插值法的分段插值

插值多项式余项公式说明插值节点越多，误差越小，函数逐近越好，但后来人们发现，事实并非如此，例如：取被插函数，在[-5，5]上的n+1个等距节点：计算出f(xk）后得到Lagrange插值多项式Ln(x），考虑[-5,5]上的一点x=5-5/n，分别取n=2,6,10,14,18计算f(x),Ln(x）及对应的误差Rn(x），得下表

从表中可知，随节点个数n的增加，误差lRn(x)l不但没减小，反而不断的增大这个例子最早是由Runge研究，后来人们把这种节点加密但误差增大的现象称为Runge现象出现Runge现象的原因主要是当节点n较大时，对应的是高次插值多项式，此差得积累淹没了增加节点减少的精度Runge现象否定了用高次插值公式提高逼近精度的想法，本节的分段插值就是克服Runge现象引入的一种插值方法

分段多项式插值的定义为

定义2: a=x0<x1<…<xn=b: 取[a,b]上n+1个节点 并给定在这些节点 上的函数值f(xR)=yR R=0,1，…，n

如果函数Φ（x）满足条件

i) Φ（x）在[a,b]上连续

ii) Φ（xr)=yR,R =0,1，…，n

iii) Φ（x)zai 每个小区间[xR,xR+1]是m次多项式，

R=0,1，…，n-1则称Φ（x）为f(x）在[a,b]上的分段m次插值多项式

实用中，常用次数不超过5的底次分段插值多项式，本节只介绍分段线性插值和分段三次Hermite插值，其中分段三次Hermite插值还额外要求分段插值函数Φ（x)

在节点上与被插值函数f(x）有相同的导数值，即

★基本思想　将被插值函数f〔x〕的插值节点 由小到大 排序，然后每对相邻的两个节点为端点的区间上用m 次多项式去近似f〔x〕

例题

例1 已知f（x）=ln（x）的函数表为：

试用线性插值和抛物线插值分别计算f（327）的近似值并估计相应的误差。

解：线性插值需要两个节点，内插比外插好因为327 （32，33），故选x0=32，x1=33，由n=1的lagrange插值公式，有

所以有，为保证内插对抛物线插值，选取三个节点为x0=32,x1=33,x2=34，由n=2的lagrange插值公式有

故有

所以线性插值计算ln327的误差估计为

故抛物线插值计算ln327的误差估计为：

显然抛物线插值比线性插值精确。

sorry啦,5,function y=lagrange(x0,y0,x);

n=length(x0); m=length(x);

for i=1:m

z=x(i);

s=00;

for k=1:n

p=10;

for j=1:n

if j~=k

,2,用matlab对函数进行lagrange插值和分段线性插值

对函数f(x)=1/(1+x^2)在[-5,5]区间以01为步长分别进行lagrange插值和分段线性插值,通过作图比较两种插值结果

求程序和用法

在最后加一句代码：

axis([0 1 -inf inf])

其实都已经画完了，只是你的x轴和y轴在最后作图的时候被限定了范围，所以看起来像没有画上去。加了上面代码之后可以得出如下图：

n=-1:3; %n=-1,0,1,2,3

x=1:5; %x=1,2,,5

k=0:500; %k=0,1,,500

w=(pi/500)k; %w=pi/500k，pi是31415926

X=x(exp(-jpi/500))^(n'k); %(^)中点的意思是元素 *** 作，^是次方， n' 是吧n置换 ，j是虚数

magX=abs(X); %abs(x)就是数学中的|X|

angX=angle(X); %angle(X)是找角度的

subplot(2,1,1) %排列想成矩阵，那么就有2行一列，这个图是第一个位置

plot(w/pi,magX); %画图(x轴，y轴）

title('幅度响应'); %标题

grid; %加格子

ylabel('幅度'); %y轴标题

xlabel('以\pi为单位的频率'); %x轴标题

subplot(2,1,2) %第二张图

plot(w/pi,angX)

title('相位响应');

grid;

ylabel('相位/\pi');

xlabel('以\pi为单位的频率');

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