特性

1 波动方程和电磁场表达式

设光纤没有损耗，折射率n变化很小，在光纤中传播的是角频率为ω的单色光，电磁场与时间t的关系为exp(jωt)，则标量波动方程为

(218a)

(218b)

式中，E和H分别为电场和磁场在直角坐标中的任一分量， c为光速。选用圆柱坐标(r，φ，z)，使z轴与光纤中心轴线一致， 如图26所示。

将式(218)在圆柱坐标中展开，得到电场的z分量Ez的波动方程为

(219)

磁场分量Hz的方程和式(219)完全相同，不再列出。

解方程(219)，求出Ez 和Hz，再通过麦克斯韦方程组求出其他电磁场分量，就得到任意位置的电场和磁场。

把Ez(r, φ, z)分解为Ez(r)、Ez(φ)和Ez(z)。设光沿光纤轴向(z轴)传输，其传输常数为β，则Ez(z)应为exp(-jβz)。

由于光纤的圆对称性，Ez(φ)应为方位角φ的周期函数， 设为exp( jvφ)，v为整数。

现在Ez(r)为未知函数，利用这些表达式， 电场z分量可以写成

(220)

把式(220)代入式(219)得到

(221)

式中，k=2π/λ=2πf /c=ω/c，λ和f为光的波长和频率。 这样就把分析光纤中的电磁场分布，归结为求解贝塞尔(�Bessel)方程(221)。

设纤芯(0≤r≤a)折射率n(r)=n1，包层(r≥a)折射率n(r)=n2，实际上突变型多模光纤和常规单模光纤都满足这个条件。

为求解方程(221)，引入无量纲参数u, w和V。

(222)

利用这些参数， 把式(221)分解为两个贝塞尔微分方程：

(223a)

(223b)

因为光能量要在纤芯(0≤r≤a)中传输， 在r=0处，电磁场应为有限实数；在包层(r≥a)，光能量沿径向r迅速衰减，当r→∞时， 电磁场应消逝为零。

根据这些特点，式(223a)的解应取v阶贝塞尔函数Jv(ur/a)，而式(223b)的解则应取v阶修正的贝塞尔函数Kv(wr/a)。

因此，在纤芯和包层的电场Ez(r, φ, z)和磁场Hz(r, φ, z)表达式为

(224a)

(224b)

(224c)

(224d)

式中，脚标1和2分别表示纤芯和包层的电磁场分量，A和B为待定常数，由激励条件确定。Jv(u)和Kv(w)如图27所示，Jv(u)类似振幅衰减的正弦曲线，Kv(w)类似衰减的指数曲线。

式(224)表明，光纤传输模式的电磁场分布和性质取决于特征参数u、w和β的值。

u和w决定纤芯和包层横向(r)电磁场的分布，称为横向传输常数；β决定纵向(z)电磁场分布和传输性质，所以称为纵向传输常数。

2 特征方程和传输模式

由式(224)确定光纤传输模式的电磁场分布和传输性质， 必须求得u, w和β的值。

由式(222)看到，在光纤基本参数n1、n2、a和k已知的条件下， u和w只和β有关。利用边界条件，导出β满足的特征方程， 就可以求得β和u、w的值。

由式(224)确定电磁场的纵向分量Ez和Hz后，就可以通过麦克斯韦方程组导出电磁场横向分量Er、Hr和Eφ、Hφ的表达式。

因为电磁场强度的切向分量在纤芯包层交界面连续，在r=a处应该有

(225)

由式(224)可知，Ez和Hz已自动满足边界条件的要求。

由Eφ和Hφ的边界条件导出β满足的特征方程为

(226)

这是一个超越方程，由这个方程和式(222)定义的特征参数V联立，就可求得β值。

但数值计算十分复杂，其结果示于图28。 图中纵坐标的传输常数β取值范围为

(227)

相当于归一化传输常数b的取值范围为0≤b≤1，

(228)

横坐标的V称为归一化频率， 根据式(222)

(229)

图中每一条曲线表示一个传输模式的β随V的变化， 所以方程(226)又称为色散方程。

两种重要的模式特性

模式截止: 电磁场介于传输模式和辐射模式的临界状态， 这个状态称为模式截止

模式远离截止: 当V→∞时， w增加很快，当w→∞时，u只能增加到一个有限值，这个状态称为模式远离截止

模式截止 由修正的贝塞尔函数的性质可知，若要求在包层电磁场消逝为零，必要条件是w>0。

如果w<0， 电磁场将在包层振荡， 传输模式将转换为辐射模式，使能量从包层辐射出去。

w=0(β=n2k)介于传输模式和辐射模式的临界状态， 这个状态称为模式截止。

其u、 w和β值记为uc、wc和βc，此时V=Vc=uc。

对于每个确定的v值，可以从特征方程(226)求出一系列uc值，每个uc值对应一定的模式，决定其β值和电磁场分布。

当v=0时，电磁场可分为两类。一类只有Ez、Er和Hφ分量，Hz=Hr=0，Eφ=0， 这类在传输方向无磁场的模式称为横磁模(波)，记为TM0μ。

另一类只有Hz、Hr和Eφ分量，Ez=Er=0，Hφ=0，这类在传输方向无电场的模式称为横电模(波)，记为TE0μ。

当v≠0时，电磁场六个分量都存在，这些模式称为混合模(波)。

混合模也有两类， 一类Ezvμ，另一类Hzvμ。下标v和μ都是整数。

第一个下标v是贝塞尔函数的阶数，称为方位角模数，它表示在纤芯沿方位角φ绕一圈电场变化的周期数。

第二个下标μ是贝塞尔函数的根按从小到大排列的序数， 称为径向模数，它表示从纤芯中心(r=0)到纤芯与包层交界面(r=a)电场变化的半周期数。

模式远离截止 当V→∞时， w增加很快，当w→∞时，u只能增加到一个有限值，这个状态称为模式远离截止，其u值记为u∞。

波动方程和特征方程的精确求解都非常繁杂，一般要进行简化。

大多数通信光纤的纤芯与包层相对折射率差Δ都很小(例如Δ<001)，因此有n1≈n2≈n和β=nk的近似条件。这种光纤称为弱导光纤，对于弱导光纤β满足的本征方程可以简化为

(230)

由此得到的混合模HEv+1μ和EHv-1μ(例如HE31和EH11)传输常数β相近，电磁场可以线性叠加。

用直角坐标代替圆柱坐标，使电磁场由六个分量简化为四个分量，得到Ey、 Hx、 Ez、 Hz或与之正交的Ex、Hy、Ez、Hz。这些模式称为线性偏振(Linearly Polarized)模，并记为LPvμ。

LP0μ即HE1μ，LP1μ由HE2μ和TE0μ、TM0μ组成，包含4重简并， LPvμ(v>1)由HEv+1μ和EHv-1μ组成，包含4重简并。

若干低阶LPvμ模简化的本征方程和相应的模式截止值uc�和远离截止值u∞列于表21，这些低阶模式和相应的V值范围列于表22，图29示出四个低阶模式的电磁场矢量结构图。

3 多模渐变型光纤的模式特性

传输常数 多模渐变型光纤传输常数的普遍公式为

(231)

式中， n1、Δ、 g和k前面已经定义了，M是模式总数， m(β)是传输常数大于β的模式数。

经计算

(232a)

(232b)

由式(232)看到：

对于突变型光纤，g→∞，M=V2/2；

对于平方律渐变型光纤，g=2，M=V2/4。

根据计算分析，在渐变型光纤中， 凡是径向模数μ和方位角模数v的组合满足

q=2μ+v (233)

的模式，都具有相同的传输常数，这些简并模式称为模式群。

q称为主模数，表示模式群的阶数，第q个模式群有2q个模式， 把各模式群的简并度加起来，就得到模式数m(β)=q2。

模式总数M=Q2，Q称为最大主模数，表示模式群总数。用q和Q代替m(β)和M，从式(231)得到第q个模式群的传输常数

(234)

光强分布 多模渐变型光纤端面的光强分布(又称为近场)P(r)主要由折射率分布n(r)决定，

(235)

式中P(0)为纤芯中心(r=0)的光强，C为修正因子。

用对LP01模给出最佳注入效率的高斯场分布时，归一化模场半径w0/a和注入效率ρ与归一化波长λ/λc或归一化频率V的函数关系

双折射和偏振保持光纤

实际光纤难以避免的形状不完善或应力不均匀，必定造成折射率分布各向异性，使两个偏振模具有不同的传输常数(βx≠βy)。

在传输过程要引起偏振态的变化， 我们把两个偏振模传输常数的差(βx-βy)定义为双折射Δβ， 通常用归一化双折射B来表示，

(239)

式中，(βx+βy) / 2为两个传输常数的平均值。

两个正交偏振模的相位差达到2π的光纤长度定义为拍长Lb

(240)

双折射————偏振色散————限制系统的传输容量。

合理的解决办法是通过光纤设计，引入强双折射，把B值增加到足以使偏振态保持不变，或只保存一个偏振模式，实现单模单偏振传输。

强双折射光纤和单模单偏振光纤为偏振保持光纤。

渐变光纤中光线的传播—动画演示

两个不独立的一维正态分布(不符合联合二维正态分布)的线性组合不一定服从一维正态分布。

如果对于任意的 a,b都有aX+bY符合一元正态分布，则X，Y必定符合二维正态分布。所以只能说可能存在某些a,b让aX+bY符合一元正态分布。

正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由棣莫弗（Abraham de Moivre）在求二项分布的渐近公式中得到。CF高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。

PS拉普拉斯和高斯研究了它的性质。是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。

正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。

若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ2的正态分布，记为N(μ，σ2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。

冯强强1，2　温明明1，2　吴衡1，2

（1广州海洋地质调查局 广州 510760；2国土资源部海底矿产资源重点实验室 广州 510760）

第一作者简介：冯强强（1987—），男，硕士，助理工程师，现在从事海上地球物理探测方法的研究工作。

摘要 本文选取了两条不同的单道地震接收电缆（AAE接收电缆、GEO接收电缆）在野外采集到的原始数据，并利用快速傅立叶变换（FFT）以及S变换等方法，从数据本身、频率域、时频域方面进行了对比分析。结果表明接收段较短、且内部检波器组合更紧致的AAE电缆具有较高的浅层分辨率，更适合于浅水作业，而接收段较长，检波器较多，检波器间距稍大的GEO电缆可以采集到高信噪比的资料，更适合于深水作业。

关键词 单道地震 S 变换 时频域 检波器

1 引言

单道地震是解决海上工程地质问题以及海洋区域地质调查的一种重要手段［1，2］，相对于使用全波形反射的多道地震调查，单道地震对震源和检波器的偏移距离相对于水深和对反射倾角的要求很小，另外，由于其施工方法简单、配置灵活，处理简单、便于解释、正被广泛应用于全球的海洋地球物理调查中，如海域陆架区域地球物理勘查［3，4］，另外在新能源-天然气水合物的勘探［5，6］中也得到了应用。

单道地震接收电缆的好坏对于高质量的单道地震数据的采集有着重要的影响［7］，常见的接收电缆通常采用多个检波器组合的形式获取单道信号，因此检波器的灵敏度以及其组合方式等都会影响到采集数据的质量。另外，作业环境对于单道地震数据的采集也有着重要的影响［8］。

2 单道地震电缆设备以及数据比较分析

21 单道地震接收电缆性能比较

单道地震电缆内部的检波器通常是由压电材料制造，利用压电效应［9］将地震波引起的水压变化转变成电信号，然后通过电缆或者光缆等介质传输到船上的记录系统进行显示和存储。早期的海上地震勘探通常使用悬浮在固定或者缓慢漂流船只上的单个检波器来进行采集［10］。后来发展到特定排列方式组成的阵列拖缆拖在船尾，检波器被集成安置在充满油的柔韧塑料管中，保持与海水相适应的波阻抗，保证检波器与水的紧耦合。这一段包含检波器的塑料管就是本文所指的信号接收段，这种装置形式被设计成流线型来减小机器震动和水流引起的噪声。

本文所比较的两个电缆，一条是 Applied Acoustics Engineering公司生产的AAE20型单道接收电缆（以下简称为AAE电缆，图1左），其由20个检波器单元组成，间距015m，检波器段长度45m，其频率响应为145～7KHz（-3dB），总的灵敏度为-167 dB ref 1 v per。另外一条是Geo Marine Survey Systems公司生产的48检波器单元的Geo⁃Sense Mini⁃Streamers接收电缆（以下简称为GEO电缆，图1右），检波器间距04m，接收部分总长约20m，其检波器型号为AQ-2000，性能参数如下：灵敏度（@100Hz）为-201dB ref 1v per+/-15dB，频率响应为1Hz到10KHz（+/-2dB）。

图1 两种电缆实际形态（左边蓝色为AAE型电缆，右边红色为GEO型电缆）

Fig1 The samples oftwo cables（AAE Cable on the left，GEO Cable on the right）

22 数据采集及比较分析

本次野外数据采集作业水域水深在250m左右，统一采用GEO-6 KJ电火花震源系统作为激发源，选取合适且大小相同的激发能量，同时为了避免船尾螺旋桨引起的尾流以及环境噪声［11］对数据产生影响，采用如下装置参数：接收电缆释放长度选择为45m，炮检距（接收电缆与震源缆之间的距离）约为10m。另外，采集参数如下：采样频率（Sample frequency）4000Hz，延时（Delay）300ms，记录长度（Record Length）500ms，因此每道数据有2000个采样点

本文从野外实测数据中选取了一组进行比较，该组测线分别由上述两种不同的电缆进行数据采集，间距约300m，地质情况类似，且作业时测线方向一致，海况及作业环境相差不大，因此具有较强的可比性。

图2和图3分别显示GEO电缆和AAE电缆的原始实测数据，从图中可以看出两条电缆都有良好的穿透能力以及地层分辨能力，所采数据也都能满足常规单道地震数据的采集规范。

由于作业区域水相对较浅，AAE电缆检波器接收段较短且接收段内检波器之间距离较小，因此从图3的地震剖面可以看出该电缆接收到的数据在浅部有较高的分辨率。相比之下，GEO电缆检波器多且间距较大，其地震剖面信噪比高，尤其深部地层反射信号更加清晰。

图2 GEO电缆采集到的数据

Fig2 Data collected by GEO Cable

图3 AAE电缆采集到的数据

Fig3 Data collected by AAE Cable

图4和图5为从上述剖面中各抽取的一道数据，由于前置放大器设置不同造成两条电缆信号回波强度不一致，并不影响数据的信噪比及分辨率。

图4 GEO电缆抽取一道数据

Fig4 One channel extraction of GEO Cable

图5 AAE电缆抽取一道数据

Fig5 One channel extraction of AAE Cable

另外，分别对所抽取数据进行快速傅立叶变换（FFT），观测其频率域特征，图6和图7分别为上述两道数据的振幅谱，可以看到两条电缆能量主要集中在0-1000Hz之间，但是单从频率域并不能对两条电缆的分辨率、穿透能力以及信噪比等参数进行直观分析。

图6 GEO抽取数据的振幅谱

Fig6 The amplitude spectrogram of data extraction by GEO Cable

图7 AAE电缆抽取数据的振幅谱

Fig7 The amplitude spectrogram of data extraction by AAE Cable

因此，本文引入了S变换对所抽取数据进行了分析。传统的傅立叶变换虽然能对信号的整体性质进行分析，但却难获得信号的一些瞬时信息，特别是对于非平稳信号，而这些局部性质却是分析这些非平稳信号的关键。时频分析技术可以同时从时间域和频率域分析信号的局部特征，因此在傅立叶分析的基础上，发展了一系列的时频域信号分析论，如短时窗傅立叶变换、小波变换等。

S变换是由Stockwell（1996）等提出的，是连续小波变换的一种扩展，它的原理是基于一个高度和宽度随频率变化的高斯窗。函数的S变换定义如下：

南海地质研究（2014）

其中t表示时间，f表示频率，τ是一个控制高斯窗函数 在时间轴上位置的一个参数，e-2πft是一个相位因子，起到相位校正作用，这是较小波变换的一个优点［13］。另外，其离散形式可以利用快速傅立叶变换FFT的结果来计算，因此计算效率比较高。信号h（t）的离散形式h［kT］，k=0，1，…，N-1（T为采样间隔）的离散傅立叶变换表示如下：

南海地质研究（2014）

其中n=0，1…，N-1，则h（kT）的离散S变换可表示为：

南海地质研究（2014）

其中：j、m、n=0，1…，N-1。

图8和图9分别为GEO电缆和AAE电缆所抽取数据的S变换显示，从中可以看出两条电缆都能够采集到有效的地层反射信号，海底以及近海底地层反射信号最强，深部地层的反射信号也明显被记录到。另外，前述的AAE电缆浅层分辨率高，GEO电缆信噪比高也在图上有直观的反映。

3 结论及分析

本文采集了两条不同的单道地震接收电缆的数据，通过观察其剖面、频率域特征、时频域等特征，对上述两条电缆的特性、适用范围等进行了分析比较。

图8 GEO电缆抽取数据的S变换域显示

Fig8 The sample of S⁃transform domain of data extraction by GEO Cable

图9 AAE电缆抽取数据的S变换域显示

Fig9 The sample of S⁃transform domain of data extraction by AAE Cable

AAE电缆其检波器接收部分是由20个检波器组合形成，可以有效的压制环境噪声［14］。此外，由于其检波器间距只有015m，因此整个接收段部分长度仅为45m，相对较短，这种装置形式对于浅水区有明显的优势，在满足质量要求的前提下具有更高的分辨率。而本文所使用的GEO电缆其接收段较长，且检波器组合达到48个，除了达到压制噪声的目的外还可以有效采集到来自深水区以及深部地层的反射波，避免丢失回声数据，另外其具有较宽的频率响应以及良好的灵敏度，使其能采集到高信噪比的资料。

检波器组合具有低频响应［7］，因此会对高分辨率数据采集有一定影响，但是检波器组合又是高信噪比数据采集必不可少的，因此在野外作业时要根据作业环境、接收条件、工作目的等选择合适的接收电缆。

致谢

感谢参与数据采集的全体成员，中国地震局地球物理研究所吴庆举研究员提供了本文的S变换程序，温明明高工、吴衡高工、牟泽霖、林桂柱在本文的资料分析中给予悉心指导！

参考文献

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［14］陆基孟1993地震勘探原理（上、下册）［M］北京：石油大学出版社

Comparison Between Two Different Single-Channel Seismic Streamers

Feng Qiang Qiang1，2，Wen Ming Ming1，2，Wu Heng1，2

（1Guangzhou Marine Geological Survey，Guangzhou，510760；2Key laboratory of Marine Mineral Reasources，MLR，Guangzhou，510760）

Abstract：In this paper we collect the raw data from two different singlechannel reflection seismic streamers（AAE streamers and GEO streamers）and analyze those data comparatively from frequency domain and time-frequency domain by using fast Fourier transform（FFT）and StransformThe result shows that AAE streamers which have shorter receiving section and compact geophones can get higher shallow resolution and therefore are more suitable for shallow waterWhile GEO streamers are more suitable for deep water because of its longer receiving section，more geophones，and the ability to acquire high signal⁃to⁃noise ratio data with longer span between geophones

Key word：Single⁃channel reflection seismic；S⁃transform；Time⁃frequency domain；Geophone

e，作为数学常数，是自然对数函数的底数。有时称它为欧拉数（Euler number），以瑞士数学家欧拉命名；也有个较鲜见的名字纳皮尔常数，以纪念苏格兰数学家约翰•纳皮尔引进对数。它就像圆周率π和虚数单位i，e是数学中最重要的常数之一。

它的数值约是（小数点后100位）：e ≈ 271828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274

第一次提到常数e，是约翰•纳皮尔于1618年出版的对数著作附录中的一张表。但它没有记录这常数，只有由它为底计算出的一张自然对数列表，通常认为是由威廉•奥特雷德(William Oughtred)制作。第一次把e看为常数的是雅各•伯努利(Jacob Bernoulli)

已知的第一次用到常数e，是莱布尼茨于1690年和1691年给惠更斯的通信，以b表示。1727年欧拉开始用e来表示这常数；而e第一次在出版物用到，是1736年欧拉的《力学》(Mechanica)。虽然以后也有研究者用字母c表示，但e较常用，终于成为标准。

用e表示的确实原因不明，但可能因为e是“指数”(exponential)一字的首字母。另一看法则称a，b，c和d有其他经常用途，而e是第一个可用字母。不过，欧拉选这个字母的原因，不太可能是因为这是他自己名字Euler的首字母，因为他是个很谦虚的人，总是恰当地肯定他人的工作。

很多增长或衰减过程都可以用指数函数模拟。指数函数的重要方面在于它是唯一的函数与其导数相等（乘以常数）。e是无理数和超越数（见林德曼—魏尔施特拉斯定理(Lindemann-Weierstrass)）。这是第一个获证为超越数，而非故意构造的（比较刘维尔数）；由夏尔•埃尔米特(Charles Hermite)于1873年证明。

当x趋于正无穷大或负无穷大时，“1加x分之一的x次方”这个函数表达式（1+1/x）^x的极限就等于e，用公式表示，即：

lim（1+1/x）^x＝e （x趋于±∞）

实际上e就是欧拉通过这个极限而发现的，它是个无限不循环小数，其值等于271828……。以e为底的对数叫做自然对数，用符号“ln”表示。

以e为底的对数（自然对数）和指数，从数学角度揭示了自然界的许多客观规律，比如指数函数“e的x次方”对x的微分和积分都仍然是函数本身。后人把这个规律叫做“自然律”，其中e是自然律的精髓。因此，上述求极限e的公式被英国科学期刊《物理世界》2004年10月号公布为读者选出的科学界历来“最伟大的公式”之一，并且名列第二。

欧拉（Leonhard Euler 公元1707－1783年） 1707年出生在瑞士的巴塞尔（Basel）城，13岁就进巴塞尔大学读书，得到当时最有名的数学家约翰•伯努利（Johann Bernoulli，1667－1748年）的精心指导。

欧拉渊博的知识，无穷无尽的创作精力和空前丰富的著作，都是令人惊叹不已的！他从19岁开始发表论文，直到76岁，半个多世纪写下了浩如烟海的书籍和论文。到如今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字，从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几何的欧拉变换公式，四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数，微分方程的欧拉方程，级数论的欧拉常数，变分学的欧拉方程，复变函数的欧拉公式等等，数也数不清。他对数学分析的贡献更独具匠心，《无穷小分析引论》一书便是他划时代的代表作，当时数学家们称他为“分析学的化身”。

欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，称为数学界的莎士比亚。据统计他那不倦的一生，共写下了886部书籍和论文，其中分析、代数、数论占40%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学占11%，d道学、航海学、建筑学等占3%。彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了47年！数学史上称18世纪为“欧拉时代”。

欧拉还创设了许多数学符号，例如函数f（x）（1734年），π（1736年），log和 e（1748年），sin和cos（1748年），tg（1753年），△x（1755年），∑（1755年），虚数i（1777年）等等。

欧拉著作的惊人多产并不是偶然的，他可以在任何不良的环境中工作，他常常抱着孩子在膝上完成论文，也不顾13个孩子在旁边喧哗。他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，使他在59岁双目失明后的17年间，他还口述了几本书和400篇左右的论文。

19世纪伟大数学家高斯（Gauss，1777-1855年）曾说：“研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法。”欧拉的父亲保罗•欧拉（Paul Euler）也是一个数学家，原希望小欧拉学神学，同时教他一点教学。由于小欧拉的才华和异常勤奋的精神，又受到约翰•伯努利的赏识和特殊指导，当他在19岁时写了一篇关于船桅的论文，获得巴黎科学院的奖的奖金后，他的父亲就不再反对他攻读数学了。

1725年约翰•伯努利的儿子丹尼尔•伯努利赴俄国，并向沙皇喀德林一世推荐了欧拉，这样，在1727年5月17日欧拉来到了彼得堡。1733年，年仅26岁的欧拉担任了彼得堡科学院数学教授。

1735年，欧拉解决了一个天文学的难题（计算慧星轨道），这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决，而欧拉却用自己发明的方法，三天便完成了。然而过度的工作使他得了眼病，并且不幸右眼失明了，这时他才28岁。

1741年欧拉应普鲁士彼德烈大帝的邀请，到柏林担任科学院物理数学所所长，直到1766年，后来在沙皇喀德林二世的诚恳敦聘下重回彼得堡，不料没有多久，左眼视力急剧衰退，最后也完全失明。

不幸的事情接踵而来。1771年彼得堡的大火灾殃及欧拉住宅，带病且双目失明的64岁的欧拉，被围困在大火中。虽然他被别人从火海中救了出来，但他的书房和大量研究成果全部化为灰烬了。

沉重的打击，仍然没有使欧拉倒下，他发誓要把损失夺回来。欧拉完全失明以后，仍然以惊人的毅力与黑暗搏斗，凭着记忆和心算进行研究，直到逝世，竟达17年之久。欧拉的记忆力和心算能力是罕见的，他能够复述年青时代笔记的内容，心算并不限于简单的运算，高等数学一样可以用心算去完成。欧拉在失明的17年中，还解决了使牛顿头痛的月离问题和很多复杂的分析问题。

欧拉的风格是很高的，拉格朗日是稍后于欧拉的大数学家，从19岁起和欧拉通信，讨论等周问题的一般解法，这引起变分法的诞生．等周问题是欧拉多年来苦心考虑的问题，拉格朗日的解法，博得欧拉的热烈赞扬，1759年10月2日欧拉在回信中盛称拉格朗日的成就，并谦虚地压下自己在这方面较不成熟的作品暂不发表，使年青的拉格朗日的工作得以发表和流传，并赢得巨大的声誉。他晚年的时候，欧洲所有的数学家都把他当作老师，著名数学家拉普拉斯（Laplace）曾说过：“欧拉是我们的导师。”

欧拉充沛的精力保持到最后一刻，1783年9月18日下午，欧拉为了庆祝他计算气球上升定律的成功，请朋友们吃饭，那时天王星刚发现不久，欧拉写出了计算天王星轨道的要领，还和他的孙子逗笑，喝完茶后，突然疾病发作，烟斗从手中落下，口里喃喃地说：“我死了”，欧拉终于“停止了生命和计算”。

欧拉的一生，是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出的智慧，顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远是值得我们学习的。

欧拉一生谦逊，从没有用自己的名字给他发现的东西命名。只有那个大约等于271828的自然对数的底，被他命名为e。但因他对数学广泛的贡献，因此在许多数学分支中，反而经常见到后人以他的名字命名的重要常数、公式和定理。

相对于π是希腊文字中圆周第一个字母，e的由来较不为人熟知。有人甚至认为：欧拉取自己名字的第一个字母e作为自然对数的底。

其实欧拉选择e的理由，较为多数人所接受的说法有二：一为在a，b，c，d等四个常被使用的字母后面，第一个尚未被经常使用的字母就是e，所以，他很自然地选了这个符号，代表自然对数的底数；另一说法为e是“指数”一词英文的第一个字母，虽然你或许会怀疑瑞士人欧拉的母语不是英文，可事实上法文、德文的“指数”都是它。究竟e的来历是什么？至今仍然是个谜。

数学是任何当代科学学科的基石。现代数据科学的几乎所有技术，包括机器学习，都有深厚的数学基础。

毫无疑问，想要成为一个顶级的数据科学家，需要在各个方面都具有优势如编程能力、一定的商业智慧、以及独特的分析能力等。但了解“引擎盖下的机械原理”总是有好处的。对算法背后的数学机制有一个深入的理解，将使你在同行中具有优势。

对于从其他行业（硬件工程、零售、化学加工工业、医药和卫生保健、商业管理等）进入数据科学领域的新人来说，这一基本数学知识尤为重要。虽然这类领域可能需要电子表格、数值计算和投影方面的经验，但数据科学所需的数学技能可能有很大的不同。

考虑web开发人员或业务分析人员。他们可能每天都要处理大量的数据和信息。数据科学应该是关于科学而不是数据。遵循这一思路，某些工具和技术就变得不可或缺。

通过探测底层动态来建模一个过程

形成假设

严格评估数据源的质量

量化数据和预测的不确定性

从信息流中识别隐藏的模式

理解模型的局限性

理解数学证明及其背后的抽象逻辑

数据科学，就其本质而言，并不局限于某一特定的学科领域，它可以处理各种各样的现象，如癌症诊断和社会行为分析。这就产生了令人眼花缭乱的n维数学对象数组、统计分布、优化目标函数等的可能性。

函数、变量、方程和图形

这一领域的数学涵盖了基础，从方程的二项式定理和一切之间：

对数，指数，多项式函数，有理数

基本几何和定理，三角恒等式

实数和复数，基本性质

系列、金额、不平等

作图和绘图，笛卡尔坐标和极坐标，圆锥截面

可能用到的地方

如果您想了解在对百万条目的数据库进行排序之后，搜索是如何更快地运行的，那么您将会遇到“二分查找”的概念。要理解它的机制，你需要理解对数和递归方程。或者，如果你想分析一个时间序列，你可能会遇到“周期函数”和“指数衰减”这样的概念。

统计数据

掌握统计和概率的基本概念的重要性怎么强调都不过分。该领域的许多实践者实际上认为经典（非神经网络）机器学习只不过是统计学习。有重点的规划对于涵盖最基本的概念至关重要：

数据汇总和描述性统计，集中趋势，方差，协方差，相关性

基本概率：期望，概率微积分，贝叶斯定理，条件概率

概率分布函数：均匀、正态、二项式、卡方、中心极限定理

采样，测量，误差，随机数生成

假设检验，A/B检验，置信区间，p值

方差分析、t检验

线性回归，正规化

如果你已经掌握了这些概念，你将很快给人留下深刻印象。作为一名数据科学家，你几乎每天都会用到它们。

线性代数

这是数学的一个基本分支，用来理解机器学习算法如何在数据流上工作。从QQ上的好友推荐，到酷狗上的歌曲推荐，再到用深度转移学习将你的自拍照转换成萨尔瓦多·达利式的肖像，所有这些都涉及到矩阵和矩阵代数。以下是需要学习的基本数学：

矩阵和向量的基本性质：标量乘法，线性变换，转置，共轭，秩，行列式

内积和外积，矩阵乘法规则和各种算法，矩阵逆

特殊矩阵：方阵，单位矩阵，三角矩阵，单位向量，对称矩阵，厄米矩阵，斜厄米矩阵和酉矩阵

矩阵分解概念/LU分解，高斯/高斯-约当消去，解Ax=b线性方程组的方程

向量空间，基底，空间，正交性，正交性，线性最小二乘法

特征值，特征向量，对角化，奇异值分解

如果你用过降维技术（主成分分析），那么你可能已经使用奇异值分解以更少的参数实现了数据集的紧凑维数表示。所有的神经网络算法都使用线性代数技术来表示和处理网络结构和学习 *** 作。

微积分

不管你在大学里喜欢还是讨厌它，微积分在数据科学和机器学习中都有很多应用。这是一项极有价值的技能：

函数的单变量、极限、连续性、可微性

中值定理，不定式，洛必达法则

最大值和最小值

乘积与链式法则

泰勒级数，无穷级数求和/积分的概念

积分学的基本定理和中值定理，定积分和反常积分的计算

函数

多元函数，极限，连续性，偏导数

常微分方程和偏微分方程基础

想知道逻辑回归算法是如何实现的吗？它很有可能使用一种叫做“梯度下降”的方法来寻找最小损失函数。要理解它是如何工作的，您需要使用微积分的概念：梯度、导数、极限和链式法则。

离散数学

这一领域在数据科学中并不常见，但所有现代数据科学都是在计算系统的帮助下完成的，而离散数学是这些系统的核心。

集合，子集

计数函数，组合学，可数性

基本的证明技巧:归纳法、反证法

归纳、演绎和命题逻辑的基础

基本数据结构：堆栈、队列、图形、数组、哈希表、树

图的性质：连接的组成部分，程度，最大流量/最小切割的概念，图着色

递推关系与方程

在任何社会网络分析中，你需要知道一个图的属性和快速算法来搜索和遍历网络。在任何算法的选择中，你都需要理解时间和空间的复杂性。

优化和运营研究课题

这些主题在理论计算机科学、控制理论或 *** 作研究等专业领域最为相关。但是对这些强大技术的理解也可以在机器学习的实践中取得丰硕的成果。实际上，每一种机器学习算法的目标都是使受各种约束的某种估计误差最小化，这是一个优化问题。以下是需要学习的数学：

优化的基础，如何制定问题

极大值，极小值，凸函数，全局解

线性规划，单纯形算法

整数规划

约束规划，背包问题

使用最小二乘损失函数的简单线性回归问题通常有精确的解析解，但是逻辑回归问题没有。要理解其中的原因，您需要熟悉优化中的“凸性”概念。这一系列的研究也将阐明为什么我们必须对大多数机器学习问题的“近似”解决方案保持满意。

虽然有很多东西要学习，网上有很好的资源。在复习这些主题和学习新概念之后，你将有能力在日常数据分析和机器学习项目中听到隐藏的“音乐”。这是成为一个了不起的数据科学家的巨大飞跃。

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