（原子物理学） 简述波函数及其物理意义

波函数是量子力学中用来描述粒子的德布罗意波的函数。

波函数用表示，通常是一个复函数。它满足如下的所谓薛定谔方程：

波函数的概率诠释（或称统计诠释）

波函数是概率波。其模的平方代表粒子在该处出现的概率密度。

既然是概率波，那么它当然具有归一性。即在全空间的积分

然而大多数情况下由薛定谔方程求出的波函数并不归一。所以要在前面乘上一个系数N，即，然后把它带入归一化条件,解出N。至此，得到的才是归一化之后的波函数。注意N并不唯一。

波函数不是买**的中奖几率，**的中奖几率是线性相加的，买两张**，中奖几率就变为2倍，买N张**，中奖几率就是N倍。波函数具有相干性，具体地说，两个波函数叠加，概率并非变成12 + 12 = 2倍，而是在有的地方变成(1 + 1)2 = 4倍，有的地方变成(1 - 1)2 = 0，具体取决于两个波函数的相位差。联想一下光学中的杨氏双缝实验，不难理解这个问题。

例如，在坐标表象下，动量算符

如下方程称为力学量A的本征方程：

对应的A称为力学量的本征值，ψ称为力学量的本征态。如果测量位于的本征态ψ上的力学量A，那么它的值是唯一确定的。

态叠加原理

如果ψ1是体系的一个本征态，对应的本征值为A1，ψ2也是体系的一个本征态，对应的本征值为A2，那么ψ = C1ψ1 + C2ψ2是体系一个可能的存在状态，如果在这个状态下对力学量A进行测量，测量到的A值既有可能是A1也有可能是A2，相应的概率之比为。A的平均值为。或者采用狄拉克符号记为

定态问题

在量子力学中，一类基本的问题是哈密顿算符不是时间的函数的情况。这时，可以分解成一个只与空间有关的函数和一个只与时间有关的函数乘积，即。把它带入薛定谔方程，就会得到。而则满足如下方程：

称为能量本征方程。

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《非线性波动方程的现代方法》

基本信息

出版时间： 2008-8-1字 数： 410000版 次： 1页 数： 267印刷时间： 2008-08-01开 本： 16开印 次： 1纸 张： 胶版纸I S B N ： 9787308061315包 装： 平装

目录

第一章概论

11引言

12几何与物理中的一些方程的导出

13方程中的一些不变特征

131几个重要李群

132模型方程的守恒律与一些不变性质

14问题及方法

141Cauchy问题的适定性

142两个常用的研究方法

第二章分析基础

21Lp空间及其插值空间

211Lp空间

212Fourier变换

213插值理论

22最大函数及其应用

221最大平均函数

222分数次积分

23局部化方法与不确定性原理

231局部化方法

232不确定性原理

233Littlewiid-Paley分解

24稳定位相法

25Sobolev空间的L-P分解刻画

26Poincare不等式

27非线性估计

271Gagliardo-Nurenbeng不等式

272Leibniz法则

278Miser型估计

28Fourier限制理论

281Stein-Thomas定理

282解析插值证明

283演化算子方法证明

284双线性形式证明（n=2和n=3）

第三章线性波动方程

31线性波动方程的经典解

32线性波动方程的弱解

33能量不等式

34线性波动方程解的存在与唯一性

35L∞衰减估计

36波动方程的Strichartz估计

361单频Strichartz估计

362波动方程Strichartz估计

363球面对称情形的Strichartz估计

364其他的LpLq混合范数估计

37齐次波动方程的双线性时空估计

371一些记号与说明

372椭球面与双曲球面上的积分

373定理条件的必要性分析

38波Sobolev空间及其估计

第四章非线性波动方程局部解

41半线性波动方程的局部解

42拟线性方程的局部解

43三维半线性方程的局部解

44具零形式的方程的局部解

第五章经典解的破裂与奇性的形成

51半线性方程解的破裂

52形如utt＝C2(ux)uxx方程的破裂

53n=3时utt=c2(ut)△u的径向解的破裂

54n=3时□v=2ututt的解的破裂

第六章具小振幅初值的非线性波动方程

61非线性波动方程的小振幅解

611高维拟线性波动方程的整体解

612零条件和三维波动方程的整体解

613零条件和二维波动方程的整体解

62具小初值的非线性Klein-Gordon方程

621经典的能量方法

622Klainerman的不变向量场方法

623Shatah的法形式方法

……

第七章大振幅初值的半线性波动方程的整体解

参考文献

内容简介

本书的主要内容是介绍非线性波动方程的局部或整体适定性理论、研究方法，以及解的破裂性质等。第一章，介绍了一些可用变分方法导出的方程与方法，讨论了方程中的一些重要的不变特征及其作用，以及定解问题的提法与研究解的存在性问题的常用方法等。第二章回顾和介绍了了研究偏微分方程理论所需的现代分析或调和分析基础，其中包括可积空间、可微空间、Sobolev空间以及它们之间的一些重要的定性性质和定量关系。最大函数及其应用，局部化方法与不确定性原理，稳定位相法，Gagliardo-Nirenberg不等式，Moser型估计等一些常用的非线性估计，Fourier限制定理及其各种证明方法等。第三章主要介绍线性波动方程解的表示，解在Sobolev框架下的存在唯一性，能量不等式，衰减估计，Strichartz估计，双线性估计以及波-Sobolev空间及其估计等。第四章主要介绍非线性波动方程的局部适定性理论，其中包括Sobolev框架、可微函数空间框架下的局部解以及满足零条件方程的局部解理论等。第五章介绍了一些典型波动方程经典解的破裂与奇性的形成以及生命区间的刻画等例子。第六章主要讨论了小振幅初值解的整体存在性问题。首先用连续性方法证明了高维拟线性波动方程的整体解的存在性，零条件以及低维情形的整体解。然后给出非线性Klein-Gordon方程的整体解常用研究方法。最后，讨论了半线性波动方程的整体适定性问题以及研究方法，其中包括具有整体Lipschitz非线性项的波动方程的整体解；半线性波动方程的有限能量弱解、经典解以及三个空间变量情形的低正则解等。