传热方程

考虑以下基本假设：①忽略流体的动能；②热弥散与溶质弥散类似；③发生在流体与孔隙介质中的热传导是同时的；④坐标系与含水层各向异性的主轴方向一致；⑤热辐射可以忽略；⑥流体黏度变化的热效应可以忽略；⑦比热和导热系数均为常数；⑧流体相与固相物质总是处于热平衡状态；⑨压力变化引起的焓变化可以忽略；⑩多孔介质变形的热效应可以忽略。

在上述假设条件下，以温度为控制变量的传热方程写为（Kipp，1987）

地下水运动方程

式中：T为含水层的温度，℃；Ts为源汇项的流体温度，℃；ρm为介质固相密度，kg/m3；cf，cm分别为流体相和固相的比热，J/kg·℃；λf，λm分别为流体相和固相的热传导系数，W/m·℃；I为三维单位向量；DH为热的机械弥散系数张量，W/m·℃；qH为热源强度，W/m3。注意流体源汇项的温度和密度取值。

直接的热传导和弥散项可以进行合并，引入如下定义的传热导系数：

地下水运动方程

式中：Dij为传热系数张量（W/m·℃）的分量；δ为狄拉克符号：δij＝1，i＝j，δij＝0，i≠j。这样，传热方程可以改写为

地下水运动方程

式中：D为传热系数张量，W/m·℃。

在假定热弥散与溶质弥散类似的条件下，热弥散系数可以表示为

地下水运动方程

式中：DS，ij是溶质弥散系数，m2/s；αL和αT分别为纵向与横向热弥散度，m，假定在热弥散方面具有各向同性。

其实这些公式看传热学书上的推导过程就明白了。
如果从公式的物理意义上解释，先解释第二个。无限大平壁的稳态导热，其物理上的表现就是从左到右热流处处相等，因此dQ/dx=0，也就是取一个微元体，它的左右两侧的热流增量为0。而根据傅里叶定律，Q=λdt/dx，把这个代到前面那个公式，就可以得到d（λdt/dx）/dx=0，注意这时候导热系数实在微分里面的，因此当导热系数为常数自然可以约掉，当导热系数为变量，自然就要留在括号里面。
至于第一个问题，d（λdt/dx）/dx是直角坐标系的公式，当推广到圆柱坐标系时要进行进行坐标变换，变换时要乘拉梅系数，因此出来的结果是1/rd（λrdt/dr）/dr，所以就会出现以上的结果。至于怎么从圆柱坐标系公式给出物理解释，抱歉功力不够，还无法直观的解释出来。

在理想状态下一根棍子的热传导，配上均匀的边界条件。
方程式如下：
其中u=u(t,x) 是t和x的双变量函数。
x是空间变量，所以x∈ [0,L]，其中L表示棍子长度。t是时间变量，所以t≥ 0。 假设下述初始条件
其中函数f是给定的。再配合下述边界条件
让我们试着找一个非恒等于零的解，使之满足边界条件 (3) 并具备以下形式：
这套技术称作分离变量法。现在将u代回方程式 (1)，
由于等式右边只依赖x，而左边只依赖t，两边都等于某个常数 − λ，于是：
以下将证明 (6) 没有 λ ≤ 0 的解：
假设 λ < 0，则存在实数B、C使得 从 (3) 得到 于是有B= 0 =C，这蕴含u恒等于零。 假设 λ = 0，则存在实数B、C使得 仿上述办法可从等式 (3) 推出u恒等于零。 因此必然有 λ > 0，此时存在实数A、B、C使得 从等式 (3) 可知C= 0，因此存在正整数n使得 由此得到热方程形如 (4) 的解。
一般而言，满足 (1) 与 (3) 的解相加后仍是满足 (1) 与 (3) 的解。事实上可以证明满足 (1)、(2)、(3) 的解由下述公式给出。

导热微分方程是对导热物体内部温度场内在规律的描述，适用于所有导热过程。

基本介绍 中文名 ：导热微分方程 外文名 ：Differential heat conduction equation  提出者 ：傅立叶 套用学科 ：物理 适用领域范围 ：传热学 热力学 导热微分方程和傅立叶定律,导热系数,初始条件和边界条件, 导热微分方程和傅立叶定律 傅立叶定律是在实验的基础上建立起来的，它指出，导热热流密度的大小与温度梯度的绝对值成正比，其方向与温度梯度的方向相反 （1-1） 因为热量传递方向与温度梯度的方向相反，所以等式中有一负号，傅立叶定律的本质是说，在有温度差的物系内部，热流总是朝着温度降低的方向。 当给定导热面上热流密度相等时 （1-2） 傅立叶定律揭示了连续温度场内热流密度与温度梯度的关系。对于一维稳态导热问题可直接利用傅立叶定律积分求解，求出导热热流量。但由于傅立叶定律未能揭示各点温度与其相邻点温度之间的关系，以及此刻温度与下一时刻温度的联系，对于多维稳态导热和一维及多维非稳态导热问题都不能直接利用傅立叶定律积分求解。导热微分方程揭示了连续物体内的温度分布与空间坐标和时间的内在联系，使上述导热问题求解成为可能。 根据傅立叶定律和能量守恒方程，可以推得直角坐标下的导热微分方程 （1-3） 式中，a为热扩散率，又称导温系数， ， /s； 为单位时间内、单位体积中内热源生成的热量，W/ 。 导热微分方程是对导热物体内部温度场内在规律的描述，适用于所有导热过程，要获得特定情况下导热问题的解，必须附加该情况下的限制条件，这些条件称为定解条件。定解条件包括时间条件和边界条件。所以，导热问题完整的数学描述包括导热微分方程和相应的定解条件。时间条件给定某一时刻导热物体内的温度分布，称为初始条件。稳态导热时，导热物体内的温度分布不随时间变化，初始条件没有意义，所以非稳态导热才有初始条件。边界条件是指导热物体边界处的温度或表面传热情况。边界条件通常分为三类： （1）第一类边界条件：给定物体边界上任何时刻的温度分布。 （1-4） （2）第二类边界条件：给定物体边界上的热流密度分布。 （1-5） （3）第三类边界条件：给定物体边界与周围流体间的表面传热系数h及流体的温度 。 （1-6） 以上三类边界条件之间有一定的联系。当物体边界温度等于流体温度，第三类边界条件变成第一类边界条件。边界面的表面传热系数h为零，第三类边界条件变成特殊的第二类边界条件——物体边界面绝热。 导热系数 导热系数是物质的一个物性参数，表示物质导热能力的大小。由式（1-1）得 即导热系数的数值等于温度梯度为1K/m时，单位时间内通过单位面积的导热量。不同物质的导热系数彼此不同，即使是同一物质，导热系数的值也随压力、温度以及该物质内部结构、温度等因素而变化。物质的导热系数通常由实验确定。 各种物质导热系数的范围为：气体0006~06W/ ；液体007~07W/ ；金属6~470W/ ；保温与建筑材料002~3W/ 。 W/ 的材料，常称作绝热保温材料，如石棉、膨胀珍珠岩、玻璃纤维制品等。 金属材料的导热系数比非金属材料高，纯金属的导热系数又比合金高，各种纯金属中以银的导热系数为最高。通常，气体的导热系数为最小，而且在较大的压力范围内，气体的导热系数只是温度的函式，与压力无关。除液态金属，液体材料中的水的导热系数是最大的。 各种材料的导热系数随温度变化的规律不尽相同。纯金属的导热系数一般只随温度升高而下降。气体的导热系数随温度的升高而增大。除水和甘油外，一般液体的导热系数一般随温度的升高而减小。保温与建筑材料的导热系数大多数随温度升高而增大，还与材料的结构、孔隙度、密度和湿度有关。 在一定温度范围内，大多数工程材料的导热系数可以近似认为是温度的线性函式，即 式中， 为0℃时按上式计算的导热系数（一般，它并非0℃时的实际值）；b为由实验确定的常数。 初始条件和边界条件 热传导方程式中有对时间的一阶偏导，因此，在求非稳态导热时要有初始条件，常用的初始条件为： （在V内）（1-7） 式中， ——t=0时的温度分布状态； V——体域。 传热问题中常见的几种边界条件如下： （1）给出温度值的边界 ： （对于t>0，在 上） （1-8） （2）给出热通量Q的边界 ： （在 上） （1-9） 式中， ——边界外法向的方向余弦。 （3）给出热损失的边界 ： （在 上） （1-10） 式中，h——放热系数； ——环境温度。

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