二元函数的极值及其判定（基础篇）

定义设二元函数z=f(x,y)的定义域为D,点M0(x0,y0)(M∈D)的某一邻域在D内有定义,对于该邻域内异于M0的任何点(x,y),如果

   f(x,y)> f(xo,yo),

则称点Mo(x,yo)是函数z=f(x,y)的一个极小值点,称f(x0,yo)为函数z=f(x,y)的一个极小值如果

 f(x,y)< f(xo, yo),

则称点Mo(xo,yo)是函数z=f(x,y)的一个极大值点,称f(xo,yo)为函数z=f(x,y)的一个极大值

极小值点和极大值点统称极值点;极小值和极大值统称极值

显然,如果二元函数z=f(x,y)在点(xo，yo)取得极值,则一元函数z=f(x,yo)在点x取得极值,一元函数z=f(xo,y)在点yo取得极值,此得到极值点的必要条件

定理1(必要条件)设二元函数z=f(x,y)在点(xo,yo)取得极值,且fx(xo,yo)，fy(o,yo)存

在,则     fx(xo,yo)=0,fy(xo,yo)=0

称两个偏导数都为0的点为二元函数z=f(x,y)的驻点,驻点不一定就是极值点

(充分条件)设二元函数z=f(x,y)在点Mo(xo,yo)的某一邻域内连续,且有连续的一二阶偏导数,又Mo(xo,yo)是驻点,令

则(1)当△<0时,点Mo(x,yo)是极值点且当A<0时,点Mo(xo,yo)是极大值点;当A>0时，Mo(x,y)是极小值点;

(2)当△>0时,点Mo(x0,y)不是极值点;

(3)当△=0时,Mo(x,yo)可能是极值点,也可能不是极值点,需另作讨论

首先，定义域是必须求出来的。然后，

分别求一阶二阶偏导数，一阶偏导数为0的点是驻点，根据二阶导数判断驻点处是否极值点以及是极大值还是极小值，驻点坐标代入，求出极值。

如果是求条件极值，用拉格朗日法。

解：先对方程求偏导数，即首先将X2看作常数，将X1看作自变量求导数得：

Y'(X1)=693569-225646X1(1)

然后将X1看作常数，将X2看作自变量求导数得：

Y'(X2)=155-2017X2(2)

当Y'(X1)=0时，代入（1）解得：X1=13522;

当Y'(X1)=0时，代入（2）解得：X2=45588

显然两个自变量的数值都在规定范围内，且Y'(X1)的值随X1增大而减小，Y'(X2)的值X2增大而减小，故原方程有最大值。将两值代入原方程得最大值：

Ymax=-3856444+9378440+706614-4689230+353305

=1892685