分形的含义

分形，具有以非整数维形式充填空间的形态特征。

通常被定义为“一个粗糙或零碎的几何形状，可以分成数个部分，且每一部分都（至少近似地）是整体缩小后的形状”，即具有自相似的性质。分形（Fractal）一词，是芒德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义。

1973年，芒德勃罗（BBMandelbrot）在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形的设想。分形是一个数学术语，也是一套以分形特征为研究主题的数学理论。分形理论既是非线性科学的前沿和重要分支，又是一门新兴的横断学科。

是研究一类现象特征的新的数学分科，相对于其几何形态，它与微分方程与动力系统理论的联系更为显著。分形的自相似特征可以是统计自相似，构成分形也不限于几何形式，时间过程也可以，故而与鞅论关系密切。

分形几何是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界普遍存在，因此分形几何学又被称为描述大自然的几何学。分形几何学建立以后，很快就引起了各个学科领域的关注。不仅在理论上，而且在实用上分形几何都具有重要价值。

专业代码、名称及研究方向

计划招生人数

考　　试　　科　　目

备　　

201数学与统计学院

68754907

116

(含夏令营招生计划

20人)

学术学位

84

070101基础数学

01偏微分方程及其在物理、生物和医学中的应用02偏微分方程一般理论、学长羣八一七二五七五二微局部分析03奇异偏微分方程理论04复与超复边界行为05多复变函数论06Boltzmann方程07非线性双曲守恒律组08动力学方程数学分析理论09李群上的调和分析10函数空间及其上的算子理论11奇异积分方程数值方法12分形几何13泛函分析及其应用14算子空间，量子概率15Hp鞅论16几何分析17代数几何18动力系统及遍历理论19复几何20几何测度论21微分几何22奇异流形上的分析23李群与李代数24矩阵分析及其应用25数理经济26微分拓扑与奇点理论

①101思想政治理论

②201英语一

③653数学分析

④873线性代数

复试笔试科目：

实变函数或常微分方程

同等学力加试科目：①常微分方程②数学基础综合

070102计算数学

01偏微分方程数值解

02科学与工程计算软件

03智能计算

04量子计算

05计算流体力学

06多尺度建模与计算

07材料模拟与计算

08复杂网络理论及其应用

09混沌动力学

10数学物理

11计算生物学

12数值代数

13并行计算

14计算机应用

①101思想政治理论

②201英语一

③653数学分析

④873线性代数

复试笔试科目：

数值分析

同等学力加试科目：①常微分方程②数学基础综合

070103概率论与数理统计

01随机分析及其应用

02随机过程

03随机偏微分方程

04大偏差理论及其应用

05泛函不等式

06分形几何

07保险与金融数学

08高维数据分析

09生存分析

10生物统计

11金融统计

12应用统计

13统计基因

14非参数统计

15序约束统计

16半参数统计模型

17变点、混合模型

①101思想政治理论

②201英语一

③653数学分析

④873线性代数

复试笔试科目：概率论与数理统计

同等学力加试科目：①常微分方程②数学基础综合

070104应用数学

01小波分析及其应用

02小波分析与逼近

03时空数据建模与分析

04密码与信息安全

05椭圆曲线理论与应用

06最优化理论、算法及其应用

07动力系统理论及应用

08分布参数系统的控制理论

09应用非线性分析

10交通优化模型与算法

11大规模科学计算

12常微分方程定性理论

13不适定问题与算子广义逆理论

14图论及其应用

①101思想政治理论

②201英语一

③653数学分析

④873线性代数

复试笔试科目：

常微分方程三题，另外的两题为常微分方程或线性规划或近世代数三者选答一组

同等学力加试科目：①常微分方程②数学基础综合

071400统计学

01数理统计

02生物统计

03生存分析

04金融统计

05风险管理与精算

06 应用统计

07应用概率

①101思想政治理论

②201英语一

③653数学分析

④873线性代数

复试笔试科目：概率论与数理统计

同等学力加试科目：①常微分方程②数学基础综合

专业学位

32

025200应用统计

①101思想政治理论

②204英语二

③303数学三

④432统计学

复试笔试科目：

概率论与数理统计（人大版）

同等学力加试科目：①常微分方程初步②数学基础综合

分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科。分形的概念是美籍数学家曼德布罗特(BBMandelbort)首先提出的。1967年他在美国权威的《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长》的著名论文。海岸线作为曲线,其特征是极不规则、极不光滑的,呈现极其蜿蜒复杂的变化。我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同,这种几乎同样程度的不规则性和复杂性,说明海岸线在形貌上是自相似的,也就是局部形态和整体形态的相似。在没有建筑物或其他东西作为参照物时,在空中拍摄的100公里长的海岸线与放大了的10公里长海岸线的两张照片,看上去会十分相似。事实上,具有自相似性的形态广泛存在于自然界中,如:连绵的山川、飘浮的云朵、岩石的断裂口、布朗粒子运动的轨迹、树冠、花菜、大脑皮层……曼德布罗特把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形(fractal)。1975年,他创立了分形几何学(fractalgeometry)。在此基础上,形成了研究分形性质及其应用的科学,称为分形理论(fractaltheory)。　　

　　自相似原则和迭代生成原则是分形理论的重要原则。它表征分形在通常的几何变换下具有不变性,即标度无关性。由自相似性是从不同尺度的对称出发,也就意味着递归。分形形体中的自相似性可以是完全相同,也可以是统计意义上的相似。标准的自相似分形是数学上的抽象,迭代生成无限精细的结构,如科契(Koch)雪花曲线、谢尔宾斯基(Sierpinski)地毯曲线等。这种有规分形只是少数,绝大部分分形是统计意义上的无规分形。　　

　　分维,作为分形的定量表征和基本参数,是分形理论的又一重要原则。分维,又称分形维或分数维,通常用分数或带小数点的数表示。长期以来人们习惯于将点定义为零维,直线为一维,平面为二维,空间为三维,爱因斯坦在相对论中引入时间维,就形成四维时空。对某一问题给予多方面的考虑,可建立高维空间,但都是整数维。在数学上,把欧氏空间的几何对象连续地拉伸、压缩、扭曲,维数也不变,这就是拓扑维数。然而,这种传统的维数观受到了挑战。曼德布罗特曾描述过一个绳球的维数:从很远的距离观察这个绳球,可看作一点(零维);从较近的距离观察,它充满了一个球形空间(三维);再近一些,就看到了绳子(一维);再向微观深入,绳子又变成了三维的柱,三维的柱又可分解成一维的纤维。那么,介于这些观察点之间的中间状态又如何呢

　　显然,并没有绳球从三维对象变成一维对象的确切界限。数学家豪斯道夫(Hausdoff)在1919年提出了连续空间的概念,也就是空间维数是可以连续变化的,它可以是整数也可以是分数,称为豪斯道夫维数。记作Df,一般的表达式为:K=LDf,也作K=(1/L)-Df,取对数并整理得Df=lnK/lnL,其中L为某客体沿其每个独立方向皆扩大的倍数,K为得到的新客体是原客体的倍数。显然,Df在一般情况下是一个分数。因此,曼德布罗特也把分形定义为豪斯道夫维数大于或等于拓扑维数的集合。英国的海岸线为什么测不准因为欧氏一维测度与海岸线的维数不一致。根据曼德布罗特的计算,英国海岸线的维数为126。有了分维,海岸线的长度就确定了。

　　分形理论既是非线性科学的前沿和重要分支,又是一门新兴的横断学科。作为一种方法论和认识论,其启示是多方面的:一是分形整体与局部形态的相似,启发人们通过认识部分来认识整体,从有限中认识无限;二是分形揭示了介于整体与部分、有序与无序、复杂与简单之间的新形态、新秩序;三是分形从一特定层面揭示了世界普遍联系和统一的图景。

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分形理论及其发展历程

被誉为大自然的几何学的分形（Fractal）理论，是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。它与动力系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。它承认世界的局部可能在一定条件下。过程中，在某一方面（形态，结构，信息，功能，时间，能量等）表现出与整体的相似性，它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以是连续的，因而拓展了视野。

分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特（BBMandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯（KWeierestrass）构造了处处连续但处处不可微的函数，集合论创始人康托（GCantor，德国数学家）构造了有许多奇异性质的三分康托集。

1890年，意大利数学家皮亚诺（GPeano）构造了填充空间的曲线。

1904年，瑞典数学家科赫（Hvon Koch）设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。

1915年，波兰数学家谢尔宾斯基（WSierpinski）设计了象地毯和海绵一样的几何图形。这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形几何思想的源泉。

1910年，德国数学家豪斯道夫（FHausdorff）开始了奇异集合性质与量的研究，提出分数维概念。

1928年布利干（GBouligand）将闵可夫斯基容度应用于非整数维，由此能将螺线作很好的分类。

1932年庞特里亚金（LSPontryagin）等引入盒维数。

1934年，贝塞考维奇（ASBesicovitch）更深刻地提示了豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维，他在豪斯道夫测度及其几何的研究领域中作出了主要贡献，从而产生了豪斯道夫-贝塞考维奇维数概念。以后，这一领域的研究工作没有引起更多人的注意，先驱们的工作只是作为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开来。

二

1960年，曼德尔布罗特在研究棉价变化的长期性态时，发现了价格在大小尺度间的对称性。同年在研究信号的传输误差时，发现误差传输与无误差传输在时间上按康托集排列。在对尼罗河水位和英国海岸线的数学分析中，发现类似规律。他总结自然界中很多现象从标度变换角度表现出的对称性。他将这类集合称作自相似集，其严格定义可由相似映射给出。他认为，欧氏测度不能刻划这类集的本质，转向维数的研究，发现维数是尺度变换下的不变量，主张用维数来刻划这类集合。

1975年，曼德尔布罗特用法文出版了分形几何第一部著作《分形：形状、机遇和维数》。1977年该书再次用英文出版。它集中了1975年以前曼德尔布罗特关于分形几何的主要思想，它将分形定义为豪斯道夫维数严格大于其拓朴维数的集合，总结了根据自相似性计算实验维数的方法，由于相似维数只对严格自相似这一小类集有意义，豪斯道夫维数虽然广泛，但在很多情形下难以用计算方法求得，因此分形几何的应用受到局限。

1982年，曼德尔布罗特的新著《自然界的分形几何》出版，将分形定义为局部以某种方式与整体相似的集，重新讨论盒维数，它比豪斯道夫维数容易计算，但是稠密可列集盒维数与集所在空间维数相等。为避免这一缺陷，1982年特里科特（CTricot）引入填充维数，

1983年格拉斯伯格（PGrassberger）和普罗克西娅（IProcaccia）提出根据观测记录的时间数据列直接计算动力系统吸引子维数的算法。

1985年，曼德尔布罗特提出并研究自然界中广泛存在的自仿射集，它包括自相似集并可通过仿射映射严格定义。1982年德金（FMDekking）研究递归集，这类分形集由迭代过程和嵌入方法生成，范围更广泛，但维数研究非常困难。德金获得维数上界。1989年，钟红柳等人解决了德金猜想，确定了一大类递归集的维数。

随着分形理论的发展和维数计算方法的逐步提出与改进，1982年以后，分形理论逐渐在很多领域得到应用并越来越广泛。建立简便盛行的维数计算方法，以满足应用发展的需要，还是一项艰巨的任务。

自然界中的分形，与概率统计、随机过程关系密切。确定性的古典分形集加入随机性，就会产生出随机康托集、随机科契曲线等各种随机分形。1968年，曼德尔布罗特研究布朗运动这一随机过程时，将其推广到与分形有关的分数布朗运动。1974年他又提出了分形渗流模型。1988年，柴叶斯（jTChayes）给出了详细的数学分析。1984年，扎乐（UZahle）通过随机删除而得到十分有趣的分形构造，随机分形能更真实地描述和模拟自然现象。

三

动力系统中的分形集是近年分形几何中最活跃和引人入胜的一个研究领域。动力系统的奇异吸引子通常都是分形集，它们产生于非线性函数的迭代和非线性微分方程中。1963年，气象学家洛伦兹（ENLorenz）在研究流体的对流运动时，发现了以他的名字命名的第一个奇异吸引子，它是一个典型的分形集。

1976年，法国天文学家伊侬（MHenon）考虑标准二次映射迭代系统时获得伊侬吸引子。它具有某种自相似性和分形性质。1986年劳威尔（HALauwerier）将斯梅尔的马蹄映射变形成劳威尔映射，其迭代下不稳定流形的极限集成为典型的奇异吸引子，它与水平线的截面为康托集。1985年，格雷波基（CGrebogi）等构造了一个二维迭代函数系统，其吸附界是维尔斯特拉斯函数，并得到盒维数。1985年，迈克多纳（SMMacDonald）和格雷波基等得到分形吸附界的三种类型：

（1） 局部不连通的分形集；

（2） 局部连通的分形拟圆周；

（3） 既不局部连能又不是拟圆周。前两者具有拟自相似性。

动力系统中另一类分形集来源于复平面上解析映射的迭代。朱利亚（GJulia）和法图（PFatou）于1918-1919年间开创这一研究。他们发现，解析映射的迭代把复平面划分成两部分，一部分为法图集，另一部分为朱利亚集（J集）。他们在处理这一问题时还没有计算机，完全依赖于他们自身固有的想象力，因此他们的智力成就受到局限。随后50年间，这方面的研究没有得到什么进展。

随着可用机算机来做实验，这一研究课题才又获得生机。1980年，曼德尔布罗特用计算机绘出用他名字命名的曼德尔布罗特集（M集）的第一张图来。1982道迪（ADouady）构造了含参二次复映射fc ，其朱利亚集J（fc）随参数C的变化呈现各种各样的分形图象，著名的有道迪免子，圣马科吸引子等。同年，茹厄勒（DRuelle）得到J集与映射系数的关系，解新局面了解析映射击集豪斯道夫维数的计算问题。茄勒特（LGarnett）得到J（fc）集豪斯道夫维数的数值解法。1983年，韦当（MWidom）进一步推广了部分结果 。法图1926年就就开始整函数迭代的研究。1981年密休威茨（MMisiuterwicz）证明指数映射的J集为复平面，解决了法图提出的问题，引起研究者极大兴趣。发现超越整函数的J集与有理映射J的性质差异，1984年德万尼（RLDevanney）证明指数映射Eλ的J（Eλ）集是康托束或复平面而J（fc）是康托尘或连通集。

复平面上使J（fc）成为连通集的点C组成M集即曼德尔布罗特集，尤更斯（HJurgens）和培特根（H-OPeitgen）认为，M集的性质过去一直是并且将来继续是数学研究的一个巨大难题。通过将数学理论与计算机图形学实验加以融合，及道迪、扈巴德（HHubbard）等人在这方面进行的基础性研究工作，在解决这一难题方面已取得重大进展，使人们加深了对M集的了解。道迪和扈巴德1982年证明M集是连通的和单连通的，人们猜测M集是局部连通的，目前每一张计算机图形都证实了这一猜测，但至今还没有人能给予证明。M是否为弧连通，目前尚不清楚。M集边界的维数也是值得研究的问题之一。

M集除了将J集分成连通与非连通的两类之外，还起着无穷个J集的图解目录表作用，即把M集C点周围的图形放大就是与C点有关的J集的组成部分。但这一发现的数学密性至今仍未确定，谭磊（Tan Lei）1985年证明了在每一个密休威茨点邻近M集与相关的J集之间存在着相似性。尤金斯等在M集的静电位研究中获得与自然形貌相似的分形图象。目前包括尤金斯等在内的很多研究人员都致力于借助计算机活动录象探索M集。其它一些分形集的研究工作正在取得进展。1990年德万尼通过数值实验观察到M集的复杂图形由许多不同周期的周期轨道的稳定区域共同构成。1991年黄永念运用他提出的代数分析法证明了这一事实，研究了M集及其广义情况周期轨道整体解析特性。

巴斯莱（BMBarnsley）和德门科（SDemko）1985年引入迭代函数系统，J集及其其它很多分形集都是某些迭代函数的吸引集，用其它方法产生的分形集也可用迭代函数系逼近。1988年，劳威尔通过数值研究发现毕达哥拉斯树花是一迭代函数系的J集。1985年巴斯莱等研究含参数的函数系迭代动力系统，得到M集D并D与M在连通性上的差异。在一线性映射系迭代下，可以产生著名的分形曲线——双生龙曲线。1986年水谷（MMitzutani）等对其动力系统进行了研究。

一般动力系统中的分形集，其豪斯道夫维数dH难以通过理论方法或计算方法求得。对于有迭式构造的分形集，贝德浮德（TBedford）等在1986年已给出卓有成效的算法，但对一般非线性映射迭代动力系统产生的分形集，这些结果都难以应用，其豪斯道夫维数dH的结论与算法实际上没有。卡普兰（jLKaplan）和约克（JAYork） 1979年引入李雅普洛夫维数dL并猜测dL=dH。1981年勒拉皮尔证明dH≤dL。杨（LSYoung）1982年证明二维情况下dH=dL。艾茄瓦（AKAgarwal）等1986年给出例子说明高维情形卡普兰-约克猜测不成立。这一猜测力图从动力学特征推断几何结构，其反问题是由吸引子维数推断混沌力学，这是值得研究的问题。但目前工作甚少且主要限于计算机研究。此外，含参动力系统在混沌临界态或突变处的分形集维数也有待进一步研究。

多重分形（multifractals）是与动力系统奇异吸引子有关的另一类重要分形集，其概念首先由曼德布罗特和伦依（ARenyi）引入。法默（JDFarmer）等在1983年定义了多重分形广义维数。1988年博尔（TBohr）等人将拓扑熵引入多重分形的动力学描述与热力学类比。1988年，阿内多（AArneodo）等人将子波变换用于多重分形研究。费德（JFeder）、特尔（TTel）等人进行了多重分形子集及标度指数的研究。阿姆特里卡等研究了多重分形的逆问题，提出广义配分函数，给出广义超越维数，对过去的维数进行了修正。李（JLee）等发现了多重分形热力学形式上的相变。1990年，伯克（CBeck）得到广义维数的上下界和极限并研究了多重分形的均匀性量度。曼德布罗特研究了随机多重分形及负分维。1991年科维克（ZKovacs）等引入双变量迭代系统，最大特征值和吉布斯势导出维数、熵、李雅普洛夫指数，提供了对多重分形相变分类的一般方案。对于多重分形相变分类的一般方案。对于多重分形目前虽已提出不少处理方法，但从数学的观点上看，还不够严格，部分问题的数学处理难度也较大。

四

分形理论真正发展起来才十余年，并且方兴未艾，很多方面的理论还有待进一步研究。值得注意的是，近年分形理论的应用发展远远超过了理论的发展，并且给分形的数学理论提出了更新更高的要求。各种分形维数计算方法和实验方法的建立、改进和完善，使之理论简便，可 *** 作性强，是应用分形的科学家们普遍关注的问题。而在理论研究上，维数的理论计算、估计、分形重构（即求一动力系统，使其吸引集为给定分形集）、J集和M集及其推广形式的性质、动力学特征及维数研究将会成为数学工作者们十分活跃的研究领域。多重分形理论的完善、严格以及如何用这些理论来解决实际问题可能会引起科学家们广泛的兴趣，而动力学特征、相变和子波变换可能会成为其中的几个热点。

在哲学方面，人们的兴趣在于自相似性的普适性，M集和J集表现出的简单性与复杂性，复数与实数的统一性，多重分形相变与突变论的关系，自组织临界（SOC）现象的刻画以及分形体系内部的各种矛盾的转化等。可以预言，一场关于分形科学哲学问题的讨论即将在国内展开。

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分形理论与波动理论研究http://wwwchinavaluenet/showarticleaspxid=16055

迷人的分形理论控制了金融市场http://financesinacomcn/forex/forexinfo/20050916/12161974322shtml

分形理论与化学工程中的应用http://wwwbookschinacom/1363175htm

分形理论在城市研究中的应用http://wwwtjplancom/Article/ShowArticleaspArticleID=3720

分形理论及其在水处理工程中的应用http://www863pcom/water/WaterWscl/200611/15998_4html

分形理论对教育研究的方法论启示http://cedxxjycn/RESOURCE/Article/JYLW/3/306/lw009994htm

地球物理场能量很小，除天然地震震源物理研究外，场正演问题都归结为线性偏微分方程。但是，反问题都是非线性的。

511 牛顿迭代与分形

非线性迭代的最基本方法是牛顿迭代法。也就是说，将函数展成台劳级数，略去高次项，从一次项中提出修改增量和Jacobian矩阵，构成线性方程组。牛顿迭代法收敛很快，但是收敛取决于初始猜测。

1988年，Petigen与Saupe的论文集中发表了一个有趣的试验结果，他考虑以下简单的非线性方程

z3-1=0 （511）

此方程的一个实根为z=1，两个复根为

z=exp（± 2πi/3） （512）

用牛顿迭代格式

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来逼近，得到的是实根还是哪一个复根？

当然，初值z0可以是复平面z=x+iy中的任一点。可以猜测，z0在复平面上可以分为若干个区域，z0在某个区域用式（513）作迭代后收敛，在另外的区域收敛于复根。习惯于线性思维的人会认为这些区域是有清晰边界分开的几块，如z0等于1的邻域牛顿迭代将收敛于实根z=1，它的面积大约占z平面的1/3左右，而其他区域收敛于复根。事实并非如此，初值z0的收敛域是分形的，如图51所示。从图51 可见，黑色区域的面积的确是选初值区域（-2≤x≤2，-2≤y≤2）的1/3，但它的边界是分形的，即含有所有的尺度，彼此自相似。为什么像式（511）那么简单的迭代格式会导致这么复杂的分形图像？为什么初值在这种边界上的微小变化会使迭代收敛到完全不同的根？

图51 实虚轴在（-2，2）范围内的复平面z黑色区域经牛顿迭代后收敛于实根z=1初值区，白色为收敛于复根的区域

问题归结为方程（511）的非线性，而非线性是系统走向混沌的必要条件。对于非线性系统，初值的微小变化会使系统状态在几个“吸引子”之间回d，其几何表现就是分形。

512 分形地球模型

本书把地球参数看成是实函数集，即Hilbert空间的元，这是确定性模型。确定性模型隐含着地球物质有序分布的假定，而随机模型隐含着地球物质随机分布的假定。我们现在进一步假定地球物质分布是自相似或自仿射的，具有多尺度的层次结构，这就导致地球的分形模型。

从分形的观点描述地球的根据是：地球是无标度的复杂对象，其尺度可由几毫米的微裂缝到上万公里的地球直径，而不同尺度之间的现象具有相似性。

人有特征尺度，即人的身高，在16 m或5 ft左右。因此，人造的东西也有特征尺度，如火车的高度在2m上下，轮船和高楼平均为几十米，这种特征尺度称为标度。

自然现象一般具有多尺度的特征，没有特征尺度。分形几何学把不同尺度的现象用标度律联系起来

p（λt）=λαp（t），0 ＜ α ＜ 1 （514）

式中p（t）为某种层次的尺度，p（λt）为它放大λ倍之后的尺度，α为标度指数。而

D0=2-α （515）

等于Mandelbrot分维数。

维数指的是几何对象中的一个点所置的独立坐标的个数，如地球表面的一个点用经纬度表示，它的维数是2。在分形几何学中，维数可以为分数，分数的维数称为分维数。

对二维情况，一个正方形每边都放大3倍（尺度放大），则变为9个原正方形，有

2=l n9/l n3

对整数维为d的几何对象，每个方向都放大L倍，结果得到N个原来的对象，有

d=lnN/lnL

每个方向放大L倍等效于此方向测量尺度（或度量的单位）缩小为原来的ε=1/L倍。因此，在一般情况下，用很小的度量单位ε研究对象的尺度变化时，可定义

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这就是Mandelbrot分形维。

1992年Korvin编了一本名为《地学中的分形模型》的书，书中列举了与地球科学有关的许多分形模型。其中谈到，1984年美国地调所出动数十辆消防车对内华达岩石出露区进行冲洗，然后对其裂隙作详细填图，得出该区裂隙系统的平均分维数为1744。用大尺度的区域断裂构造图计算此区断裂系统的分维数为1773，证实了不同层次的地球断裂系统之间具有自相似性。陈颙与特科特等人的专著对此也有精彩的描述。

关于分形几何学与其他分维数（如相关维D2、信息维D1等）的讨论详见有关专著。以下只介绍对时间序列计算分形维D0的方法。传统的介绍D0分维数的方法多用时间系列的功率谱计算。由于地球物理资料的功率谱在高频段含有大量噪音，这种计算方法几乎不能用。我们只研究以下算法，在反射地震资料处理上取得良好效果。

对平面曲线，其总长度为

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式中：ε为度量单位（尺子）；N为量得的尺数；f为尺子量完后的剩余长度（f＜ε）；D0为Mandelbrot分形维数。将式（517）两边取对数，有

ln（N+f/ε）=-D0lny+lnL （518）

设时间序列为 ｛s1，s2，…，sm｝，取样率为Δt，则用ε1=Δt为尺子量出它对应的曲线长度为

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再令ε2=2Δt为尺子量出，有

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取ε3=4Δt，有

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将式（519）至（5111）代入式（518）有方程

ln（Nj+fj/εj）=-D0lnεj+lnL，j=1，2，3 （5112）

用最小二乘法易求出方程组（5112）中的两个未知数D0和L。当然，还可取ε4=8Δt等，以提高求分形维D0的准确度。下节还要提到，反演迭代输出序列的分形维是指示迭代状态的一种有用参数。

513 非线性迭代与混沌

设xn为第n步的迭代输出，xn+1为下一步的迭代输出，二次方程

xn+1=rxn（1-xn） （5113）

虽然很简单，但迭代过程（演化）却是很复杂的。这个方程称为May生态方程。将xn+1及xn视为若干年后池塘中大鱼的产量，由于xn越大繁殖就越多，所以xn+1与它成正比；又因大鱼越多吃的小鱼也越多，xn+1又与（1-xn）成正比。这就是生态方程的含义，系数r与饲料总量有关。

将xn及xn+1视为若干年后你的一笔银行存款的总值，当年存款xn越多次年本利就越多，所以xn+1与xn成比例。但是，存款越多银行利率下降越多，xn+1又与（1-xn）成比例。系数r为控制参数，与银行存款总量有关。可见，生态方程反映许多自然与人文发展的规律。

将（5113）式中的xn+1视为常数，则它是一个关于xn的二次方程，有两个根。这意味着演化问题存在两种选择（线性问题只有一种选择）。xn有两种选择将造成迭代输出不稳定，在两种选择中跳来跳去。例如，池塘鱼的产量和水果产量常出现大年与小年的区别，这种演化成为二齿分叉（Pitchfork bifurcation）。

分叉取决于控制参数r，二齿分叉可能不断进行下去，即由两叉变四叉，四叉变八叉。具体地说，随r从很小变到r=r1=10时，开始第一次分叉。当r=r2=3时，再次分四叉等等。此后，迭代变得非常不稳定，并很快变得没有规律和不可预测（即混沌）。

图52示出二次映射的迭代输出随控制系数的分叉过程，以及相应的Lyapunov指数。由图可见，二次映射迭代随外部控制参数r的增大导致有规律的分叉，直至走向混沌。

图52 二次映射（式（5113））的迭代输出xn随r的变化，黑色区表示混沌区（a），以及Lyapunov指数的变化（b）

在非线性动力学中，混沌指的是非线性系统演化的一种不确定和无规则状态。分叉、间歇、突变（如相变）都是典型的不规则状态。在地球科学中，火山爆发是典型的间歇，地震发生是能量的突然释放，其形成的断裂裂隙具有分形结构。

混沌发生的必要条件是系统为非线性。多层次的复杂非线性系统（如人类社会）由于其自组织的困难，较易演化为混沌运动（如战争）。开放的耗散（Dissipative）系统由于固有的非线性性质，也经常出现混沌。但是，非线性只是混沌运动发生的必要条件，而不是充分条件。混沌运动的特征如下。

（1）不可预测性，指初始条件有微小的差别将导致最终结果迥然不同。设迭代映射方程为xn+1=f（xn），例如当f为二次函数时，它变成（5113）的May生态方程。f在一般情况下指任何导致混沌结果的函数。如果初始条件x0带有微小的误差ε0，经过N次迭代后其误差被指数放大，记fN（x0+ε）为带误差的迭代输出，有

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因此定义

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为Lyapunov指数。还可将式（5115）写为

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可见Lyapunov指数表示经N次迭代后系统演化轨道加速偏离的指数。设|ΔI|为经过一次迭代后系统信息的平均损失，有

λ（x0）=ln2|ΔI| （5117）

说明λ与|ΔI|成正比。根据Shannon信息论，系统信息量等于该系统作完备描述编码所需的最小bit数目。当λ＞0时，每次迭代的信息损失都大于零，系统的熵不断增大以导致混沌的发生。图52（b）示出了二次迭代的λ随r的变化并将它与系统的分叉和混沌作对比。由图可见，λ＜0时对应的系统稳定，在λ=0的点系统发生分叉，而λ＞0的点对应混沌。因此，Lyapunov是指示状态的重要标量参数。

（2）整体行为的有规律性。虽然系统在未来的具体状态具有不确定性和不可预测，但是“表面上看起来疯狂杂乱，其实自有规矩”（莎士比亚）。所有系统演化的轨迹形成的相空间的图形中，存在若干个吸引轨迹的若干个很小的空间（成为吸引子），使轨迹不断收缩到其中，或者突跳到另一个吸引子附近。这种现象表示整体行为仍具有整体性。

整体行为的规律性还表现在不同层次的运动的相似性（分形）上。Feigenbaum证明，无论是哪种形如xn+1=f（xn）的混沌运动，其转化为混沌的尺度特征都由两个普适常数控制，更说明混沌理论具有整体规律性。

形式周期性，混沌状态的发生有时会重复出现，但这种重复是不确定的。例如，大地震的发生时多时少，既包括高频度的重复出现，又没有准确的周期。

非线性科学研究的全面展开，还是20世纪90年代的事。19世纪建立了线性科学的理论框架，它在20世纪发展为完整的体系。但是非线性科学理论框架的建立，将是21世纪的事。对正问题的研究尚且如此，对非线性问题的研究更加零星。接下来介绍根据混沌理论进行非线性反演的一些实例。

分形几何（Fractal Geometry）的概念是由曼德布罗特（BBMandelbrot1975）在1975年首先提出的几十年来，它已经发展成为一门新型的数学分支这是一个研究和处理自然与工程中不规则图形的强有力的理论工具，它的应用几乎涉及自然科学的各个领域，甚至于社会科学，并且实际上正起着把现代科学各个领域连接起来的作用，分形是从新的角度解释了事物发展的本质

分形（fractal）一词最早由BBMandelbrot于1975年从拉丁文fractus创造出来，《自然界中的分形几何》（Mandelbrot，1982）为其经典之作最先它所描述的是具有严格自相似结构的几何形体，物体的形状与标度无关，子体的数目N（r）与线性尺度（标度r）之间存在幂函数关系，即N（r）∝1/rD分形的核心是标度不变性（或自相似性），即在任何标度下物体的性质（如形状，结构等）不变数学上的分形实际是一种具有无穷嵌套结构的极限图形，分形的突出特点就是不存在特征尺度，描述分形的特征量是分形维数D不过，现实的分形只是在一定的标度范围内呈现出自相似或自仿射的特性，这一标度范围也就称为（现实）分形的无标度区，在无标度区内，幂函数关系始终成立

分形理论认为，分形内部任何一个相对独立的部分，在一定程度上都是整体的再现和相对缩影（分形元），人们可以通过认识部分来认识整体但是分形元只是构成整体的单位，与整体相似，并不简单地等同于整体，整体的复杂性远远大于分形元更为重要的是，分形理论指出了分形元构成整体所遵循的原理和规律，是对系统论的一个重要的贡献

从分析事物的角度来看，分形论和系统论体现了从两个极端出发达到对事物全面认识的思路系统论从整体出发来确立各部分的系统性质，从宏观到微观考察整体与部分的相关性；而分形论则是从部分出发确立整体性质，沿着从微观到宏观的方向展开系统论强调部分对整体的依赖性，而分形论则强调整体对部分的依赖性，两者的互补，揭示了系统多层次面、多视角、多方位的****，丰富和深化了局部与整体之间的辩证关系

分形论的提出，对科学认识论与方法论具有广泛而深远的意义第一，它揭示了整体与部分之间的内在联系，找到了从部分过渡到整体的媒介与桥梁，说明了部分与整体之间的信息“同构”第二，分形与混沌和现代非线性科学的普遍联系与交叉渗透，打破了学科间的条块分割局面，使各个领域的科学家团结在一起第三，为描述非线性复杂系统提供了简洁有力的几何语言，使人们的系统思维方法由线性进展到非线性，并得以从局部中认识整体，从有限中认识无限，从非规则中认识规则，从混沌中认识有序

分形理论与耗散结构理论、混沌理论是相互补充和紧密联系的，都是在非线性科学的研究中所取得的重要成果耗散结构理论着眼于从热力学角度研究在开放系统和远离平衡条件下形成的自组织，为热力学第二定律的“退化论”和达尔文的“进化论”开辟了一条联系通道，把自然科学和社会科学置于统一的世界观和认识论中混沌理论侧重于从动力学观点研究不可积系统轨道的不稳定性，有助于消除对于自然界的确定论和随机论两套对立描述体系之间的鸿沟，深化对于偶然性和必然性这些范畴的认识分形理论则从几何角度，研究不可积系统几何图形的自相似性质，可能成为定量描述耗散结构和混沌吸引子这些复杂而无规则现象的有力工具，进一步推动非线性科学的发展

分形理论是一门新兴的横断学科，它给自然科学、社会科学、工程技术、文学艺术等极广泛的学科领域提供了一般的科学方法和思考方式就目前所知，它有很高程度的应用普遍性这是因为，具有标度不变性的分形结构是现实世界普遍存在的一大类结构，该结构的含义十分丰富，它不仅指研究对象的空间几何形态，而是一般地指其拓扑维（几何维数）小于其测量维数的点集，如事件点的分布，能量点的分布，时间点的分布，过程点的分布，甚至是意识点、思维点的分布

分形思想的基本点可以简单表述如下：分形研究的对象是具有自相似性的无序系统，其维数的变化是连续的从分形研究的进展看，近年来，又提出若干新的概念，其中包括自仿射分形、自反演分形、递归分形、多重分形、胖分形等等有些分形常不具有严格的自相似性，正如定义所表达的，局部以某种方式与整体相似

分形理论的自相似性概念，最初是指形态或结构的相似性，即在形态或结构上具有相似性的几何对象称为分形，研究这种分形特性的几何称为分形几何学随着研究工作的深入发展和领域的拓展，又由于一些新学科，如系统论、信息论、控制论、耗散结构理论和协同论等相继涌现的影响，自相似性概念得到充实与扩展，把信息、功能和时间上的自相似性也包含在自相似性概念之中于是，把形态（结构）、或信息、或功能、或时间上具有自相似性的客体称为广义分形广义分形及其生成元可以是几何实体，也可以是由信息或功能支撑的数理模型，分形体系可以在形态（结构）、信息和功能各个方面同时具有自相似性，也允许只在某一方面具有自相似性；分形体系中的自相似性可以是完全相似，这种情况是不多见的，也可以是统计意义上的相似，这种情况占大多数，相似性具有层次或级别上的差别级别最低的为生成元，级别最高的为分形体系的整体级别愈接近，相似程度越好，级别相差愈大，相似程度越差，当超过一定范围时，则相似性就不存在了

分形具有以下几个基本性质：

（1）自相似性是指事物的局部（或部分）与整体在形态、结构、信息、功能和时间等方面具有统计意义上的相似性

（2）适当放大或缩小分形对象的几何尺寸，整个结构并不改变，这种性质称为标度不变性

（3）自然现象仅在一定的尺度范围内，一定的层次中才表现出统计自相似性，在这样的尺度之外，不再具有分形特征换言之，在不同尺度范围或不同层次上具有不同的分形特征

（4）在欧氏几何学中，维数只能是整数，但是在分形几何学中维数可以是整数或分数

（5）自然界中分形是具有幂函数分布的随机现象，因而必须用统计的方法进行分析和处理

目前分形的分类有以下几种：①确定性分形与随机分形；②比例分形与非比例分形；③均匀分形与非均匀分形；④理论分形与自然分形；⑤空间分形与分形事件（时间分形）

分形研究应注意以下几个问题：

（1）统计性（随机性）研究统计意义上的分形特征，由统计数据分析中找出稳态规律，才能最客观地描述自然纹理与粗糙度从形成过程来看，分形是一个无穷随机过程的体现如大不列颠海岸线的复杂度是由长期海浪冲击、侵蚀及风化形成的，其他许多动力过程、凝聚过程也都是无穷随机的，不可能由某个特征量来形成因此，探讨分形与随机序列、信息熵之间的内在联系是非常必要的

（2）全局性分形是整体与局部比较而存在的，它包括多层嵌套及无穷的精细结构研究一个平面（二维）或立体（三维）的粗糙度，要考虑全局范围各个方向的平稳性，即区别各向同性或各向异性分布规律

（3）多标度性一个物体的分形特性通常是在某些尺度下体现出来，在另一些尺度下则不是分形特性理想的无标度区几乎不存在，只有从多标度中研究分形特性才较实际

模型的建立，其实是分形（相似性）模型的建立利用相似性原理，建立模型单元，对预测单元进行分形处理和预测

分形的正问题是给出规律，通过迭代和递推过程产生分形，产生的几何对象显然具有某种相似性反问题叫做分形重构广义而言，它指任何一个几何上认为是分形的图形，能否找到产生它的规律，以某种方式来生成它当我们研究非线性动力学时，混沌动力学会产生分形，而分形重构则是动力学系统研究的逆问题由于存在“一因多果”、“多因一果”，由分维重构分形还需加入另外参数

临界现象与分形有关重整化群是研究临界现象的一种方法该方法首先对小尺寸模型进行计算，然后被重整化至大的或更大的尺度如果我们有网格状的一组元素，每个元素具有一定的渗透概率，重整化群方法的一个应用就是计算渗透的开始问题当元素渗透率达到某一临界值时，这一组元素的渗透流动就会突然地发生一旦流动开始后，相联结元素之间便具有分形结构

自组织临界现象的概念可以用来分析地震活动性按照这个概念，一个自然界的系统处在稳定态的边缘，一旦偏离这个状态，系统会自然地演化回到边缘稳定的状态临界状态不存在天然的长度标度，因而是分形的简单的细胞自动机模型可以说明这种自组织临界现象

分形理论作为非线性科学的一个分支，是研究自然界空间结构复杂性的一门学科，可从复杂的看似无序的图案中，提取出确定性、规律性的参量既可以反演分形结构的形成机制，又可以从看似随机的演化过程（时间序列）中推测体系演化的结果，近年来倍受地球科学家的注意在地质统计学，孔隙介质、储层非均匀性及石油勘探开发，固相表面或两相界面，岩石破裂、断层及地震和地形、地貌学等地球科学各个领域得到了广泛的应用

自20世纪80年代初以来，一些专家学者注意到了地质学中的自相似现象，并试图将分形理论运用于地学之中以地质学中普遍存在的自相似性现象、地质体高度不规则性和分割性与层次性、地质学中重演现象的普遍性、分形几何学在其他学科中应用实例与地质学中的研究对象的相似性、地质学中存在一些幂函数关系等为内在基础，以地质学定量化的需要、非线性地质学的发展及线性地质学难以解决诸多难点、分形理论及现代测试和电算技术的发展为外在基础，使分形理论与地质学相结合成为可能，它的进一步发展将充实数学地质的研究内容并推动数学地质迈上一个新台阶目前，分形理论应用于地球科学主要包括以下两个方面的研究：

（1）对“地质存在”——地质体或某些地质现象的分形结构分析，求取相应分形维数，寻找分维值与有关物理参量之间的联系，探讨分形结构形成的机理这方面的研究相对较多，如人们已对断裂、断层和褶皱等地质构造（现象）进行了分形分析，探讨分维值与岩石力学性质等之间的关系；从大到海底（或大陆）地貌，小到纳米级的微晶表面证实了各类粗糙表面具有分形特征；计算了河流网络，断裂网络，地质多孔介质和粘性指进的分维值以及脉厚与品位或品位与储量等之间的分形关系

（2）对“地质演化”——地质作用过程进行分形分析，求取分形维数并考察其变化趋势，从而预测演化的结果例如，科学家们通过对强震前小震分布的分形研究表明，强震前普遍出现降维现象，从而为地震预报提供有力理论工具当今的研究，不仅仅局限于分维数的计算，分形模型的建立；而更着重于解释地质学中引起自相似性特征的原因或成因，自相似体系的生成过程及模拟，以及用分形理论解决地质学中的疑难问题与实践问题，如地震和灾害地质的预报、石油预测、岩体力学类型划分、成矿规律与成矿预测等地球化学数据在很大程度上反映了地质现象的结构特征分维是描述分形结构的定量参数，它有可能揭示出地球化学元素空间分布的内在规律

分维与地质异常有一定的关系我们可以对不同地段以一定的地质内容为参量对比它们分维大小的差异，以此求得结构地段的位置及范围，从而确定地质异常；也可以对不同时期可恢复的历史地质结构格局分别求分维，还可以确定分维背景值分形是自然界中普遍存在的一种规律性

总之，分形理论已经渗透到地学领域的各个角落，应用范围涉及地球物理学、地球化学、石油地质学、构造地质学及灾害地质学等

（一）计算机视觉与智能认知。本研究方向的主要研究领域包括计算机视觉系统、目标跟踪与检测、人类行为识别、图像处理技术。在视频监控、智能机器人、人类行为分析与识别、车载视频等视觉系统所涉及的模式识别，分形小波自适应图像去噪、图像增强，目标跟踪与检测、单/多智能体 行为识别，系统协同控制和智能算法及聚类算法等方面开展深入研究。就 业的行业和方向非常广泛，包括目标追踪、人脸识别、视频分析、图像识 别、人机交互、图像识别、遥感3D建模、医疗图像、机器视觉等。

（二）计算机应用技术。本研究方向的主要研究领域包括机器学习和模式识别，医学影像信息处理、智能交通系统、多智能体协同优化与控制。围绕计算机与相关前沿学科的交叉融合，在深度学习理论及应用，能源大数据分析与挖掘、医学信息数据处理问题，智能优化算法、多智能体系统的协同控制，智能交通系统建模、仿真与预测等方面开展深入研究。计算机应用技术方向的毕业生，主要面向交通系统各单位、交通信息化与电子政务建设与应用部门、各类计算机专业化公司、广告设计制作公司、汽车营销技术服务部门等。

（三）复杂系统结构与理论。本研究方向的主要研究领域，包括复杂系统分析与建模、复杂系统优化与控制、复杂网络理论与应用。在复杂网络的建模与网络传播，网络挖掘及应用，无线传感器网络的建模与控制，交通流建模与仿真中的应用等方面开展深入研究。就业的行业和方向非常广泛，包括方向社交网络、互联网、智能交通、生物信息、化学信息等。

（四）网络与信息安全。本研究方向的主要研究领域包括网络攻防建模、入侵检测与控制、网络行为分析、风险评估、网络安全态势感知、数据安全以及数据容灾等。结合人工智能、区块链、大数据等技术，针对物联网、云计算等领域，开展下一代互联网络、语义网络与网络服务、容迟网络、网络安全、安全协议、内容安全等方面的研究。本方向的学生毕业后，可在政府机关、国家安全部门、银行、金融、证券、通信领域从事各类信息安全系统、计算机安全系统的研究、设计、开发和管理工作。

曼德勃罗曾经为分形下过两个定义：

（1）满足下式条件

Dim(A)>dim(A)

的集合A，称为分形集。其中，Dim(A)为集合A的Hausdoff维数（或分维数），dim(A)为其拓扑维数。一般说来，Dim(A)不是整数，而是分数。

（2）部分与整体以某种形式相似的形，称为分形。

然而，经过理论和应用的检验，人们发现这两个定义很难包括分形如此丰富的内容。实际上，对于什么是分形，到目前为止还不能给出一个确切的定义，正如生物学中对“生命”也没有严格明确的定义一样，人们通常是列出生命体的一系列特性来加以说明。对分形的定义也可同样的处理。

（i）分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。

（ii）分形集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。

（iii）分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。

（iv）一般，分形集的“分形维数”，严格大于它相应的拓扑维数。

（v）在大多数令人感兴趣的情形下，分形集由非常简单的方法定义，可能以变换的迭代产生。