求矩阵A的范数的函数是（）。

求矩阵A的范数的函数是（）。

Atrace(A)

Bcond(A)

Crank(A)

Dnorm(A)

正确答案：D

||f||这个符号表示函数f的范数，加上一个无穷表示这是无穷阶范数。下面详细解释（不过都仅仅是粗略解释，语言未必严格且难免有错，仅供参考。严格的数学定义你可以去看相关的数学书，尤其是泛函分析的书）。

①“范数”这个概念就是空间向量“长度”概念的一种推广，你可以先去了解一下函数空间理论。每一个有特定性质的函数都可以看成是函数空间里面的一个向量，因此可以定义它的长度，也就范数。

②范数的定义并不唯一，可以有很多种定义方法，只要给一种定义，它有长度所具备的的普遍性质（比如正定性、三角不等式之类的），那就是一种正确的定义。

③众多定义里面常用的是“n-范数”。我可以用向量举例子，比如向量(1,2)，它的n-范数就是(|1|^n+|2|^n)^(1/n)（a^b表示a的b次方），比如(1,2)的1-范数就是(|1|+|2|)^1=3；它的2-范数是(|1²+|2|²)^1/2=√5（这就是常见的欧式空间长度）；3-范数是3次根号9，以此类推……n范数就写成||a||n。如果n趋近于无穷，可以得到一个无穷范数的定义||(1,2)||∞=2。一般地，||(a1,a2,a3,an)||∞=max{|a1|,|a2|,|an|}，就是向量分量中最大的绝对值。

④函数也有类似的n-范数定义，只不过求和变成积分了，函数f的无穷范数一般就是|f|（它的绝对值）在一段定义域上的最大值（或者上确界）。

向量范数

定义1

设

,满足

1

正定性:║x║≥0,║x║=0

iff

x=0

2

齐次性:║cx║=│c│║x║,

3

三角不等式:║x+y║≤║x║+║y║

则称Cn中定义了向量范数,║x║为向量x的范数

可见向量范数是向量的一种具有特殊性质的实值函数

常用向量范数有,令x=(

x1,x2,…,xn)T

1-范数:║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│

2-范数:║x║2=(│x1│2+│x2│2+…+│xn│2)^1/2

∞-范数:║x║∞=max(│x1│,│x2│,…,│xn│)

易得

║x║∞≤║x║2≤║x║1≤n1/2║x║2≤n║x║∞

定理1Cn中任意两种向量范数║x║α,║x║β是等价的,即有m,M>0使

m║x║α≤║x║β≤M║x║

可根据范数的连续性来证明它由定理1可得

定理2设{x(k)}是Cn中向量序列,x是Cn中向量,则

║x(k)-x║→0(k→∞)

iff

xj(k)-xj→0,j=1,2,…,n(k→

∞)

其中xj(k)是x(k)的第j个分量,xj是x的第j个分量此时称{x(k)}收敛于x,记作x(k)

→x(k→∞),或

三、

矩阵范数

定义2

设

,满足

1

正定性:║X║≥0,║X║=0

iff

X=0

2

齐次性:║cX║=│c│║X║,

3

三角不等式:║X+Y║≤║X║+║Y║

4

相容性:

║XY║≤║X║║Y║

则称Cn×n中定义了矩阵范数,║X║为矩阵X的范数

注意,

矩阵X可视为n2维向量,故有前三条性质因此定理1,2中向量的等价性和向量

序列收敛的概念与性质等也适合于矩阵第四条,是考虑到矩阵乘法关系而设更有矩

阵向量乘使我们定义矩阵范数向量范数的相容性:

║Ax║≤║A║║x║

所谓由向量范数诱导出的矩阵范数与该向量范数就是相容的

定理3

设A是n×n矩阵,║║是n维向量范数则

║A║=max{║Ax║:║x║=1}=

max{║Ax║/║x║:

x≠0}

是一种矩阵范数,称为由该向量范数诱导出的矩阵范数或算子范数,它们具有相容性

或者说是相容的

单位矩阵的算子范数为1

可以证明任一种矩阵范数总有与之相容的向量范数例如定义:

║x║=║X║,X=(xx…x)

常用的三种向量范数诱导出的矩阵范数是

1-范数:║A║1=

max{║Ax║1:║x║1=1}=

2-范数:║A║2=max{║Ax║2:║x║2=1}=

,λ1是AHA的

最大特征值

∞-范数:║A║∞=max{║Ax║∞:║x║∞=1}=

此外还有Frobenius范数:

它与向量2-范数相容但非向量范数诱导出的矩阵范数

四、

矩阵谱半径

定义3设A是n×n矩阵,λi是其特征值,i=1,2,…,n称

为A的谱半径

谱半径是矩阵的函数,但非矩阵范数对任一矩阵范数有如下关系:

ρ(A)≤║A║

因为任一特征对λ,x,Ax=λx,令X=(xx…x),可得AX=λX两边取范数,由矩阵范数的

相容性和齐次性就导出结果

定理3矩阵序列I,A,A2,…Ak,…收敛于零的充分必要条件是ρ(A)