F(x)是随机变量x分布函数,且严格单调，则Y=aF(x)+b的特征函数

从“F(x)是随机变量x分布函数,且严格单调”，推出X为连续型随机变量，否则不会严格单调。

先证明Z=F(X)~U(0,1) (U是均匀分布)。

Z=F(X)∈[0,1]

P(Z<=z)=P(F(X)<=z)=P(X<=F-1(z)) (“F-1”中“-1”是上角标)=P(X<=F-1(z))=F(F-1(z)))=z

Z=F(X)∈[0,1],P(Z<=z)=z,推出Z=F(X)~U(0,1)

Y=aF(x)+b~U(b,a+b)。

然后按照特征函数的公式就可以计算了。

参考：http://wenkubaiducom/linkurl=UYNcOk9Xo-0Y9Ulpa820kzh58NSIBvrCX2xveOQ9sS06CTP3XFVE25JyR90Rcr2eUUe_bozR9nkZYa8dwzRWz7H0tBXAODAWtIIhSyFIHnG

f （x）=1/(b-a) x属于（a,b） f（x）=0 其他

Ex=(a+b)/2

Dx=（b-a）的平方/12

证明如下：f(x)=1/(b-a) a

对任意S为A的子集,令f(x)=1,x∈S,0,x∈A\S；这样对每个元素x∈A,f(x)有两个取值,0或1；因此,根据乘法原理,这样的f有2^n个,每个f唯一的对应A的一个子集,因此|pow(A)|=2^n

X服从均匀分布，

即X~U(a，b),则E(X)=(a+b)/2, D(X)=(b-a)²/12 

证明如下：

设连续型随机变量X~U(a，b)

那么其分布函数F(x)=(x-a)/(b-a),a≤x≤b

E(x)=∫F(x)dx=∫(a到b)(x-a)/(b-a)dx

=(x²/2-a)/(b-a) |(a到b)

=(b²/2-a)/(b-a)-(a²/2-a)/(b-a)=(a+b)/2

E(x²)=∫F(x²)dx=∫(a到b)(x²-a)/(b-a)dx

=(x³/3-a)/(b-a) |(a到b)

=(b³/3-a)/(b-a)-(a³/3-a)/(b-a)=(a²+b²+ab)/3

所以D(x)=E(x²)-E(x)²

=(a²+b²+ab)/3-(a+b)²/4

=(a²+b²-2ab)/12=(b-a)²/12

对吗？

φ(u)=∫(-∞→+∞)e^(iux)f(x)dx=∫(-∞→+∞)[cos(ux)+isin(ux)]f(x)dx=∫(-∞→+∞)cos(ux)f(x)dx+i∫(-∞→+∞)sin(ux)f(x)dx①;②充分性:当f(x)=f(-x)时，-sin[u(-x)]f(-x)=sin(ux)f(x)，所以sin(ux)f(x)为x的奇函数，所以∫(-∞→+∞)sin(ux)f(x)dx=0，所以由①得φ(u)=∫(-∞→+∞)cos(ux)f(x)dx，即φ(u)为实函数;③必要性:由于φ(u)为实函数，所以由①得∫(-∞→+∞)sin(ux)f(x)dx=0，即∫(-∞→0)sin(ux)f(x)dx+∫(0→+∞)sin(ux)f(x)dx=0，即∫(0→-∞)sin[u(-x)]f(x)dx+∫(0→+∞)sin(ux)f(x)dx=0，即∫(0→+∞)sin(ut)f(-t)d(-t)+∫(0→+∞)sin(ux)f(x)dx=0，即-∫(0→+∞)sin(ut)f(-t)dt+∫(0→+∞)sin(ux)f(x)dx=0，即-∫(0→+∞)sin(ux)f(-x)dx+∫(0→+∞)sin(ux)f(x)dx=0，即∫(0→+∞)sin(ux)[f(x)-f(-x)]dx=0，所以f(x)-f(-x)=0，即f(x)=f(-x)，即f(x)为偶函数。所以，连续型随机变量X的特征函数φ(u)为实函数的充要条件是:它的密度函数f(x)是偶函数。