matlab的拉格朗日插值

function y=lagrange(x0,y0,x);

n=length(x0);m=length(x);

for i=1:m

z=x(i);

s=00;

for k=1:n

p=10;

for j=1:n

if j~=k

p=p(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));

end

end

s=py0(k)+s;

end

y(i)=s;

end

------------------------------------------------------

x=[01 02 015 0 -02 03];

y=[095 084 086 106 15 072];

x0=[-02:001:3];

y0=lagrange(x,y,x0);

m文件

function yy=lagrange(x1,y1,xx)

%本程序为Lagrange1插值，其中x1,y1

%为插值节点和节点上的函数值，输出为插值点xx的函数值，

%xx可以是向量。

syms x

n=length(x1);

for i=1:n

t=x1;t(i)=[];L(i)=prod((x-t)/(x1(i)-t));% L向量用来存放插值基函数

end

u=sum(Ly1);

p=simplify(u) % p是简化后的Lagrange插值函数（字符串）

yy=subs(p,x,xx);

clf

plot(x1,y1,'ro',xx,yy,'')

====================================

x=[ 04 05 06 07 08];

y=[-0916291;-0693147;-0510826;-0356675;-0223144]';

yy=lagrange(x,y,054)

p =

- (14363668061545223x^4)/6755399441055744 + (229230406283396627x^3)/33776997205278720 - (6086876668119665137x^2)/675539944105574400 + (23595121244981107513x)/3377699720527872000 - 186390055565518223/70368744177664000

yy =

-06161

1、 实验内容： 用MATLAB实现拉格朗日插值和分段线性插值。2、 实验目的：1） 学会使用MATLAB软件；2） 会使用MATLAB软件进行拉格朗日插值算法和分段线性差值算法；3、实验原理：利用拉格朗日插值方法进行多项式插值，并将图形显式出来。4、实验步骤及运行结果（1）实现lagrange插值1）定义函数： f = 1/(x^2+1) 将其保存在fm 文件中，具体程序如下：function y = f1(x)y = 1/(x^2+1);2） 定义拉格朗日插值函数：将其保存在lagrangem 文件中，具体实现程序编程如下：function y = lagrange(x0,y0,x)m = length(x); /区间长度/n = length(x0);for i = 1:n l(i) = 1;endfor i = 1:mfor j = 1:nfor k = 1:n if j == k continue; endl(j) = ( x(i) -x0(k))/( x0(j) - x0(k) )l(j);end endend y = 0;for i = 1:n y = y0(i) l(i) + y; end3） 建立测试程序，保存在textm文件中，实现画图：x=-5:0001:5; y=(1+x^2)^-1; p=polyfit(x,y,n); py=vpa(poly2sym(p),10) plot_x=-5:0001:5; f1=polyval(p,plot_x); figureplot(x,y,‘r',plot_x,f1)输入n=6,出现下面的图形：通过上图可以看到当n=6是没有很好的模拟。于是重新运行textM并选择n=11由此可见n=11时的图像是可以很好的实现模拟（2）分段线性插值： 建立div_linearm文件。具体编程如下/分段线性插值函数：div_linearm 文件/function y = div_linear(x0,y0,x,n)%for j = 1:length(x)for i = 1:n-1 if (x >= x0(i)) && (x <= x0(i+1)) y = (x - x0(i+1))/(x0(i) - x0(i+1))y0(i) + ( x - x0(i))/(x0(i+1) - x0(i))y0(i+1); else continue; endend%end 测试程序（text2m）: n = input(‘输入n =:’);x0 = linspace( -5,5,n);for x = -5:001:5 y = div_linear(x0,f(x0),x,n); hold on; plot(x,y,'r'); plot(x,f(x),'b');end2）运行测试程序，这是会出现：输入n=:2)输入n=6，并按Enter键，出现：4）关掉图形界面后，重新运行程序，输入n=11，并按enter键后出现：5）再次关掉图形界面，输入n=100，并按enter键，出现：此时。图形将于原函数图形基本吻合，说明分割区间越多,图像接近真实的图像。（3）用lagrange插值观察y = |sin(kπx)|的误差分析：1）编写 函数文件，保存在f2m 中x=0:001:1;k= input('输入k:')n= input('输入n:');y=abs(sin(kpix));p=polyfit(x,y,n-1);py=vpa(poly2sym(p),8);plot_x=0:001:1;f1=polyval(p,plot_x);plot(x,y,plot_x,f1); 2）运行该程序：输入k=:1输入n=:2出现如下图形界面：关掉图形界面后重新运行f2m，输入k=：1，n=：3出现如下界面： 再次关掉图形界面，输入k=：1，n=：6 后出现：此时图形基本吻合。类推，输入k=2， n=3后出现： k =2, n =11,出现如下图形： k =2,n =15,这时出现：k =2,n =19,出现：当k=2,n=21时，图形如下：此时基本吻合。

function [x0,y0] = Lagrange_2(x,y,x0)

%输入: x, y 插值节点（点点互异，否则修改为参数形式）

% x0待求点

%输出：x0,y0,插值结果

n = length(x); % 插值节点个数，x,y应该要一致

m = length(x0); % 待求点个数

y0 = zeros(1,m);% 为输出分配空间

for j = 1:m

for i=1:n

% Lagrange插值公式：li(x) = yiprod(x-xj)/prod(xi-xj),i~=j;

xj = x;

xj(i) = [];

y0(j) = y0(j) + y(i)prod( x0(j) -xj ) / prod( x(i) - xj );

end

end

%%%%%%%%%%%%%%

调用方法：

x = [-5:5];

y = 1/(1+x^2);

x0 = [-5:001:5]; %根据自己电脑性能选取合适步长

[x0,y0] = Lagrange_2(x,y,x0);

hold on;

plot(x0,1/(1+x0^2),'r');%原函数y=1/(1+x^2)图像

plot(x0,y0);%插值函数图像

出错原因：

函数定义只有一个输出参数，而调用时要求返回两个参数，当然就出错了。

修改：

1、把函数最前面的

function f=language(x,y,x0)

改成

function [f,f0]=language (x,y,x0)

2、另外，最后两句也存在问题：

f0=subs(f,'t',x0);

应为

f0=subs(f,t,x0);

而最后一句则不需要，直接删掉即可。

改后调用实例：

>> [f,f0]=language(x,y,16) 

f = 

-799/3125t(t-1)(t-3/2)(t-2)(t-5/2)(t-3)+561/500t(t-1/2)(t-3/2)(t-2)(t-5/2)(t-3)-133/75t(t-1/2)(t-1)(t-2)(t-5/2)(t-3)+3031/2500t(t-1/2)(t-1)(t-3/2)(t-5/2)(t-3)-399/1250t(t-1/2)(t-1)(t-3/2)(t-2)(t-3)+1411/112500t(t-1/2)(t-1)(t-3/2)(t-2)(t-5/2)

 

f0 =

             099957318144

x0=-200;x1=000;x2=100;x3=200;

y0=1700;y1=100;y2=200;y3=1700;

x=06

y=(x-x1)(x-x2)(x-x3)/((x0-x1)(x0-x2)(x0-x3))y0+(x-x0)(x-x2)(x-x3)/((x1-x0)(x1-x2)(x1-x3))y1+(x-x0)(x-x1)(x-x3)/((x2-x0)(x2-x1)(x2-x3))y2+(x-x0)(x-x1)(x-x2)/((x3-x0)(x3-x1)(x3-x2))y3;

disp('y=');disp(y);

结果为：x =

06000

y=

02560

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