这是怎么算出来的还有自己对数运算老迷糊很容易搞混怎么办

1对数概念
a(a>0且a≠1)b次幂等于N即ab=N数b叫做a底N对数记作：logaN=b,其a叫做对数底数N叫做真数
由定义知：
①负数和零没有对数;
②a>0且a≠1,N>0;
③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b
特别地10底对数叫常用对数记作log10N,简记lgN；无理数e(e=2718 28…)底对数叫做自对数记作logeN简记lnN
2对数式与指数式互化
式子名称abN指数式ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式logaN=b(底数)(对数)(真数)
3对数运算性质
a>0,a≠1,M>0,N>0,
(1)loga(MN)=logaM+logaN
(2)logaMN=logaM-logaN
(3)logaMn=nlogaM (n∈R)
问：①公式要加条件a>0,a≠1M>0,N>0
②logaan= (n∈R)
③对数式与指数式比较(学生填表)
式子ab=NlogaN=b名称a—幂底数
b—
N—a—对数底数
b—
N—运
算
性
质am·an=am+n
am÷an=
(am)n=
(a>0且a≠1,n∈R)logaMN=logaM+logaN
logaMN=
logaMn=(n∈R)
(a>0,a≠1,M>0,N>0)
难点疑点突破
对数定义要规定a＞0,且a≠1
理由下：
①若a＜0则N某些值存例log-28
②若a=0则N≠0时b存；N=0时b惟任何正数
③若a=1时则N≠1时b存；N=1时b也惟任何正数
了避免上述各种情况所规定对数式底等于1正数
解题方法技巧
1
(1)下列指数式写成对数式：
①54=625；②2-6=164；③3x=27；④13m=573
（2）下列对数式写成指数式：
①log1216=-4；②log2128=7；
③log327=x；④lg001=-2；
⑤ln10=2303；⑥lgπ=k
解析由对数定义：ab=NlogaN=b
解答(1)①log5625=4②log2164=-6
③log327=x④log13573=m
解题方法
指数式与对数式互化必须并且只需紧紧抓住对数定义：ab=NlogaN=b(2)①12-4=16②27=128③3x=27
④10-2=001⑤e2303=10⑥10k=π
2
根据下列条件分别求x值：
(1)log8x=-23；(2)log2(log5x)=0；
(3)logx27=31+log32；(4)logx(2+3)=-1
解析(1)对数式化指数式得：x=8-23=
(2)log5x=20=1 x=
(3)31+log32=3×3log32=27=x
(4)2+3=x-1=1x x=
解答(1)x=8-23=(23)-23=2-2=14
(2)log5x=20=1x=51=5
(3)logx27=3×3log32=3×2=6
∴x6=27=33=(3)6,故x=3
(4)2+3=x-1=1x,∴x=12+3=2-3
解题技巧
①转化思想重要数学思想对数式与指数式有着密切关系解决有关问题时经常进行着两种形式相互转化
②熟练应用公式：loga1=0,logaa=1,alogaM=M,logaan=n3
已知logax=4,logay=5求A=〔x·3x-1y2〕12值
解析思路已知对数式值要求指数式值对数式转化指数式再利用指数式运算求值；
思路二对指数式两边取同底对数再利用对数式运算求值
解答解法∵logax=4,logay=5,
∴x=a4,y=a5,
∴A=x512y-13=(a4)512(a5)-13=a53·a-53=a0=1
解法二对所求指数式两边取a底对数得
logaA=loga(x512y-13)
=512logax-13logay=512×4-13×5=0,
∴A=1
解题技巧
有时对数运算比指数运算来得方便因此指数形式出现式子利用取对数方法把指数运算转化对数运算4
设x,y均正数且x·y1+lgx=1(x≠110),求lg(xy)取值范围
解析等式含两变量x、y对每确定正数x由等式都有惟正数y与之对应故yx函数从而lg(xy)也x函数因此求lg(xy)取值范围实际上求函数值域问题样才能建立种函数关系呢能否对已知等式两边也取对数
解答∵x>0,y>0,x·y1+lgx=1,
两边取对数得：lgx+(1+lgx)lgy=0
即lgy=-lgx1+lgx(x≠110,lgx≠-1)
令lgx=t, 则lgy=-t1+t(t≠-1)
∴lg(xy)=lgx+lgy=t-t1+t=t21+t
解题规律
对等式两边取对数解决含有指数式和对数式问题常用有效方法；而变量替换把较复杂问题转化较简单问题设S=t21+t,得关于t方程t2-St-S=0有实数解
∴Δ=S2+4S≥0解得S≤-4或S≥0,
故lg(xy)取值范围(-∞,-4〕∪〔0,+∞)
5
求值：
(1)lg25+lg2·lg50+(lg2)2；
(2)2log32-log3329+log38-52log53；
(3)设lga+lgb=2lg(a-2b)求log2a-log2b值;
(4)求7lg20·12lg07值
解析(1)25=52,50=5×10都化成lg2与lg5关系式
(2)转化log32关系式
(3)所求log2a-log2b=log2ab由已知等式给出了a,b之间关系能否从求出ab值呢
(4)7lg20·12lg07两指数幂乘积且指数含常用对数
设x=7lg20·12lg07能否先求出lgx再求x
解答(1)原式=lg52+lg2·lg(10×5)+(lg2)2
=2lg5+lg2·(1+lg5)+(lg2)2
=lg5·(2+lg2)+lg2+(lg2)2
=lg102·(2+lg2)+lg2+(lg2)2
=(1-lg2)(2+lg2)+lg2+(lg2)2
=2-lg2-(lg2)2+lg2+(lg2)2=2
(2)原式=2log32-(log325-log332)+log323-5log59
=2log32-5log32+2+3log32-9
=-7
(3)由已知lgab=lg(a-2b)2 (a-2b>0),
∴ab=(a-2b)2, 即a2-5ab+4b2=0
∴ab=1或ab=4里a>0,b>0
若ab=1则a-2b<0, ∴ab=1（ 舍去）
∴ab=4,
∴log2a-log2b=log2ab=log24=2
(4)设x=7lg20·12lg07,则
lgx=lg20×lg7+lg07×lg12
=(1+lg2)·lg7+(lg7-1)·(-lg2)
=lg7+lg2=14,
∴x=14, 故原式=14
解题规律
①对数运算法则进行同底对数运算依据对数运算法则等式两边都有意义恒等式运用法则进行对数变形时要注意对数真数范围否改变防止增根所需要检验(3)
②对式子先求常用对数值再求原式值代数运算常用方法(4)6
证明(1)logaN=logcNlogca(a>0,a≠1,c>0,c≠1,N>0)；
(2)logab·logbc=logac；
(3)logab=1logba(b>0,b≠1)；
(4)loganbm=mnlogab
解析(1)设logaN=b得ab=N,两边取c底对数求出b能得证
(2)logbc能否也换成a底对数
(3)应用(1)logab换成b底对数
(4)应用(1)loganbm换成a底对数
解答(1)设logaN=b则ab=N,两边取c底对数得：b·logca=logcN,
∴b=logcNlogca∴logaN=logcNlogca
(2)由(1)logbc=logaclogab
所 logab·logbc=logab·logaclogab=logac
(3)由(1)logab=logbblogba=1logba
解题规律
(1)logaN=logcNlogca叫做对数换底公式(2)(3)(4)(1)推论们对数运算和含对数等式证明经常应用对于对数换底公式既要善于正用也要善于逆用(4)由(1)loganbm=logabmlogaan=mlogabnlogaa=mnlogab
7
已知log67=a,3b=4,求log127
解析依题意a,b常数求log127要用a,b表示log127又3b=4即log34=b能否log127转化6底对数进而转化3底呢
解答已知log67=a,log34=b,
∴log127=log67log612=a1+log62
又log62=log32log36=log321+log32,
由log34=b,得2log32=b
∴log32=b2,∴log62=b21+b2=b2+b
∴log127=a1+b2+b=a(2+b)2+2b
解题技巧
利用已知条件求对数值般运用换底公式和对数运算法则把对数用已知条件表示出来常用方法技巧8
已知x,y,z∈R+且3x=4y=6z
(1)求满足2x=pyp值；
(2)求与p接近整数值；
(3)求证：12y=1z-1x
解析已知条件给出了指数幂连等式能否引进间量m再用m分别表示x,y,z又想对于指数式能否用对数方法去解答
解答（1）解法3x=4ylog33x=log34yx=ylog342x=2ylog34=ylog316,
∴p=log316
解法二设3x=4y=m,取对数得：
x·lg3=lgmylg4=lgm,
∴x=lgmlg3,y=lgmlg4,2x=2lgmlg3,py=plgmlg4
由2y=py, 得 2lgmlg3=plgmlg4,
∴p=2lg4lg3=lg42lg3=log316
(2)∵2=log39<log316<log327=3,
∴2<p<3
又3-p=log327-log316=log32716,
p-2=log316-log39=log3169,
而2716<169,
∴log32716<log3169,∴p-2>3-p
∴与p接近整数3
解题思想
①提倡题多解同思路同方法应用了同知识或者相同知识灵活运用既发散了思维又提高了分析问题和解决问题能力何乐而呢
②(2)涉及比较两对数大小同底两对数比大小因底3>1所真数大对数大问题转化比较两真数大小里超前应用了对数函数单调性鼓励学生超前学习自觉学习学习积极性(3)解法令3x=4y=6z=m,由于xyz∈R+
∴k>1则 x=lgmlg3,y=lgmlg4,z=lgmlg6,
所1z-1x=lg6lgm-lg3lgm=lg6-lg3lgm=lg2lgm12y=12·lg4lgm=lg2lgm
故12y=1z-1x
解法二3x=4y=6z=m
则有3=m1x①,4=m1y②6=m1z③
③÷①得m1z-1x=63=2=m12y
∴1z-1x=12y
9
已知正数a,b满足a2+b2=7ab求证：logma+b3=12(logma+logmb)(m>0且m≠1)
解析已知a>0,b>0,a2+b2=7ab求证式真数都只含a,b次式想：能否真数次式也转化二次进而应用a2+b2=7ab
解答logma+b3=logm(a+b3)212=
解题技巧
①a+b3向二次转化利于应用a2+b2=7ab技巧之
②应用a2+b2=7ab真数和式转化ab乘积式便于应用对数运算性质技巧之二12logma+b32=12logma2+b2+2ab9
∵a2+b2=7ab,
∴logma+b3=12logm7ab+2ab9=12logmab=12(logma+logmb),
即logma+b3=12(logma+logmb)
思维拓展发散
1
数学兴趣小组专门研究了科学记数法与常用对数间关系设真数N=a×10n其N>0,1≤a<10,n∈Z用科学记数法表示真数N其科学性体现哪里我们只要研究数N常用对数能揭示其奥秘
解析由已知对N=a×10n取常用对数得lgN=n+lga真数与对数有何联系
解答lgN=lg(a×10n)=n+lgan∈Z,1≤a<10
∴lga∈〔0,1)
我们把整数n叫做N常用对数首数把lga叫做N常用对数尾数正纯小数或0
小结：①lgN首数N10n指数尾数lga,0≤lga<1;
②有效数字相同同正数们常用对数尾数相同只首数同；
③当N≥1时lgN首数n比整数位数少1当N∈(01)时lgN首数n负整数|n|-1与N小数点第0有效数字前零数相同
师生互动
叫做科学记数法
N>0,lgN首数和尾数与a×10n有联系
有效数字相同同正数其常用对数相同同
2
若lgx首数比lg1x首数大9lgx尾数比lg1x尾数小0380 4且lg0203 4=1308 3,求lgx,x,lg1x值
解析①lg0203 4=1308 3,即lg0203 4=1+0308 31对数首数0308 3对数尾数正纯小数；②若设lgx=n+lga则lg1x也表出
解答设lgx=n+lga,依题意lg1x=(n-9)+(lga+0380 4)
又lg1x=-lgx=-(n+lga),
∴(n-9)+(lga+0380 4)=-n-lga其n-9首数lga+0380 4尾数-n-lga=-(n+1)+(1-lga),-(n+1)首数1-lga尾数所：
n-9=-(n+1)
lga+0380 4=1-lgan=4,
lga=0308 3
∴lgx=4+0308 3=4308 3,
∵lg0203 4=1308 3,∴x=2034×104
∴lg1x=-(4+0308 3)=5691 7
解题规律
把lgx首数和尾数lg1x首数和尾数都看成未知数根据题目等量关系列方程再由同对数首数等于首数尾数等于尾数求出未知数值解决类问题常用方法3
计算：
(1)log2-3(2+3)+log6(2+3+2-3);
(2)2lg(lga100)2+lg(lga)
解析(1)2+3与2-3有何关系2+3+2-3双重根号何化简
(2)分母已无法化简分子能化简
解题方法
认真审题、理解题意、抓住特点、找出明确解题思路和方法要被表面繁、难所吓倒解答(1)原式=log2-3(2-3）-1+12log6(2+3+2-3)2
=-1+12log6(4+22+3·2-3)
=-1+12log66
=-12
(2)原式=2lg(100lga)2+lg(lga)=2〔lg100+lg(lga)〕2+lg(lga)=2〔2+lg(lga)〕2+lg(lga)=2
4
已知log2x=log3y=log5z<0,比较x,3y,5z大小
解析已知对数等式要比较大小根式根式能转化成指数幂所对数等式应设法转化指数式
解答设log2x=log3y=log5z=m<0则
x=2m,y=3m,z=5m
x=(2)m,3y=(33)m,5z=(55)m
下面只需比较2与33,55大小：
(2)6=23=8,(33)6=32=9所2<33
又(2)10=25=32,(55)10=52=25,
∴2>55
∴55<2<33 又m<0,
图2-7-1考查指数函数y=(2)x,y=(33)x,y=(55)x第二象限图像图2-7-1
解题规律
①转化思想重要数学思想对数与指数有着密切关系解决有关问题时要充分注意种关系及对数式与指数式相互转化
②比较指数相同底同指数幂(底大于0)大小要应用多指数函数同坐标系第象限(指数大于0)或第二象限(指数小于0)性质进行比较
①y=(55)x,②y=(2)x,③y=(33)x指数m<0时图像第二象限从下上底从大小所(33)m<(2)m<(55)m,故3y<x<5z
潜能挑战测试
1(1)下列指数式化对数式:
①73=343;②14-2=16;③e-5=m
(2)下列对数式化指数式：
①log128=-3;②lg10000=4;③ln35=p
2计算：
(1)24+log23;(2)2723-log32;(3)2513log527+2log52
3(1)已知lg2=0301 0lg3=0477 1求lg45;
(2)若lg3127=a求lg0031 27
4已知a≠0,则下列各式与log2a2总相等()
A若logx+1(x+1)=1 ,则x取值范围()
A已知ab=M(a>0,b>0,M≠1),且logMb=x则logMa值()
A若log63=0673 1log6x=-0326 9, 则x()
A若log5〔log3(log2x)〕=0则x=
98log87·log76·log65=
10方程lg2x+(lg2+lg3)lgx+lg2·lg3=0两根x1、x2,x1·x2值
11生态学指出：生物系统每输入营养级能量大约只有10%能量流下营养级H1→H2→H3→H4→H5→H6条生物链(Hn表示第n营养级n=123456)已知对H1输入了106千焦能量问第几营养级能获得100千焦能量
12已知xyz∈R+且3x=4y=6z比较3x4y6z大小
13已知a,b均等于1正数且axby=aybx=1求证x2=y2
14已知2a·5b=2c·5d=10证明(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1)
15设集合M=｛x|lg〔ax2-2(a+1)x-1〕>0｝若M≠M｛x|x<0｝求实数a取值范围
16张江高科技园区上海超级计算心内被称神威Ⅰ计算机运算速度每秒钟384 000 000 000次用科学记数法表示数N=,若已知lg3840=0584 3,则lgN=
17某工厂引进新生产设备预计产品生产成本比上年降低10%试问经过几年生产成本降低原来40%(lg2=03, lg3=048)
18某厂适应改革开放完善管理机制满足市场需求某种产品每季度平均比上季度增长104%经过y季度增长原来x倍则函数y=f(x)解析式f(x)=
名师助成长
1(1)①log7343=3②log1416=-2③lnm=-5
(2)①12-3=8②104=10 000③ep=35
2(1)48点拨：先应用积乘方再用对数恒等式
(2)98点拨：应用商乘方和对数恒等式
(3)144点拨：应用对数运算性质和积乘方
3(1)0826 6点拨：lg45=12lg45=12lg902=12(lg32+lg10-lg2)
(2)lg0031 27=lg(3127×10-2)=-2+lg3127=-2+a
4C点拨：a≠0,a能负数应用对数运算性质要注意对数都有意义
5B点拨：底x+1>0且x+1≠1;真数x+1>0
6A点拨：对ab=M取M底对数
7C点拨：注意0673 1+0326 9=1,log61x=0326 9
所log63+log61x=log63x=1∴3x=6, x=12
8x=8点拨：由外向内log3(log2x)=1, log2x=3, x=23
95点拨：log87·log76·log65=log85, 8log85=5
1016点拨：关于lgx元二次方程两根lgx1,lgx2
由lgx1=-lg2,lgx2=-lg3得x1=12,x2=13
11设第n营养级能获得100千焦能量
依题意:106·10100n-1=100,
化简得:107-n=102,利用同底幂相等得7-n=2,
或者两边取常用对数也得7-n=2
∴n=5,即第5营养级能获能量100千焦
12设3x=4y=6z=k,因xyz∈R+
所k>1取k底对数得：
x=1logk3,y=1logk4,z=1logk6
∴3x=3logk3=113logk3=1logk33,
同理得：4y=1logk44,6z=1logk66
而33=1281,44=1264,66=1236,
∴logk33>logk44>logk66
又k>1,33>44>66>1,
∴logk33>logk44>logk66>0,∴3x<4y<6z
13∵axby=aybx=1,∴lg(axby)=lg(aybx)=0,
即xlga+ylgb=ylga+xlgb=0(※)
两式相加,得x(lga+lgb)+y(lga+lgb)=0
即(lga+lgb)(x+y)=0∴lga+lgb=0 或x+y=0
当lga+lgb=0时,代入xlga+ylgb=0,得:
(x-y)lga=0, a1正数lga≠0,∴x-y=0
∴x+y=0或x-y=0,∴x2=y2
14∵2a5b=10,∴2a-1=51-b两边取2底对数,得：a-1=(1-b)log25
∴log25=a-11-b(b≠1) 同理得log25=c-11-d(d≠1)
即b≠1,d≠1时,a-11-b=c-11-d
∴(a-1)(1-d)=(c-1)(1-b),
∴(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1)
当b=1,c=1时显成立
15设lg〔ax2-2(a+1)x-1〕=t (t>0),则
ax2-2(a+1)x-1=10t(t>0)
∴10t>1 ,ax2-2(a+1)x-1>1,∴ax2-2(a+1)x-2>0
①当a=0时,解集｛x|x<-1｝｛x|x<0｝;
当a≠0时,M≠且M｛x|x<0｝
∴方程ax2-2(a+1)x-2=0 必有两等实根设x1,x2且x1<x2则
②当a>0时,M=｛x|x<x1或x>x2｝,显｛x|x<0｝子集；
③当a<0时M=｛x|x1<x<x2｝只要：
a<0
Δ=4(a+1)2+8a>0
x1+x2=2(a+1)a<0
x1·x2=-2a>0
解得3-2<a<0综上所求a取值范围：3-2<a≤0
16N=3840×1011, lgN=11584 3
17设经过x年成本降原来40%则
(1-10%)x=40%,两边取常用对数得：
x·lg(1-10%)=lg40%
即x=lg04lg09=lg4-1lg9-1=2lg2-12lg3-1=10
所经过10年成本降低原来40%
18f(x)=log1104x〔或f(x)=lgxlg1104〕
点拨：设原来季度产品a则a(1+104%)y=xa,∴y=log1104x

对数函数的一般形式为 ，它实际上就是指数函数 的反函数。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。
可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。
（1） 对数函数的定义域为大于0的实数集合。
（2） 对数函数的值域为全部实数集合。
（3） 函数总是通过（1，0）这点。
（4） a大于1时，为单调递增函数，并且上凸；a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。
（5） 显然对数函数无界。

log以4为底，真数：[a(x-2)+1] a大于1
可以写作1/2log以2为底，真数：[a(x-2)+1] a大于1
=log以2为底，真数：[a(x-2)+1]^05 a大于1
都换成log以2为底的对数
因为log以2为底的对数是单调递增的
所以真数：（x-1) 大于真数：[a(x-2)+1]^05 a大于1
（x-1）^2＞a(x-2)+1
x^2-2x+1＞a(x-2)+1
x^2-2x＞a(x-2)
x^2-(2+a)x+2a＞0
(x-2)(x-a)＞0
那么当a＞2时，x的范围为（0，2）并上（a，+∞）
当1＜a＜2时，x的范围为（0，a）并上（2，+∞）

（1）当P为（1，-1）时，X0=1 Y0=-1
∵对数的图象是不对称的，P、Q两点都在图象上
∴P、Q为同一点
（X0+t+10/2)=1 =＞t=9
(2)P点坐标代入f(x)中，有y0=log1/2(x0+1)代入Q点中，则Q点为[（X+1)/2,log1/2(x+1)],观察可知，
g(x)=log1/2(2x)

---