如何判断函数的周期性

问题一：如何判断一个函数的周期性。求详细解答 如何判断，按照你写的定义

问题二：怎么判断是不是周期函数 15分 解：判断周期函数的方法，一般是根据定义。即对函数f（x），如果存在常数T(T≠0)，使得当x取定义域内的每一个值时，均有f（x+T）=f（x）成立，则称f（x）是周期为T的周期函数当然，任何一个常数kT（k∈Z且k≠0）均为其周期。本题中，设y=xcosx=f(x),x∈R,假设f(x)是周期为T的周期函数，则f(x)=f(x+T)=(x+T)cos(x+T)=xcos(x+T)+Tcos(x+T)=xcosx。显然，只有T=0时，对任意x才能成立。故，y=xcosx不是周期函数。供参考啊。

问题三：怎样判断一个函数是否是周期函数 判断一个函数是否是周期函数

的唯一标准是是否存在实数T,使得对于任意的x都是f(x+T)=f(x)。

周期函数的定义：对于函数y=f(x)，若存在常数T≠0，使得f(x+T) = f(x)，则函数y= f(x)称为周期函数，T称为此函数的周期。

性质1：若T是函数y=f(x)的任意一个周期，则T的相反数（-T）也是f(x)的周期。

性质2：若T是函数f(x)的周期，则对于任意的整数n(n≠0)，nT也是f(x)的周期。

性质3：若T1、T2都为函数f(x)的周期，且T1±T2≠0，则T1±T2也是f(x)的周期。

2、定义：在函数f(x)的周期的集合中，我们称其正数者为函数f(x)的正周期，称其负数者为函数f(x)的负周期。若所有正周期中存在最小的一个，则我们称之为函数f(x)的最小正周期，记作T※。

性质4：若T※为函数f(x)的最小正周期，T为函数f(x)的任意一个周期，则 Z -（非零整数）。

性质5：若函数f(x)存在最小正周期T※，且T1、T2分别为函数f(x)的任意两个周期，则 为有理数。

注意：常值函数是周期函数，但没有最小正周期

1三角函数的周期可以根据公式,弦函数的2π/w,切函数的π/w（w为正）

2一般的函数需要根据周期的定义来判断,不过除了三角函数外,没有给出解析式的函数是周期的函数,所以这类函数往往都是告诉你这个函数的一个性质,让你推知周期,常见 的周期情况有

f(x+T)=f(x),周期为T

f(x+a)=-f(x),周期为2a

f(x+a)=1/f(x),周期为2a

f(x+a)=－1/f(x),周期为2a

f(x+a)=1＋f(x)/1-f(x),周期为4a

3周期的本质是自变量增加一个值以后,函数值恒变回原来的值,可以对照函数的性质式观察：

如f(-x-3)=f(-x),其实就是对-x这个量来说,减少了3,函数值返回,故周期为3

f(x-3)=f(x＋3),x+3相对x-3来说,增加了6,这样函数值总是不变,故周期为6

注意和这种形式对比：

1f(－x-3)=f(x＋3),这个其实说提x+3和它的相反数-(x+3)的函数值一直相等,故说明其为偶函数

2f(－x＋3)=f(x＋3),括号里两个自变量在数轴上关于x＝3对称,故图像关于直线x＝3对称

以上请注意仔细体会

图中红色曲线是 y=xcosx 的图像，绿色曲线是 y=cosx 的图像。

y=xcosx 是奇函数，关于原点对称，不是周期函数。

y=cosx 是偶函数，关于 y 轴对称，是周期函数。

y=xcosx 的曲线包络是 y=x 和 y=-x，可视为 y=cosx 的振幅按 y=±x 被调制。

x 正半轴从 x=kπ/2（k 是自然数）起，y=xcosx 与 y=cosx 的极大值、极小值和零点是同步的

x 负半轴从 x=-kπ/2（k 是自然数）起，y=xcosx 与 y=cosx 的极大值与极小值反相，零点同步