关于MATLAB中的分段三次Hermite插值

function []=piecewise_hermite(x0,y0,y0_)

n=length(x0)

for k=1:n-1

p=poly(x0(k+1))/(x0(k)-x0(k+1))

q=poly(x0(k))/(x0(k+1)-x0(k))

I=conv(conv(p,p),(1+2*q))*y0(k) ...

+conv(conv(q,q),(1+2*p))*y0(k+1) ...

+conv(conv(p,p),poly(x0(k)))*y0_(k) ...

+conv(conv(q,q),poly(x0(k+1)))*y0_(k+1)

x=x0(k):0.01:x0(k+1)

fval=polyval(I,x)

plot(x,fval,'r')

hold on

y=1./(1+x.^2)

plot(x,y,'g')

fprintf('在区间[%f,%f]内\n',x0(k),x0(k+1))

S=poly2sym(I)

vpa(S,6)

end

end

按上面语句试试

首先，我们需要确定好插值函数的形式。对于Hermite插值，插值函数的形式通常为：

f(x) = a0 * h0(x) + a1 * h1(x) + a2 * h2(x) + a3 * h3(x)

其中，a0，a1，a2，a3为常数系数，h0(x)，h1(x)，h2(x)，h3(x)为基函数。

对于给定的节点x=[1 2 4 5],y=[1 3 4 2]，我们需要确定基函数的形式。在Hermite插值中，基函数通常为：

h0(x) = (x-x1)(x-x2)(x-x3)/((x0-x1)(x0-x2)(x0-x3))

h1(x) = (x-x0)(x-x2)(x-x3)/((x1-x0)(x1-x2)(x1-x3))

h2(x) = (x-x0)(x-x1)(x-x3)/((x2-x0)(x2-x1)(x2-x3))

h3(x) = (x-x0)(x-x1)(x-x2)/((x3-x0)(x3-x1)(x3-x2))

在上面的式子中，x0，x1，x2，x3分别对应节点x的四个数值。

现在，我们已经确定了插值函数的形式和基函数的形式，接下来，我们需要求出常数系数a0，a1，a2，a3的值。这可以通过构造线性方程组的方式求解。

对于节点(x1, y1)，我们需要构造如下的线性方程组：

a0 * h0(x1) + a1 * h1(x1) + a2 * h2(x1) + a3 * h3(x1) = y1

对于节点(x2, y2)，我们需要构造如下的线性方程组：

a0 * h0(x2) + a1 * h1(x2) + a2 * h2(x2) + a3 * h3(x2) = y2

对于节点(x3, y3)，我们需要构造如下的线性方程组：

a0 * h0(x3) + a1 * h1(x3) + a2 * h2(x3) + a3 * h3(x3) = y3

上面的四个方程组可以通过求解线性方程组的方式求出a0，a1，a2，a3的值。

有了a0，a1，a2，a3的值以及基函数的形式，我们就可以求出f(x)在任意一点x处的函数值了。例如，当x=xi时，函数值为：

f(xi) = a0 * h0(xi) + a1 * h1(xi) + a2 * h2(xi) + a3 * h3(xi)

接下来，我们可以使用这个函数来求出f(x)在xi=1:0.1:5处的函数值，并使用这些函数值来绘制出f(x)在[1, 5]上的图形。

具体来说，我们可以使用一个循环来枚举xi的值，并在每次循环时计算出f(xi)的值。最后，我们可以使用绘图工具（如Matplotlib）来使用绘图工具（如Matplotlib）将求出的函数值绘制成图形。例如，下面是一个使用Matplotlib绘制f(x)在[1, 5]上的图形的例子：

import matplotlib.pyplot as plt

# 计算f(x)在xi=1:0.1:5处的函数值

x = []

y = []

for i in range(1, 6):

xi = i * 0.1

yi = a0 * h0(xi) + a1 * h1(xi) + a2 * h2(xi) + a3 * h3(xi)

x.append(xi)

y.append(yi)

# 使用Matplotlib绘制图形

plt.plot(x, y)

plt.show()

上面的代码会绘制出f(x)在[1, 5]上的图形。

我们还可以使用其他绘图工具（如Gnuplot）来绘制图形，或者使用更高级的绘图库（如Seaborn）来绘制更为复杂的图形。

希望上面的内容能够帮助你理解Hermite插值的基本原理，并编写出自己的Hermite插值函数。

Matlab函数M文件Lagrange程序

function yy=lagrange(x,y,xi)

m=length(x)n=length(y)

if m~=n,error('向量x与y的长度必须一致')end

s=0

for i=1:n

z=ones(1,length(xi))

for j=1:n

if j~=i

z=z .*(xi-x(j))/(x(i)-x(j))

end

end

s=s z*y(i)

end

yy=s

上面是拉格朗日插值法，其中xi为要计算的数值比如

x=[0 3 5 9 31]

y=[2 7 10 12 15]

xi=[1 4 7]

yi=Lagrange(x,y,xi)

这是要求在1,4,7处的值。

hermite程序我没有。

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