卡方分布的特征函数怎么推导?

在求两个或多个随机变量和的分布时，需要用到卷积公式如果要求n个相互独立的随机变量和的分布时，就要算n-1次卷积,这是一件很麻烦的事情。由于在各个领域都经常需要用到多个随机变量和的分布，因此找到一种快速有效的方法是非常重要的。

幸运的是，经过人类不断地探索和研究,终于发现特征函数。这个有力的工具,可以高效地获得多个独立随机变量和的分布。应用特征函数来获得多个相互独立的卡方分布随机变量和的概率密度函数，以及概率密度函数的近似表达式

关于函数：

在概率论中，特征函数的益处体现在：任意分布与它的特征函数一一对应；两个独立随机变量之和的特征函数就是它们二者特征函数的积；特征函数在零点附近收敛 == 分布函数弱收敛(Levi continuous theroem)。

比如f(xy)=f(x)+f(y)没有给出具体的函数表达形式，只是给出了相应的函数性质，是一个抽象函数。而满足该性质的一个具体函数被称为特征函数，比如 f(x)=ln(x)

就是它的一个特征函数，观察函数性质可知该特征函数集合是对数函数。

以上内容参考   函数

C(u)=E(juX)=1/√(2π)∫{-∞,+∞}e^(jux-x²/2)dx，直接积分较困难

由于d[e^(jux-x²/2)]/dx=(ju-x)e^(jux-x²/2)，因此先考察下列积分：

1/√(2π)∫{-∞,+∞}(ju-x)e^(jux-x²/2)dx

=1/√(2π)∫{-∞,+∞}e^(jux-x²/2)d[e^(jux-x²/2)]

=1/√(2π)e^(jux-x²/2)|{-∞,+∞}

=1/√(2π)[cos(ux)/e^(x²/2)+jsin(ux)/e^(x²/2)]| {-∞,+∞}

=0 ①

①式为零是因为有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量

而1/√(2π)∫{-∞,+∞}jue^(jux-x²/2)dx

= ju1/√(2π)∫{-∞,+∞}e^(jux-x²/2)dx

= juC(u) ②

注意到C(u)对u求导得

C’(u) =1/√(2π)∫{-∞,+∞} jxe^(jux-x²/2)dx，

故1/√(2π)∫{-∞,+∞}xe^(jux-x²/2)dx

=(-j)1/√(2π)∫{-∞,+∞} jxe^(jux-x²/2)dx

=(-j)C’(u) ③

由①②③式得

juC(u)+jC’(u)=0，即

C’(u)+uC(u)=0 ④

将微分方程④分离变量d[C(u)]/C(u)=-udu

两边积分lnC(u)=-1/2u²+lnC

整理得C(u)=Ce^(-1/2u²)

将初始条件C(0)=1代入上式得，C=1

故C(u)=e^(-1/2u²)

    设随机变量X取非负整数值，对应的分布列为P(X=k)=pk,k=0,1,2；则称 为X的母函数。   

    易知， 时，上述级数一致收敛且绝对收敛。

    ①    唯一性：母函数与分布函数相互决定。

    ②    数字特征：利用母函数可以求得数字特征。

    设随机变量X的分布函数为 ,则称

     为X的特征函数。

    ①    

    ②    特征函数在定义域上一直连续

    ③    特征函数非负

    ④    随机变量之和的特征函数，为各自特征函数之积（避免卷积）

    ⑤    设随机变量X的n阶矩存在，则特征函数可以微分n次，且

    ⑥    唯一性，特征函数与分布函数一一对应

特征函数和分布函数是一一对应的，用分布函数求卷积会很麻烦，用特征函数求就会简单一点，而且在求独立随机变量的和的分布的时候，用特征函数也要容易一些。

特征函数：在概率论中，任何随机变量的特征函数(缩写：chf,复数形式：chf's)完全定义了它的概率分布。在实直线上，它由以下公式给出，其中X是任何具有该分布的随机变量：其中t是一个实数，i是虚数单位，E表示期望值。用矩母函数MX（t）来表示（如果它存在），特征函数就是iX的矩母函数，或X在虚数轴上求得的矩母函数。与矩母函数不同，特征函数总是存在。特征函数具有以下基本性质：

如果两个随机变量和具有相同的特征函数，那么它们具有相同的概率分布； 反之， 如果两个随机变量具有相同的概率分布， 它们的特征函数也相同(显然)。

独立随机变量和的特征函数等于每个随机变量特征函数的乘积。

在求两个或多个随机变量和的分布时,需要用到卷积公式如果要求个相互独立的随机变量和的分布时,就要算次卷积,这是一件比较麻烦的事情经过不断地探索和研究,终于发现特征函数这个工具,它在解决个独立随机变量和的分布时,显得锐利有力

设是一个随机变量,称是的特征函数

对任意的总有,所以总是存在的

也就是说,对于任一随机变量,它的特征函数一定存在

1对于离散型随机变量,它的特征函数

2对于连续型随机变量,它的特征函数