怎样求n次方的复数根

这个是代数基本定理,高斯最早给的证明
我只记得一个在抽象代数书上的证明
证明比较长
思路大概是
1
实系数奇数次方程有实根
(这只要用数学分析中连续函数的介值定理)
2
复系数2次方程有2复根
(配方法就行)
3
实系数方程有复根
证
(粗略的)
次数设为
2^mq
q为奇数
对m归纳
m=0时
由1
得证
若m>=k时成立
对m=k+1时
g(x)=x^n+a(n-1)x^(n-1)+a0
(n=2^mq)
为实域r上多项式
则
在某一拓域f上有n个根(用到域的拓张的知识
如果不懂
可以想象
取x1为
一个字
定义他满足上述方程
讲其加到
r上
得r上拓域记为r(x1)
当然这一点是要证明的
不过涉及知识比较多
理解一下就好
然后
原多项式可分解为
(x-x1)g1(x)
接着继续取g1(x)=0的根x2
得r(x1,x2)
一直做下去
可得
在某1拓域上
g(x)=0有n个根
x1,x2xn)
设为
x1,x2,xn
则g(x)=(x-x1)(x-xn)
对实数c
有
作x-(xi+xj+cxixj)
对每个n>=i>j>=0
将他们全部相乘
得h(x)
则h(x)
为
n(n+1)/2=2^(m-1)q(n+1)次注意到
q(n+1)为奇数
再看h(x)
易知
h(x)中每项系数都为
x1,x2xn在r上的对称多项式
由
对称多项式基本定理
知
每项系数
都能写成
u1,u2un的多项式
其中
u1=x1+x2+xn
u2=x1x2+x1x3+x1xn+x2x3x2xn+xn-1xn
u3=x1x2x3+x1x2x4xn-2xn-1xn

un=x1x2xn
由韦达定理(或者说由(x-x1)(x-x2)(x-xn)=g(x)展开对比系数)知
u1=-a(n-1)
u2=a(n-2)

un=(-1)^n
a
所以
u1un为实数
所以h(x)为实系数多项式
所以由归纳假设知
h(x)=0有复根
所以存在某个
i,j有
xi+xj+cxixj为复数
(注意到
i
j
是与c有关的
所以记为i(c)
j(c))
因为
(i,j)的数对只有有限多个
但c属于r有无穷多
所以
存在
c1不=c2有
(i(c1),j(c1))=(i(c2),j(c2))记为i
j
则
xi+xj+c1xixj=a属于c
xi+xj+c2xixj=b属于c
则
容易解得
xi+xj=(c2a-c1b)/(c2-c1)属于c
xixj=(a-b)/(c1-c2)属于c
则
xi
xj
为
复系数2次方程
x^2-
(c2a-c1b)/(c2-c1)x+(a-b)/(c1-c2)=0
的2根
由2知
xi
xj为复数
所以f(x)=0有复根
4
复系数方程有复根
证
设f(x)为复系数多项式
f1(x)为他的共轭
则
g(x)=f(x)f1(x)为实系数多项式
所以
g(x)=0有复根x
则为f(x)=0或f1(x)=0的根
所以
x或x的共轭为f(x)=0的复根
5复系数n次方程有n个复根(计入重根)
(这是明显的
因为由5
知
n次复系数方程f1(x)=0有复根
设为x1则f可分解
有
f1(x)=(x-x1)f2(x)
其中f2为复系数n-1次多项式
所以有复根
x2
则
f1(x)=(x-x1)(x-x2)f3(x)
一直下去得
f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-xn)
所以有n个复根

r=2i+1
复数是建立在i的平方等于 -1的基础上的。你在开根号的时候如果根号内的数字式小于零的话，你就直接按照正数开根号，得出结果后后面加个小写字母i就可以得到复数了，由复数得到的方程的解就是复根

具体如图：

根据一元二次方程求根公式韦达定理：

 ，当  时，方程无实根，但在复数范围内有2个复根。复根的求法为  （其中  是复数，  ）。

由于共轭复数的定义是形如  的形式，称  与  为共轭复数。

另一种表达方法可用向量法表达：  ，  。其中  ，tanΩ=b/a。

由于一元二次方程的两根满足上述形式，故一元二次方程在  时的两根为共轭复根。

根与系数关系：  ，  。

扩展资料：

共轭复根经常出现于一元二次方程中，若用公式法解得根的判别式小于零，则该方程的根为一对共轭复根。

复数的加法法则：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。即 (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i

参考资料来源：百度百科——共轭复根

x^2-2x+5=0
推出：
x^2-2x+1+4=0
(x-1)^2+4=0
根据上式得，(x-1)^2=-4
因为实数的平方为正数
得出该一元二次方程无解

一元二次方程的复数求根公式是x=(-b±√(b^2-4ac))/2a。

一元二次方程的一般形式：ax²+bx+c=0(a≠0)

折叠变形式：ax²+bx=0(a、b是实数，a≠0);  ax²+c=0(a、c是实数，a≠0);   ax²=0(a是实数，a≠0)。

扩展资料

一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解。一般情况下，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根（只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根）。

一元二次方程成立的条件：

①等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，这个方程不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，也不是一元二次方程。

②只含有一个未知数。

③未知数项的最高次数是2。

参考资料来源：百度百科—一元二次方程

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